論定積分與曲線積分的特殊與一般關系

馮慶紅

摘 要： 本文討論了定積分與曲線積分之間存在的一般與特殊的關系.定積分作為最基本、最重要，以及應用最廣泛的積分，為曲線積分的計算提供了堅實理論依據與可行性的操作方法.而曲線積分是將定積分積分區(qū)間推廣到一段曲線弧，被積函數由一元函數推廣到二元或三元函數的情形，它是定積分的拓展.

關鍵詞： 定積分 曲線積分 特殊與一般關系

從歷史上看，定積分是從幾何與力學問題出發(fā)，在基于計算平面上封閉曲線所圍平面有界閉區(qū)域面積和物體做變速直線運動的路程而產生的.而曲線積分是在計算彎曲構件的質量及研究變力沿曲線做功時產生的，它們有著不同的實際背景并且都聯系著不同的物理意義或幾何意義.重積分與曲面積分也類似.

隨著人類認識和實踐活動的逐漸深入，定積分已經成為各種數學計算及計算許多實際問題的數學工具.它是一元函數積分學中最重要的概念與方法，其他所有的積分包括重積分、曲線與曲面積分的計算都需要轉化為定積分來計算，而定積分也可以作為一些積分的特殊情況.本文只針對定積分與曲線積分的關系進行相關討論，用以說明數學概念與方法的相通性，同時反映出數學中“特殊中有一般，一般存在于特殊之中”的哲學思想.

一、定積分是最一般的積分

之所以這么說，是因為曲線積分都要轉化為定積分來計算.由于有了不定積分的各……