循環(huán)小數(shù)的分?jǐn)?shù)表示公式

譚婕 馮玉明

摘 要： 本文給出了循環(huán)小數(shù)的分?jǐn)?shù)表示公式，由此公式我們很方便地得到任何循環(huán)小數(shù)的分?jǐn)?shù)表示.

關(guān)鍵詞： 分?jǐn)?shù) 循環(huán)小數(shù) 表示

1.問題提出及準(zhǔn)備知識(shí)

十進(jìn)制的某個(gè)數(shù)，如果從小數(shù)點(diǎn)后某一位開始不斷地重復(fù)出現(xiàn)前一個(gè)或幾個(gè)數(shù)字，就叫做循環(huán)小數(shù)。這里的“數(shù)字”指的是1，2，3，…，9.

比如，3.333…，0.232323…都是循環(huán)小數(shù)。通常我們把3.333…記為3.3，表示在這個(gè)小數(shù)中“3”是循環(huán)數(shù)字；0.232323…記為0.23，表示“23”是循環(huán)數(shù)字.

我們都知道，分?jǐn)?shù)很容易化為小數(shù)（可能是有限小數(shù)，也可能是循環(huán)小數(shù)）.

實(shí)數(shù)包括有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，如果我們將有限小數(shù)看做是無(wú)限0循環(huán)小數(shù)，比如，0.2可以看做0.20，那么有理數(shù)集就是所有循環(huán)小數(shù)構(gòu)成的集合，無(wú)理數(shù)集就是所有非循環(huán)小數(shù)構(gòu)成的集合.

循環(huán)小數(shù)和分?jǐn)?shù)可以互相表示，給定一個(gè)分?jǐn)?shù)，我們可以很容易地得到一個(gè)循環(huán)小數(shù)；但是，給定一個(gè)循環(huán)小數(shù)，要由此得到一個(gè)分?jǐn)?shù)，就不是那么簡(jiǎn)單了.

本文給出了循環(huán)小數(shù)的分?jǐn)?shù)表示公式，由此公式我們可以很方便地得到任何循環(huán)小數(shù)的分?jǐn)?shù)表示.

我們的證明需要用到以下引理.

引理2.1[1]a+aq+aq■+…+aq■+…=■，其中a，q∈R，|q|<1，這里R表示實(shí)數(shù)集.

2.主要結(jié)果

定理2.1？搖0.a■a■…a■=■，其中a■，a■，…，a■是0～9內(nèi)的自然數(shù)，且a■≠0；這里分母上有n個(gè)9.

證明：0.a■a■…a■=0.a■+0.0a■+…+0.■a■+0.■a■

+0.■a■+…+0.■a■+…

=（0.a■+0.■a■+…）+（0.0a■+0.■a■+…）+

…（0.■a■+0.■a■+…）+…

=0.a■（1+0.■1+…）+0.0a■（1+0.■1+…）+

…+0.■a■（1+0.■1+…）+…

=0.a■·■+0.0a■·■+…+

0.■a■·■+…

=（0.a■a■…a■）·■=■.

3.例子

例3.1用分?jǐn)?shù)形式表示下列循環(huán)小數(shù)

0.■，0.■■，0.■■■，0.■.

解：應(yīng)用以上定理可以得到結(jié)論：

0.■=■=■；

0.■■=■

0.■■■=■=■

0.■=■=■

4.其他方法

下面以例子的形式給出一種簡(jiǎn)單的計(jì)算方法，以例3.1中的例子為例展示這種方法.

令a=0.■，那么

10a=3.■；

10a-a=3；

9a=3

從而

a=■.

同樣道理，令b=0.■■，那么

100b=34.■■；

100b-b=34；

99b=34；

從而

b=■.

0.■■■=■以及 0.■=■=■也可以很容易地由這種方法得到.

5.結(jié)語(yǔ)

中學(xué)數(shù)學(xué)就提及有理數(shù)是分?jǐn)?shù)構(gòu)成的集合，有理數(shù)是循環(huán)小數(shù)構(gòu)成的集合，但是很少有參考書給出分?jǐn)?shù)與有理數(shù)的轉(zhuǎn)化公式.本文給出了一個(gè)簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化公式，運(yùn)用這個(gè)公式，任何循環(huán)小數(shù)，只要看一眼，就知道它的分?jǐn)?shù)形式是怎么樣的.我們的結(jié)果對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教師有很好的參考價(jià)值.

參考文獻(xiàn)：

[1]龔德恩等.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（第四版）[M].四川人民出版社.