解題反思：數學解題中被遺忘的角落

李恩兵

摘 要： 解題反思是對整個解題活動深層次的思考，是再發現、再創造的過程。數學問題的解決后，還應該更深一步挖掘題目隱含的條件，命題的目的，所涉及的知識要點和數學思想方法，進一步探討解題過程的思維方式是否正確、合理、嚴謹；解決問題的策略是否巧妙，有無其他解法；本題的解法和結論能否進一步推廣。反思解題過程，可以培養學生思維的嚴謹性；反思解題結果，可以培養學生思維的合理性；反思解題方法，可以培養學生思維的創造性；反思“一題多解、一題多變、一解多題”，可以培養學生思維的發散性。

關鍵詞： 數學解題反思 解題過程 解題結果 一題多解 一解多題

在《數學的心臟》中，美國數學家P.R.Halmos提出“數學的心臟是問題”，可見學習數學需要解題。多做題目在一定程度上是可以提高解題能力，然而影響提高數學解題能力，有諸多條件和因素。其中普遍被遺忘的一個重要環節：解題后的“反思”。如何引導學生進行有效的反思呢？筆者做了以下嘗試。

一、反思解題過程

（一）解題完成之后應立即反思解題過程，默默問自己：

我的推理過程是否嚴密？

我的表達是否規范？

我的書寫是否簡潔？

（二）進一步深入思考：

反思解題方法，是怎樣做出來的？

反思解題依據的原理，為什么可以這樣做？

反思解題思路，為什么會想到這種方法？

學生通過對解題過程深入細致地反思，變被動接受為主動積極參與、主動獲得，既能讓學生對概念、定理、規律、方法理解得更加完整和深刻，又易于學生學習的知識內化和正向遷移，還能夠培養學生嚴謹、縝密的思維習慣。

二、反思解題結果

反思解題結果可以檢驗解題的合理性，豐富解題的成果。解題獲得答案后可以反思：我的結論可信嗎？還有其他結論嗎？還有哪些收獲？

（一）反思結果的合理性。

例：學校準備在圖書館后面的場地邊上建一個面積為50平方米的長方形自行車棚，一邊利用圖書館的后墻，后墻長18米，并利用已有的總長為25米的鐵圍欄，請你設計，如何搭建較合適？

學生解題得長是20米，寬為2.5米或長為10米，寬為5米。得出結果后反思，兩組解都合理嗎？

（二）反思解題結果或條件的引申變換，解題后反思題目條件、結論可否變換，能否繼續引申，即一題多變。

在完成證明“依次連接菱形各邊中點所得的四邊形是矩形”之后，可以反思：如果菱形改為四邊形結論會是怎樣呢？平行四邊形呢？矩形呢？如果是等腰梯形結論又如何？

這樣就超出了單純的為結果而解題，思維的產物也超出題目本身的內涵，具有一定的創新性。

（三）反思解題特點。

反思上例中的解題，會發現共同特點：都要構造三角形，都是應用三角形的中位線解題。

深入思考還發現，所得四邊形的形狀是由原四邊形對角線的性質決定的，對角線互相垂直可得四邊形是矩形；對角線相等得到的就是菱形；相等又垂直得到四邊形就是正方形。

在解決問題后，引導學生反思，并歸納解題的基本規律，這比解幾道題目的意義大多了，不僅使學生掌握了解答某一類問題的規律，形成科學解題的基本思路，還訓練了學生從特殊到一般的歸納總結能力。

三、反思一題多解，一解多題

一題多解，即對同一題目，從不同角度運用不同的思維，聯系各種數學背景，采用不同的數學方法，廣開思路分析探討，從而獲得多種解題途徑。通過訓練使學生通過反思，從不同的角度、不同的方位分析、思考問題，溝通知識之間的縱橫聯系，培養發散性思維。

一解多題，即是用同一種（或同類）方法解多個不同的題目，這對于培養學生發現、應用規律的能力，提高學生的數學概括能力有很大的幫助。

四、反思錯題

學生在解題中由于審題不清、思維的不嚴密，對知識理解的不深刻、考慮問題不全面，經常會導致錯誤的結果。我們應該啟發、引導學生對解題結果作進一步反思，從反思中鑒別解題結果的真偽，辨別錯誤出在何處？產生的根源是什么？如何得出正確答案？

在解題教學中，如果能經常啟發引導學生在解題后反思其結果的合理性，反思是否可將題設條件和結果進行引申和變換，反思解題方法的多樣性，反思錯題的根源，再將不同的題目按解法或按題型或按類型串在一起，不僅有利于學生學習從不同角度、不同層次探索新命題和獲取新知識的方法，而且能提高學生解決問題的能力，產生舉一反三、觸類旁通的教學效應，充分調動學生的學習積極性，還能培養學生的抽象概括思維能力、聯想思維能力和建模能力，發展學生的創新思維能力。

參考文獻：

[1]單墫.解題研究.南京師范大學出版社，2002.

[2]呂建恒.一道幾何題的證明思路及方法.中學數學教學參考，2006，4.