一元一次不等式應用的調查活動方案

潘慶

【活動背景】本次活動是在學習了一元一次不等式的解法、利用一元一次不等式解決實際問題等知識的基礎上，經過探索具體情境的數量關系，體會如何進一步利用一元一次不等式來解決實際生活中的較復雜問題.

【課前準備】

1. 調查班級同學父母所在的單位和工作性質，便于選擇相關的場所和調查對象

2. 調查所在學校與問題相關的場所，選擇適合做調查且組織學生去調查

3. 填寫調查表格

你們計劃調查的問題＼&＼&你們將選擇的調查場所＼&＼&小組成員

【活動過程】

活動一：組織學生進行課外調查

1. 小組分工采訪周圍熟悉的有關人員或者工廠、農村、商店、農貿市場、銀行、郵局等，與相關人員進行交流，收集所需的數據和數量關系.

2. 小組匯報與內部交流

小組的具體分工＼&＼&小組調查的場地與研究對象＼&＼&小組所研究的問題＼&＼&小組利用所得數據處理，構造出能用一元一次不等式解決的問題＼&＼&把相關問題轉化為數學問題，列出一元一次不等式＼&＼&解出不等式，并對不等式的解做出解釋

活動二：進行全班交流，學生代表匯報活動過程、成果.

小王到到某廠調查，廠長對小王說：“我廠現有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計劃用這兩種原料生產A、B兩種產品.生產一件A種產品，需用甲種原料9千克，乙種原料3千克，每件產品可以獲利潤700元；生產一件B種產品，需用甲種原料4千克，乙種原料10千克，每件產品可獲利潤1 200元.

現有三家公司想購買我廠的產品.“天河”公司只想購買A種產品，有多少要多少；“中誠”公司只想購買B種產品，也是有多少要多少；“方能”公司想購買A、B兩種產品共50件.但我廠只能選擇其中一家公司合作，你認為和哪家公司簽約獲利最多？”

由于信息量太大，小王把重要信息制作成表格.

＼&甲種原料（共360 kg）＼&乙種原料（共290 kg）＼&獲利＼&A種產品＼&9 kg/件＼&＼&3 kg/件＼&700元/件＼&B種產品＼&4 kg/件＼&10 kg/件＼&1 200元/件

小王先算出了與“天河”簽約后獲得的利潤，并寫出了解題過程.

解：設利用現有原材料可以生產x件A種產品.

根據題意，得不等式組9x≤360，

3x≤290.

解這個不等式組，得x≤40.

當x=40時，獲利最大，獲利為700×40=28 000（元）.

所以與“天河”公司簽約最多可以獲利28 000元.

問題1：請你用如上的方法幫助小王算出與“中誠”公司簽約的最大利潤嗎？

問題2：與“方能”公司簽約的情況比較復雜，為了解決這個問題，小王設計了以下的思路：

①設生產A種產品x件，求出x的取值范圍，再確定生產B種產品的件數，看看有哪幾種生產方案？

②分別計算出這幾種方案所獲得的利潤，哪個方案獲得利潤最大？你能算出最大利潤嗎？

問題3：綜合以上對三家公司的分析，小王應建議廠長與誰簽約？怎樣安排生產？

解：（1） 設利用現有原材料可以生產x件B種產品.

根據題意，得不等式組4x≤360，

10x≤290.解得x≤29.

當x=29時，獲利為1 200×29=34 800（元）.

所以與“中誠”公司簽約最多可以獲利34 800元.

（2） ①設生產A種產品x件，則生產B種產品（50-x）件.

根據題意，得不等式組9x+4（50-x）≤360，

3x+10（50-x）≤290.解得30≤x≤32.

因為x為正整數，所以x為30、31、32.所以有三種方案：（a） A種產品30件，B種產品20件；（b） A種產品31件，B種產品19件；（c） A種產品32件，B種產品18件.

②方案（a）獲利為700×30+1 200×20=45 000（元）；

方案（b）獲利為700×31+1 200×19=44 500（元）；

方案（c）獲利為700×32+1 200×18=44 000（元）；

（3） 綜合以上的分析，建議廠長與“方能”公司簽約，按方案（a）生產.

【活動創新】

第二天，廠長又來找小王，通過市場調研，發現A產品會漲價，用過商談，“方能”公司愿意按漲價后的價格購買A種產品，但是B種產品的價格不變，廠長想知道是否要調整A、B兩種產品的生產數量？小王問廠長A種產品每件會漲價多少元，廠長說目前還不知道.小王通過計算，給了廠長一個完全之策，你知道小王是如何回答廠長的嗎？

解：設A產品會漲價a（a>0）元，生產A產品x件，生產A、B兩種產品共獲利y元.

根據題意，得y=（700+a）x+1 200（50-x），即y=（a-500）x+60 000，

當a=500時，無論x取何值，y=（500-500）x+60 000=60 000，所以方案（a）、（b）、（c）三種方案獲利都是一樣的；

當a>500時，a-500>0，y隨x的增大而增大，所以當x=32時y的值最大，即方案（c）獲利最大.

當a<500時，a-500<0，y隨x的增大而減小，所以當x=30時y的值最大，即方案（a）獲利最大.

給廠長的建議：如果A產品漲價正好是500元，那么不要調整甲、乙兩種產品的生產數量；如果A產品漲價高于500元，那么按方案（c）生產，如果A產品漲價低于500元，那么按方案（a）生產.

【活動收獲】通過本次活動，你覺得一元一次方程對解決實際問題是否有用？你在調查中遇到來什么困難？你參加本次活動最大的感受與收獲是什么？你愿意參加這樣的數學活動嗎？在活動過程中，你運用了什么數學知識和思想方法？