基于數學活動 凸顯概念本質

張彥春 李雪梅

【教學內容】人教版三年級上冊第七單元第2課時，第83～84頁“周長”。

【教學目標】

1.學生能指出具體情境中物體表面或封閉圖形的一周。

2.通過量一量、算一算、比一比等活動，理解周長就是封閉圖形一周所有邊線的長度之和。

3.經歷周長概念的抽象概括過程，在問題解決過程中滲透數學推理的意識，感悟“化曲為直”的數學思想，培養合作交流、樂于分享的精神。

【教學過程】

一、基于學生認識，提出問題

師：同學們向李老師提了三個問題，現在我給同學們提一個問題（教師在黑板上寫上“周”字），你能用這個字組一個詞嗎？

生：周長。

師：那你能說說“周長”是什么意思嗎？

生：周長就是一個封閉圖形一周的長度。（教師在黑板上寫下：封閉、一周、長度）

師：那“封閉”是什么意思？“一周”又是什么意思？“長度呢”？接下來我們就來研究這些問題。

（評析：學生并非白紙一張，生活經驗、課前學習等經歷讓他們或多或少對所要學習的新知識有所認識。教師的教學正是從學生已有的認知出發，提出了明確的研究問題，有效地聚焦了學生的思維。）

二、觀察操作，感受一周

1.辯一辯，明晰一周。

師：誰來說一說“一周”是什么意思？

生：一周就是一個圖形的邊緣。

師：（教師出示一片樹葉教具）誰來摸一摸這片樹葉的邊緣？（一生上前去摸，教師點評）

師：（教師出示課件）有4只小螞蟻，沿著樹葉邊緣的一點出發爬了起來，誰爬的路線正好是樹葉的一周？可以把你的想法與同桌說一說。

生：第4只。

師：為什么1、2、3號不是呢？數學是要講道理的。

生：第1只螞蟻只沿著樹葉的邊線爬了一半，是從中間回去的。

生：2號螞蟻沒有回到出發的那個點。

生：3號螞蟻爬的比一周多了一點。

師：所以只有4號螞蟻是（慢速）沿著樹葉的邊線，爬了一圈后又回到出發的點，它爬過的路線正好是樹葉的一周。（教師板書：從一點出發、沿著邊線、一圈后回到出發點幾個關鍵詞）

2.摸一摸，體驗一周。

師：你能摸一摸自己數學書封面的一周嗎？

師：誰來摸一摸這個長方形黑板表面的一周？（一生上黑板演示）

師：你們摸的跟他一樣嗎？

生：我出發的點跟他不一樣，但每個地方我都摸到了。

教師總結：無論從哪個點出發，只要沿著黑板的邊線又回到這個點，我們摸的就是黑板表面的一周。

3.描一描，內化一周。

師：你能用筆來描出這片樹葉的一周嗎？（一生上黑板描繪，其他學生在座位上用手指比畫描繪）

師：翻到教材第83頁，用彩筆描出下列圖形的一周。

（學生動手描繪，教師請三位學生上講臺展示）

師：想象一下，如果只留下描出來的邊線，留下的是什么圖形？

（教師用PPT動畫呈現描繪的過程和結果，和學生一道回顧規則圖形的名稱，并有意呈現一個沒有封口的圖形）

師：你能把這些圖形分一分類嗎？

生：能封口的分為一類，不能封口的分為一類。

師：像這樣，從一點出發，終點不是起點的圖形我們把它叫作不封閉圖形，而能回到起點的圖形叫封閉圖形。

師：孩子們，伸出你的手指，我們一起再來描繪一下這些封閉圖形的一周。

（評析：圍成物體表面的封閉曲線一周的所有長度或封閉的二維圖形一周邊線的長度叫作周長。在周長概念的建立過程中，認識“一周”是至關重要的一步。對于絕大多數三年級學生來說，他們對圖形的感知和認識經常會把注意的中心放在圖形的大小、形狀甚至顏色上。在此環節，教師設計了螞蟻爬樹葉這樣一個有趣情境，引導學生關注物體表面的一周，設計了豐富多樣的活動，學生通過辯一辯、摸一摸、指一指、描一描等活動，實現了對物體表面和封閉圖形“一周”的認識和學習，為下邊周長概念的學習打下了基礎。）

三、操作、比較，在活動中建構周長

（教師呈現課件）

1.分析問題，引出周長。

師：找到一周了，螞蟻和瓢蟲就要展開爬一周的比賽：螞蟻爬①號圖形的一周，瓢蟲爬②號圖形的一周。先伸出手指分別描一描①號圖形和②號圖形的一周。想一想它們誰爬的路線要長一些？（學生用手指描繪并展開討論，有的說螞蟻爬的長些，有的說瓢蟲爬的長些，還有同學說是一樣長）

師：數學是講道理的，要判斷螞蟻爬的長還是瓢蟲爬的長，我們就要動腦筋探究知道①號圖形和②號圖形的一周到底有多長。（教師在黑板上寫出“一周的長度”）

2.解決問題，比較周長。

師：我們怎樣知道一個圖形一周的長度呢？僅僅用眼睛看行嗎？數學是要講道理的。

生：用尺子量。

師：然后呢？

生：還要比一比。

師：哦，我懂你們的意思了，先要量一量，再算一算，然后再比一比。（學生齊讀小組合作提示，教師給每個小組發放任務單，提醒學生遇到困難可以找老師幫助）

師：有一個小組遇到困難了，這個彎曲的邊線怎么量？誰有辦法解決？

生：可以用軟尺。

師：你們都有軟尺嗎？我這里給同學們準備了一些細線，有需要的可以找老師。（學生測量、計算，教師巡視指導）

師：接下來我們請兩個小組分別匯報一下兩個圖形測量的結果。（第一小組匯報每條線段的測量結果）

師：根據第一小組的匯報，結合任務單上的提示，你們有沒有不同意見？

生：他們測量了，但沒有計算。

生：他們沒有取整厘米。

師：這就提醒我們在解決問題的過程中要注意審題。（教師請第二小組同學匯報）

師：根據第二小組同學的匯報，你們同意嗎？

生：還要比一比。

師：那根據他們測量的結果，比一比誰爬的路線要長些。

生：瓢蟲。

師：在測量這段彎曲的邊線時，我們用細繩去比，然后把細繩拉直了用直尺量，我們就把曲線段轉化為了直線段從而得到它的長度（教師板書：化曲為直）。在測量這段彎曲的線段時，我聽到有不同的意見，差別還比較大，那究竟應該怎么測量呢？我們來看一個視頻，看看她的測量方法。

教師播放微視頻，展示一個同齡伙伴正確的問題解決全過程。

教師總結：對于曲線的長，我們先用細線圍，然后用直尺量細線的長，得到曲線的長，最后再把所有的邊線長度加起來就得到了圖形的周長。

3.反思總結，內化周長。

師：在這個過程中為什么要把幾條邊的長度相加呢？

生：如果不相加就不能得到它的周長。

師：談到了周長，那你說一說什么是周長呢？

生：周長就是物體一周的長度。

師：還有不同意見嗎？

生：周長就是封閉圖形一周的長度。

教師總結：周長就是物體表面一周或封閉圖形一周的長度，要把所有的邊線長度加起來。

師：1號圖形的周長是多少？

生：25厘米。

師：瓢蟲沿著2號線路一共爬行了26厘米，那這個26厘米表示什么？

生：表示瓢蟲爬行路線的周長是26厘米。

生：從一個點出發再回到這個點的周長。

師：26厘米既表示瓢蟲沿著2號線路爬行一周的長度，也表示②號圖形的周長。

師（總結）：周長就是圖形一周邊線的長度逐個地加起來，原來周長就是這么回事。

（評析：數學概念具有對象和過程的二重性。周長概念也不例外，當我們把周長看成是一個對象時，它是封閉圖形一周的長度，是一個結果；當我們把它看作是一個過程時，我們關注的是如何得到周長，此時豐富的數學活動則蘊含其中。教師在這個環節首先呈現了一個大背景，設置了一個大問題：一只螞蟻與瓢蟲沿著不同圖形的邊界爬行比賽，要看誰爬的路線長。大背景展現了周長概念產生的意義，大問題為學生小組合作學習、探究性學習、培養學生用數學的方法解決問題提供了良好的載體。同時教師也為學生的自主探索、合作學習留下了充足的空間和時間。合作學習提示為學生的操作、自主活動提供了支架，教師的相機指導、適時介入又為學生的有效探索提供了保障。學生在經歷量一量、算一算、比一比等數學活動中，在解決問題的過程中，感悟了數學思想方法，體驗了周長概念自然地形成和凝煉的過程。同時教師創造性地把微視頻引入課堂，通過展示同齡伙伴正確的解決問題的過程，幫助學生查找問題、總結反思。）

四、多角度辨析，理解周長

1.排除圖形大小的干擾。

（教師呈現課件）

師：瓢蟲知道了自己爬的路線要長一些，很不服氣，它們又接著比賽爬3號、4號圖形的一周，瓢蟲可細心了，還測量了自己的路線。你能比較它們的周長嗎？（學生討論，有的說螞蟻的長些，但很快學生都統一認為兩者是一樣長的）

師：數學是講道理的，認為螞蟻爬的路線長些的同學說說你的道理。

師：開始的時候，我也覺得螞蟻爬的要長些，是什么原因導致我錯誤的想法呢？

生：感覺螞蟻爬的這塊圖形要大些，但經過計算，這兩個圖形的周長是一樣的。

師：4號圖形呢？還沒有測量呀，怎么辦？

生：不需要測量，因為長方形的對邊相等，而中間的曲線都要經過，所以它們爬的長度是一樣的。（教師讓一學生上講臺對照PPT進行解釋）

師：所以不要被表面現象所蒙蔽，那你覺得計算周長是要看邊線還是中間？

生：看邊線。

師（總結）：周長是圖形邊線長度的總和，與這個圖形的大小沒有關系。

2.弱化形狀的干擾。

（教師呈現課件）

師：接下來，我們要挑戰一下。你有什么發現？

生：它們都是封閉圖形。

生：這三個圖形的周長是一樣長的。

師：若一根小棒的長度是1分米，那這三個圖形的周長分別是多少呢？

生：長方形的周長是8分米，正方形和三角形的周長也都是8分米。

師（總結）：太棒了，周長是圖形邊線長度之和，跟這個圖形是什么樣子的沒有關系。

3.增加線條的干擾。

（教師呈現課件）

師：這是一個長為2米的長方形，它的周長可能是多少米呢？把你的想法在小組里說一說。

生：6米。

師：其他同學同意嗎？為什么是6米呢？

生：長方形的對邊一樣長，所以下頭的這條邊也是2米，2米加2米等于4米，還有另外兩條邊沒有加，所以這個長方形的周長不可能是4米，也不可能為2米，只能是6米。

師：這名同學已經用到了排除法，非常棒。

師：如果它的周長是6米，那它的寬又是多少米呢？

生：1米。

師：為什么是1米呢？把你的道理講一講。

生：因為周長為6米，減去4米還剩2米，再除以2就是1米。

師：如果我們把這條藍色的寬移到長方形的中間，請問這個大長方形的周長是幾米呢？

生：4米。

生（眾）：6米。

師：計算大長方形的邊長，需不需要中間的這個寬，如果我再畫兩條有影響嗎？因此計算圖形的周長我們一定要緊緊抓住圖形的邊線這個要素。

4.拼組圖形，強化周長。

（教師呈現課件）

師：①號圖形是邊長為1厘米的正方形，②③④⑤都是由這個正方形拼成的圖形，這5個圖形的周長分別是多少呢？（學生解答，教師相機指導）

師（總結）：看來，周長也并不是簡單地加一加。

師：繼續觀察，③④⑤號圖形都是用這樣的小正方形拼成的，它們有什么相同和不同的地方？

生：③號、④號圖形格子個數不一樣，但周長一樣，都是8厘米。

生：③號、⑤號圖形格子個數一樣，但周長不一樣，5號是10厘米。

師（總結）：是的，我們得時刻提醒自己，周長是這個圖形一周邊線的長度，不要被這個圖形的大小、形狀、里面的線條、圖案、拼的個數等迷惑，還要注意把它們的邊線都加起來。

（評析：周長概念的深入理解離不開應用：計算圖形的周長。但計算并非本節課的核心，計算是為了幫助學生深化理解周長概念的意義和實質。周長的計算是小學階段第一次在概念的基礎上進行的計算和推理活動，對學生來說是一個難點。難在學生計算受到圖形形狀、大小、無關線條干擾時，會憑借自己的感性和直覺來處理相關數據。教師在此環節通過不同情境中的周長計算問題，設計了圖形大小干擾、形狀干擾、線條干擾以及組合圖形周長等問題，以幫助學生領會周長的實質，培養了學生數學推理的意識以及理性思考的習慣，為后面計算圖形的周長打下了堅實的基礎。）

五、對接生活應用，體驗周長的價值

師：通過剛才的探究，我們知道了物體表面或者封閉圖形一周的長度就是它們的周長。那周長在我們生活中有什么用呢？（教師課件展示美化黑板、量腰圍或頭圍等情境）

師：美化黑板，要給黑板貼上花邊，要先計算黑板的周長才知道要買多長的花邊。買褲子，要知道腰圍，要先測量腰的周長。做衣服、褲子、帽子等要測量胸圍、腰圍、臀圍、頭圍……

回家量一量爸爸、媽媽和自己的四圍。

師：課后，大家都到生活中去找一找，看哪些地方還用到了周長的知識。

（評析：用周長去解決生活中的問題，這體現了數學源于生活又服務于生活的理念，體現了數學的價值。）

六、總結：回顧、思考——引出新的問題

師：關于周長，你知道了什么？請大家看書勾畫。關于周長，你又有什么新的思考？讓我們帶著思考，在生活中繼續探究與周長有關的問題。

（評析：回歸教材，既理性總結，又幫助學生形成完整認識，同時啟發學生帶著思考走出教室。）

【總評】

總的來看，本課是一節非常成功的小學數學概念課，其最大的特點是圍繞周長概念，教師設計了豐富的、形式多樣的活動，讓學生充分感知、感悟、體驗周長的意義，在問題的探索、解決過程中有效地突出了周長概念的實質。教師的教學始終圍繞“一周在哪里”“一周有多長”“周長有什么用”三個問題展開。在“一周在哪里”這個部分，教師分別圍繞實物表面的一周（如樹葉、數學課本、黑板等）和封閉圖形的一周（又分為規則圖形：如三角形、長方形、圓形，不規則圖形：如描繪樹葉邊緣留下的圖形，瓢蟲和螞蟻爬行比賽線路圖形，組合圖形：一個正方形拼成的不同組合圖形等）設計了辨一辨、摸一摸、描一描、指一指等活動，引導學生關注一周、感知一周、體驗一周，這些活動為學生建立周長概念積累了豐富的表征和心理意義，為周長概念的學習打下了良好的基礎。圍繞“一周有多長”這一環節，教師通過設置大空間的探索問題，引導學生量一量、算一算、比一比，在問題解決的過程中，在學生的操作、探索中，非常自然地獲得周長概念，順利地解決了周長是什么這一問題。為了進一步深化學生對周長實質的理解，教師通過圖形的變式，設計了圖形大小干擾、圖形形狀干擾、圖形中線條干擾以及組合圖形周長等問題，學生在辨析、推理、計算中有效地把握了周長就是封閉圖形或閉合曲線一周所有邊線長度的和這一實質，明白了周長與圖形的大小、形狀、顏色沒有關系，為后續進一步學習周長的計算奠定了基礎。在“周長有什么用”這一環節，教師通過列舉生活中美化黑板邊緣購買彩帶、做衣服要量胸圍、做褲子要量腰圍臀圍等展現周長在生活中的應用，并要求學生課后繼續思考周長在生活中還有哪些應用。教師設計的教學活動始終圍繞周長概念的意義和關鍵屬性，有效地突出概念的實質。

（四川省樂山師范學院數信學院 614004

四川省樂山市教育科學研究所 614004）