巧選精練，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

梁坤

數(shù)學(xué)是思維的體操，思維是數(shù)學(xué)的靈魂.在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，不僅要進(jìn)行數(shù)學(xué)基本知識的傳授，更重要的是在教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì).從教以來，我始終注重巧選精練這一課堂環(huán)節(jié)，通過典型例題的講解和訓(xùn)練，提高學(xué)生各方面的思維品質(zhì).

一、一例多解，拓寬思路，培養(yǎng)學(xué)生思維之廣闊性

思維的廣闊性是思維的品質(zhì)之一，是指思路寬廣、善于多方探求，對于同一問題能用多種不同方法解決.在平時教學(xué)中，我常通過一例多解的訓(xùn)練，在一種解法講完之后，讓學(xué)生思考有沒有第二種、第三種甚至更多的解法，這樣可以激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的探求欲望，積極思考，拓寬解題思路，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性.

例如，在圓的復(fù)習(xí)中，我選了一道這樣的題目：如圖1，AB是⊙O的切線，OA交⊙O于D，BD平分∠ABC，求證：BC⊥OA.

解法一：因?yàn)锳B是切線，所以最容易想的輔助線是連OB，則OB⊥AB，然后用弦切角與圓心角關(guān)系和已知條件，通過互余關(guān)系，易證BC⊥OA.

反思啟發(fā)：從以上證法中可以看出，要證BC⊥OA，先要有90°出現(xiàn)，那么在圓中與90°角有關(guān)的定理還有哪些？輔助線還可以怎樣添加？于是，學(xué)生經(jīng)過積極思考，又得出了以下幾種解法.

解法二：用切線的性質(zhì)，過點(diǎn)D作⊙O的切線交AB于E，則DE⊥OA，只要證DE∥BC，就可證出BC⊥OA.

解法三：聯(lián)想到圓周角定理，延長AD交⊙O于F，則∠FBD=90°，利用弦切角和互余關(guān)系，易證BC⊥OA.

解法四：聯(lián)想到垂徑定理的推論，延長BC交⊙O于G，易證弧BD與弧DG相等，從而BC⊥OA.

通過例題的講解和訓(xùn)練，學(xué)生加深了對圓的有關(guān)知識的理解、鞏固和應(yīng)用，同時通過多種解法，學(xué)生的思維得到了有效訓(xùn)練，解題思路更開闊了.數(shù)學(xué)老師如果在課堂上能始終堅持這一點(diǎn)，久而久之，學(xué)生思維的廣闊性就可得到良好的培養(yǎng).

二、認(rèn)真審題，深挖條件，培養(yǎng)學(xué)生思維之深刻性

思維的深刻性是指思維的深度，表現(xiàn)在是否能深入思考問題，把握住事物的規(guī)律和本質(zhì).在平時的教學(xué)中，為了培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，我會有目的地精選一些具有隱含條件，易產(chǎn)生迷惑的典型例題在課堂中給學(xué)生練習(xí).

例如，關(guān)于一元二次方程的兩道判斷題.

（1）已知一元二次方程x +x+2=0，則它的兩根之和為-1，兩根之積為2.（？搖 ? ? ? ?？搖）

（2）若關(guān)于x的一元二次方程kx +x+1=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是k≤ .（？搖 ? ? ? ?？搖）

又如，關(guān)于不等式（組）的兩道選擇題.

（3）若一元一次不等式3x-a<0有3個正整數(shù)解，則a的取值范圍是（？搖 ? ? ? ? ？搖）

A.a>9 ? ? ? ? B.9

（4）若一元一次不等式組x≥24x-a≤0有4個正整數(shù)解，則a的取值范圍是（？搖 ? ? ? ?？搖）

A.a<24 ? ? ? ?B.20

分析：第（1）小題學(xué)生認(rèn)為很簡單，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系判斷為正確，其實(shí)是錯的.體現(xiàn)在思維不到位，沒有認(rèn)真審題，沒有注意到本題中的隱含條件△<0，方程無解.

第（2）小題學(xué)生很容易做錯，同樣是沒有注意到本題中二次項(xiàng)系數(shù)不能為零這一隱含條件.

第（3）小題是不等式相對較難的題目，在解題過程中最能體現(xiàn)學(xué)生的思維品質(zhì)，特別是思維之深刻性，稍不小心就會出錯.答A的同學(xué)只考慮到不等式的一邊;答B(yǎng)的同學(xué)雖然考慮到兩邊，但漏了一個等號;答C的同學(xué)雖考慮到等號，但等號取在左邊時，整數(shù)解就沒有3個了，應(yīng)該取在右邊.

第（4）小題類同（3），就不再具體分析了.

這兩題在解題中要借用數(shù)軸，認(rèn)真分析審題，深入思考，一方面要考慮到不等式的兩邊，另一方面要考慮到取等號，對不等式來說是難得的好題.在平時教學(xué)中，若常進(jìn)行這樣的訓(xùn)練，就可培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性.

三、一例多變，靈活變通，培養(yǎng)學(xué)生思維之靈活性

思維的靈活性是指在解決問題的過程中，能拫據(jù)條件的變化及時調(diào)整思維，產(chǎn)生處理問題的新方法和新思路.在教學(xué)中，如果經(jīng)常選擇一些可變性大的典型例題給學(xué)生訓(xùn)練，就有利于克服思維定勢對學(xué)生帶來的消極影響，提高思維靈活性和處理問題的變通能力.

例如，如圖2，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)I，若∠A=60°，求∠BIC.

分析：因?yàn)椤螧IC=180°-（∠IBC+∠ICB），而∠IBC+∠ICB= （∠ABC+∠ACB），再用內(nèi)角和易求出∠BIC=120°.

這道題看起來比較簡單，但有其可變性，在課堂教學(xué)中，我進(jìn)行了如下變式訓(xùn)練：

變式一：把已知中的∠A改為∠A=α，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出一個公式∠BIC=90°+ α.

變式二：把已知條件中兩條內(nèi)角平分線改為外角平分線，交點(diǎn)為O，如圖3，讓學(xué)生仿照變式一，先猜想∠BOC與∠A的關(guān)系，然后盡可能由學(xué)生自己得出又一個公式∠BOC=90°- α.非常巧，兩公式僅相差一個符號，很容易記住.

圖3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖4

變式三：把已知條件中的角平分線改為一條是內(nèi)角平分線，另一條為外角平分線，如圖4，這時兩平分線的夾角∠P與∠A又有怎樣的關(guān)系呢？

經(jīng)過我的引導(dǎo)和學(xué)生的努力，再得出一個公式∠P=∠ α.

通過以上變式訓(xùn)練，學(xué)生經(jīng)歷了由特殊到一般，由內(nèi)角平分線到外角平分線和一內(nèi)一外的變化，靈活利用角平分線、內(nèi)外角關(guān)系和三角形內(nèi)角和定理，揭示了三角形的兩個角的平分線的夾角與第三個角的關(guān)系，得到了一組有價值的求角公式，學(xué)生思維的靈活性得到了有效培養(yǎng).

四、積極思考，大膽質(zhì)疑，培養(yǎng)學(xué)生思維之批判性

在教學(xué)中我經(jīng)常要求學(xué)生積極思考，對老師的解法、思路進(jìn)行質(zhì)疑，多動腦子，不要迷信老師的解法.當(dāng)你認(rèn)為老師的做法有問題時，就要大膽提出自己的想法，與老師進(jìn)行探討和爭論.于是我在課堂教學(xué)中會有意設(shè)計一些錯解題，培養(yǎng)學(xué)生思維之批判性.

例如，在解方程時，我設(shè)計了一道可解的一元三次方程：x -2x -3x=0.

分析：學(xué)生看到這個題目時，思維比較活躍，有的說兩邊先同時除以未知數(shù)x，把它轉(zhuǎn)化一元二次方程;有的說利用因式分解的方法，把方程轉(zhuǎn)化為兩式相乘積為零的形式.于是我把兩種解法都呈現(xiàn)在黑板上.

解法一：兩邊同除以x得

x -2x-3=0

∵（x+1）（x-3）=0

∴x+1=0，x-3=0

∴x =-1，x =3

解法二：因式分解得

x（x -2x-3）=0

∴x=0……………（1），x -2x-3=0………………（2）

因此，方程有三個解：x =0，x =-1，x =3.

兩種解法出來后，要讓學(xué)生積極思考，大膽質(zhì)疑，到底哪一種解法是正確的，哪一種解法是錯誤的.原因何在？從而總結(jié)出解方程時，兩邊不能同時除以未知數(shù)，會產(chǎn)生漏解現(xiàn)象.在教學(xué)中如能常常進(jìn)行這樣的訓(xùn)練，則對培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考能力、質(zhì)疑能力和思維之批判性是大有益處的.

五、不循常規(guī)，另辟蹊徑，培養(yǎng)學(xué)生思維之敏捷性

思維的敏捷性是指思維過程中的速度迅速，眉頭一皺，計上心來，在教學(xué)中我經(jīng)常鼓勵學(xué)生在解題時，可不按常規(guī)，不受思維定勢的影響，尋求解題捷徑，解法新穎、快速、簡潔，從而培養(yǎng)了學(xué)生思維之敏捷性.

例如：已知二元一次方程組3x+2y=2m+1…………（1）2x+3y=m+3…………（2）的解x，y滿足x-y>3，求m的取值范圍.

分析：對于本題，如果按常規(guī)的解法，先解方程組，然后代入解不等式，當(dāng)然可以求出m的取值范圍.但是，當(dāng)我提出能否不通過解方程組而直接求出x-y，學(xué)生的思維開始活躍起來.思維敏捷的學(xué)生，一下發(fā)現(xiàn)了方程組中右邊系數(shù)的特點(diǎn)，只要把兩個方程相減立刻就可以求出x-y=m-2，相比常規(guī)解法，這種解法充分體現(xiàn)了思維之敏捷性.

六、注重開放，努力探尋，培養(yǎng)學(xué)生思維之創(chuàng)造性

思維的創(chuàng)造性，是指學(xué)生在處理問題時，能創(chuàng)造性地探尋并獲取解決問題的途徑、方法和規(guī)律.數(shù)學(xué)中的各類開放題型，主要有條件開放、結(jié)論開放和綜合開放等，它最能調(diào)動學(xué)生主動探尋獲得知識的積極性.在課堂教學(xué)中多進(jìn)行這方面的訓(xùn)練，學(xué)生的思維創(chuàng)造性可得到很好的培養(yǎng).

例如，在探求數(shù)列規(guī)律時，以下幾種常見的數(shù)列，是學(xué)生要掌握的.

（1）等差數(shù)列：如3，7，11，15，19，……

（2）自然數(shù)平方數(shù)列：1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，……

（3）自然數(shù)立方數(shù)列：1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，……

（4）疊加數(shù)列：如：3，6，10，15，21，28，……

（5）乘方數(shù)列：2 ，2 ，2 ，2 ，2 ，……

在掌握以上數(shù)列的基礎(chǔ)上，我通常會引導(dǎo)學(xué)生展開思維，努力探尋，發(fā)揮自己的創(chuàng)造性，編寫一些有規(guī)律的新數(shù)列.可喜的是，學(xué)生編寫出了以下數(shù)列：

（1）0，3，8，15，24，……

（2）2，5，10，17，26，……

（3）0，7，26，63，124，……

（4）2，9，28，65，126，……

（5）1，3，7，15，31，……

（6）3，5，9，17，33，……

（7）4，7，11，16，22，……

（8）2，12，36，80，150，……

（9）0，4，18，48，100，……

數(shù)列問題雖然在初中數(shù)學(xué)教材中，沒有安排專門的章節(jié)讓學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)，但是在各地中考中數(shù)列規(guī)律題是經(jīng)常考到的.探尋數(shù)列的規(guī)律有一定難度，它能充分調(diào)動學(xué)生的思維，像這樣的開放題訓(xùn)練最能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，在日常的教學(xué)中要加以重視.

培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)，是廣大教育工作者的艱巨任務(wù).數(shù)學(xué)教師在平時的教學(xué)中，除了要傳授數(shù)學(xué)知識外，更重要的是要在傳授知識的同時，培養(yǎng)學(xué)生各方面能力.以上就是我通過巧選精練這一環(huán)節(jié)，對培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)的體會，有不當(dāng)之處，請大家批評指正.

參考文獻(xiàn)：

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