淺析函數在某點處的極限及其在該點的連續性、可導性的判斷

何冬梅

摘 ? ?要： 極限、連續、導數是高等數學的重要章節，也是高等數學的奠基石，而高等數學是大學很多專業的必修課.所以，極限、連續、導數的概念的教學顯得尤為重要，但在教學過程中，作者發現學生對于判斷或證明函數在某點處的極限是否存在，在某點處是否連續及是否可導時，很是糾結，往往含糊不清.本文針對此問題作了闡述，希望能給學生有所啟發.

關鍵詞： 函數 ? ?極限 ? ?連續 ? ?可導

一、學生在學習高等數學的相關內容中遇到的問題

在判斷一函數在某點處的極限是否存在及在該點處是否連續或可導的問題時，學生往往很糾結，經常混為一談，甚至會出現指鹿為馬的現象.

二、如何處理好學生所遇到的相關問題

要想避免把三個不同的問題混為一談，就必須弄清以下兩個充要條件和一個必要條件及導數的定義.

1.函數f（x）當x→x 時極限存在的充要條件是左極限、右極限存在且相等，即

f（x）=A？圳 f（x）= f（x）=A

注：當左、右極限都存在，但不相等，或者二者至少有一個條件不存在時，就可以斷言函數f（x）在x 處的極限不存在.

2.函數f（x）在點x 處連續的充要條件是函數在該點處的左、右極限存在、相等且等于該點處的函數值，即函數f（x）在點x 處連續？圳 f（x）= f（x）=f（x ）.

注：當函數在點x 存在下列三種情形之一：

（1）在x=x 處無定義;

（2）在x=x 處有定義，但 f（x）不存在;

（3）在x=x 處有定義，且 存在，但 f（x）≠f（x ），則函數f（x）在點x 處不連續.

3.函數y=f（x）在點x 處可導的必要條件是：f（x）在點x 處的左、右導數存在且相等，即f′ （x ）=f′ （x ）.

4.導數的定義

設函數y=f（x）在點x 的某一領域內有定義，如果極限

= ?存在，則稱此極限為函數y=f（x）在點x 處的導數，記作

f′（x ）或y′| ，即：

f′（x ）= ?=

此時也稱函數f（x）在點x 處可導;若極限不存在，則稱函數f（x）在點x 處不可導或導數不存在.

例1：設函數

f（x）=x·sin ? ? x>01 ? ?x=0x ? ? x<0

判斷函數f（x）在x=0處的極限是否存在及函數在x=0處是否連續？

解：因為 f（x）= x =0， f（x）= x·sin =0

即 f（x）= f（x）=0，故函數f（x）在x=0處的極限存在.

又因為f（0）=1，即： f（x）= f（x）≠f（0），故函數f（x）在x=0處不連續.

例2：選擇適當的a、b值，使函數

f（x）=2x ? ? ? ?x≤1ax+b ? ?x>1在點x=1處既連續又可導.

解： f（x）= 2x =2， f（x）= （ax+b）=a+b

因f（x）在點x=1處連續，即： f（x）= f（x）=f（1）

故a+b=2

f′ （1）= ?= ?= 2（x+1）=4

f′ （1）= ?= ?= a=a

因f（x）在x=1處可導，即f′ （1）=f′ （1）

故a=4，于是b=-2.

所以，當a=4，b=-2時，函數f（x）在x=1處既連續又可導.

例3：判斷函數

f（x）=x +1 ? ?x≤22x+3 ? ?x>2在x=2處的極限是否存在，且在x=2處是否連續、可導？

解：因 f（x）= （x +1）=5， f（x）= （2x+3）=7

即 f（x）≠ f（x）

故函數在x=2處的極限不存在，從而函數在x=2處也不連續.

因f′ （2）= ?= ?= ?=4

f′ （2）= ?= ?=2

即f′ （2）≠f′ （2）

故函數f（x）在x=2處不可導.

三、結論

一般地，判斷函數在某點處的極限是否存在或在該點處是否連續，所討論的函數都是分段函數，因為一切基本初等函數、初等函數在其定義域內都是連續的，而分段函數一般不是初等函數.

綜上所述，要做到能熟練解決以上所提到的問題，不至于將三者混淆起來，只需明確三者之間的共同點都是求極限的問題，而連續的條件比極限存在的條件要多加強一個，不能把只要滿足了左、右極限存在且相等就看成是函數在該點處連續.判斷函數在某點處是否可導，只需看是否滿足左、右導數是否存在且相等即可.

參考文獻：

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