學好“二元一次方程組”的幾點認識

顏世波

二元一次方程組是同學們學習一元一次方程的再提升，要掌握二元一次方程組的解法及應用，務必要掌握以下幾個要點：

一、 二元一次方程組的概念

1. 二元一次方程的定義

定義：含有兩個未知數（形如和），并且所含未知數的項的次數都是1的方程叫做二元一次方程.

【注解】

（1） 方程中的“元”是指未知數，“二元”就是指方程中有且只有兩個未知數；

（2） “未知數的次數為1”是指含有未知數的項“單項式”的次數是1.

（3） 二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.

例1 方程中：①2-y3=1；②2x+y=3；③5（x+y）=7（x-y）；④1x+y=4中是二元一次方程的有______. （填寫序號即可）

【分析】①和③方程中只含有兩個未知數，并且未知數的次數都是“1”的整式方程；而②和④中雖然也含有兩個未知數，但是左邊的代數式不是整式，所以不是二元一次方程.

【答案】①和③方程是二元一次方程.

【點評】此題主要考查了二元一次方程的概念.

2. 二元一次方程的解

定義：適合二元一次方程的一對未知數的值叫做這個二元一次方程的一個解.

【注解】二元一次方程的每一個解，都是一對數值，而不是一個數值，要用大括號聯立起來，即二元一次方程的解通常表示為x=a，

y=b.的形式.

例2 下列各組數中，不是方程3x-2y-1=0的解是（ ）.

A. x=1，y =1

B. x=2，y=52

C. x=0，y=-12

D. x=2，y=1

【分析】分別把A、B、C、D四個答案代入到方程3x-2y-1=0中，如果左≠右，那么這個答案成立.

【答案】選D.

【點評】本題考查了二元一次方程解的情況及解成立的條件.

3. 二元一次方程組的定義

定義：含有兩個未知數（形如x和y）的兩個一次方程所組成的方程組叫做二元一次方程組. 此外，組成方程組的各個方程也不必同時含有兩個未知數.例如二元一次方程組3x+4y=5，

x=2.

【注解】（1） 二元一次方程組的一般形式為（a，b，d，e不能同時為0）.

（2） 如果兩個一次方程合起來共有兩個未知數，那么它們組成一個二元一次方程組.

（3） 其中符號“{”表示同時滿足，相當于“且”的意思.

例3 下列方程組中，不是二元一次方程組的為（ ）.

（1） x+y=2，

2x-2=3.

（2） x+y=4，

xy=3.

（3） 3x+y=5，

x-3y=4.

（4） 12x+y=0，

3x-2y=1.

（5） y=1，

x=2.

A. （1）（2）

B. （2）（5）

C. （3）（5）

D. （2）（4）

【分析】（1）、（3）、（5）方程組中含有兩個未知數，并且每個方程中未知數的次數都是“1”，而（2）和（4）雖然方程組中都含有兩個未知數，但（2）中的第二個方程的次數是“2”，（4）中第二個方程是一個分式方程，所以也不是二元一次方程組.

【答案】D.

【點評】本題考查的是對二元一次方程組定義的理解.

4. 二元一次方程組的解

定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

【注解】（1） 方程組中每個未知數的值應同時滿足兩個方程，所以檢驗是否是方程組的解，應把數值代入兩個方程，若兩個方程同時成立，才是方程組的解，而方程組中某一個方程的某一組解不一定是方程組的解.

（2） 方程組的解要用大括號聯立；

（3） 一般地，二元一次方程組的解只有一個，但也有特殊情況，如方程組2x+y=5，

2x+y=6.無解，而方程組x+y=-1，

2x+2y=-2.的解有無數個.

例4 既是方程2x+3y=6，又是方程3x+2y=-1的解是（ ）.

A. x=3，

y=-2.

B. x=-3，

y=4.

C. x=3，

y=2.

D. x=-3，

y=2.

【分析】可以將A、B、C、D四個答案分別代入到方程2x+3y=6和方程3x+2y=-1中，如果每個方程都成立，則就是兩個方程的解.

【答案】B.

【點評】本題考查了二元一次方程組的定義，所以檢驗是否是方程組的解，應把數值代入兩個方程，若兩個方程同時成立，才是方程組的解，而方程組中某一個方程的某一組解不一定是方程組的解.

二、 二元一次方程組的解法

二元一次方程組的解法思想

1. 用代入消元法解二元一次方程組的一般過程：

（1） 從方程組中選定一個系數比較簡單的方程進行變形，用含有x（或y）的代數式表示y（或x），即變成y=ax+b（或x=ay+b）的形式；

（2） 將y=ax+b（或x=ay+b）入另一個方程（不能代入原變形方程）中，消去x（或y），得到一個關于y（或x）的一元一次方程；

（3） 解這個一元一次方程，求出y（或x）的值；

（4） 把x（或y）的值代入y=ax+b（或x=ay+b）中，求x（或y）的值；

（5） 用“{”聯立兩個未知數的值，就是方程組的解.

【注解】（1） 用代入法解二元一次方程組時，應先觀察各項系數的特點，盡可能選擇變形后比較簡單或代入后化簡比較容易的方程變形；

（2） 變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個方程；

（3） 要善于分析方程的特點，尋找簡便的解法.如將某個未知數連同它的系數作為一個整體用含另一個未知數的代數式來表示，代入另一個方程，或直接將某一方程代入另一個方程，這種方法叫做整體代入法.整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運用可使運算簡便，提高運算速度及準確率.

例5 用代入消元法解方程2x+3y=40，①

x-y=-5.②

【分析】（1） 從方程組中選定一個系數比較簡單的方程進行變形，用含有x（或y）的代數式表示x（或y），即變成y=ax+b（或x=ay+b）的形式；

（2） 將y=ax+b（或x=ay+b）入另一個方程（不能代入原變形方程）中，消去x（或y），得到一個關于x（或y）的一元一次方程.

解：由②，得

y=x+5，③

將③代入①，得

2x+3（x+5）=40，

解這個一元一次方程，得

x=5，

將=5代入③，得

y=10.

∴原方程組的解是x=5，

y=10.

【點評】本題主要考查如何用代入法解二元一次方程組，最重要的是從方程組中選定一個系數比較簡單的方程進行變形.

2. 用加減消元法解二元一次方程組的一般過程：

（1） 根據“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個不等于0的數，等式仍然成立”的性質，將原方程組化成有一個未知數的系數絕對值相等的形式；

（2） 根據“等式兩邊加上（或減去）同一個整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質，將變形后的兩個方程相加（或相減），消去一個未知數，得到一個一元 一次方程；

（3） 解這個一元一次方程，求出一個未知數的值；

（4） 把求得的未知數的值代入原方程組中比較簡單的一個方程中，求出另一個未知數的值.

（5） 將兩個未知數的值用“{”聯立在一起即可.

【注解】當方程組中有一個未知數的系數的絕對值相等或同一個未知數的系數成整數倍時，用加減消元法較簡單.

例6 用加減消元法解方程組：2x+3y=40，①

x-y=-5.②

【分析】（1） 根據“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個不等于0的數，等式仍然成立”的性質，將原方程組化成有一個未知數的系數絕對值相等的形式；

（2） 根據“等式兩邊加上（或減去）同一個整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質，將變形后的兩個方程相加（或相減），消去一個未知數，得到一個一元 一次方程；

解：由②×3，得

3x-3y=-15，③

①+③，得

5x=25，

解這個方程得

x=5，

將=5代入到②中得

y=10.

∴原方程組的解是x=5，

y=10.

【點評】本題主要考查如何用加減法解二元一次方程組，最重要的是從方程組中選定一個系數比較簡單的項，然后利用加減消元法消掉未知數，使方程組變成一元一次方程來解.

三、 用方程組解決實際問題

【注解】1. 解實際應用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據應用題的實際意義，檢查求得的結果是否合理，不符合題意的解應該舍去；

2. “設”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；

3. 一般來說，設幾個未知數就應該列出幾個方程并組成方程組.

例7 某紙品加工廠為了制作甲、乙兩種無蓋的長方體小盒（如圖），利用邊角料裁出正方形和長方形兩種硬紙片，長方形的寬與正方形的邊長相等. 規格150張正方形硬紙片和300張長方形硬紙片全部用于制作這兩種小盒，可以做成甲、乙兩種小盒各多少個？

【分析】甲種紙盒用正方形紙片1張，長方形紙片4張；乙種紙盒用正方形紙片2張，長方形紙片3張.

解：設可供制作甲種紙盒x個，乙種紙盒y個.

根據題意，得x+2y=150，

4x+3y=300.

解這個方程組，得x=30，

y=60.

答：可供制作甲種紙盒30個，乙種紙盒60個.

【點評】列方程組解決實際問題和列一元一次方程解決實際問題是一樣的，要注重：1. 審題；2. 找題目中的相等關系；3. 設相應的未知數；4. 列方程組；5. 解方程組；6. 檢驗；7. 寫出答案.