如何獲取最大利益？

王永寬

不等式（組）的知識(shí)是初中數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)，同時(shí)也是中考的熱點(diǎn). 不等式（組）的知識(shí)在我們的實(shí)際生活中也有著廣泛的應(yīng)用，真正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)與生活. 近幾年來(lái)，應(yīng)用不等式（組）的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的試題倍受命題者的青睞，在中考試題中也頻頻亮相.現(xiàn)就如何獲取最大利益精選幾例分析如下，供同學(xué)們鑒賞.

例1 世紀(jì)公園的票價(jià)是：每人5元；一次購(gòu)票滿30張，每張可少收1元. 某班有27名少先隊(duì)員去世紀(jì)公園進(jìn)行活動(dòng). 當(dāng)領(lǐng)隊(duì)王小華準(zhǔn)備好了零錢到售票處買27張票時(shí)，愛動(dòng)腦筋的李敏同學(xué)喊住了王小華，提議買30張票. 但有的同學(xué)不明白，明明我們只有27個(gè)人，買30張票，豈不是“浪費(fèi)”嗎？

【解析】買27張票的錢=27×5=135（元），買30張票的錢=30×（5-1）=120（元），

由于135>120，所以購(gòu)買30張票不僅不“浪費(fèi)”，反而更省錢.

【思維點(diǎn)撥】設(shè)購(gòu)買x張門票.由5x=120可得x=24.這說(shuō)明當(dāng)x=24即購(gòu)買24張門票時(shí)，其費(fèi)用與購(gòu)買30張門票的費(fèi)用相等.由此可知：當(dāng)x≤24時(shí)，應(yīng)直接按每人5元購(gòu)買x張門票；當(dāng)24

例2 某市移動(dòng)通訊公司開設(shè)了兩種通訊業(yè)務(wù)：“全球通”使用者先繳30元/月基礎(chǔ)費(fèi)，然后每通話1分鐘，再付電話費(fèi)0.1元，“神州行”不繳月基礎(chǔ)費(fèi)，每通話1分鐘，付電話費(fèi)0.2元.假設(shè)一個(gè)月的通話時(shí)間為x分鐘，兩種通訊方式的費(fèi)用分別為y↓1元和y↓2元.

（1） 試用x的代數(shù)式分別表示出y↓1、y↓2的值；

（2） 一個(gè)月內(nèi)通話多少分鐘時(shí)，兩種通訊方式的費(fèi)用相同？

（3） 若某人預(yù)計(jì)一個(gè)月內(nèi)通話費(fèi)80元，則應(yīng)選擇哪種通訊方式較合算？

【解析】（1） y↓1=0.1x+30，y↓2=0.2x；（2） 令y↓1=y↓2得0.1x+30=0.2x，解得x=300（分鐘）.所以一個(gè)月內(nèi)通話300分鐘時(shí)，兩種通訊方式的費(fèi)用相同；（3） 由y↓1=80得0.1x+30=80，解得x=500（分鐘）；由y↓2=80得0.2x=80，解得x=400（分鐘）.由于500>400，所以應(yīng)選擇“全球通”方式比較合算.

【思維點(diǎn)撥】問(wèn)題（3）的解題關(guān)鍵是先將兩種通訊方式下的通話時(shí)間分別求出來(lái)，然后進(jìn)行比較大小，從而確定出哪種通訊方式比較合算.類似于問(wèn)題（3）類型的問(wèn)題還可采用如下的一般解法：令y↓1=y↓2得0.1x+30=0.2x，解得x=300（分鐘）.此時(shí)y↓1=y↓2=60（元）.所以一個(gè)月內(nèi)通話時(shí)間為300分鐘時(shí)，兩種通訊方式的費(fèi)用相同，其費(fèi)用為60元；令y↓1>y↓2得0.1x+30>0.2x，解得x<300（分鐘）. 此時(shí)60>y↓1>y↓2.所以一個(gè)月內(nèi)通話時(shí)間小于300分鐘或通話費(fèi)用小于60元時(shí)，“神州行”方式比較合算；令y↓1300（分鐘）.此時(shí)60

例3 新知中學(xué)初三年級(jí)準(zhǔn)備購(gòu)買10只米奇品牌的筆袋，每只筆袋配x（x≥3）支水筆作為獎(jiǎng)品，已知A、B兩家超市都有這個(gè)牌子的筆袋和水筆出售，而且每只筆袋的標(biāo)價(jià)都為20元，每支水筆的標(biāo)價(jià)都為1元，現(xiàn)兩家超市正在促銷，A超市所有商品均打九折銷售，而B超市買1只筆袋送3支水筆，若僅考慮購(gòu)買筆袋和水筆的費(fèi)用，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

（1） 如果只在某一家超市購(gòu)買所需筆袋和水筆，那么去A超市還是B超市買更合算？

（2） 當(dāng)x=12時(shí)，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)最省錢的購(gòu)買方案.

【解析】（1） 設(shè)在A超市購(gòu)買的費(fèi)用為y↓1元，在B超市購(gòu)買的費(fèi)用為y↓2元，則據(jù)意得：

y↓1=（10×20+10x）×90%=9x+180，y↓2=10×20+10（x-3）=10x+170；

令y↓1>y↓2得9x+180>10x+170，解得x<10.所以當(dāng)3≤x<10時(shí)，去B超市更合算；令y↓1=y↓2得9x+180=10x+170，解得x=10.所以當(dāng)x=10時(shí)，兩家超市的費(fèi)用一樣，可任選其中一家超市購(gòu)買；令y↓110.所以當(dāng)x>10時(shí)，去A超市更合算.

綜上所述：當(dāng)x>10時(shí)，去A超市購(gòu)買更合算；當(dāng)x=10時(shí)，去A超市或B超市購(gòu)買一樣；當(dāng)3≤x<10時(shí)，去B超市購(gòu)買更合算.

（2） 當(dāng)x=12時(shí)，即購(gòu)買10只筆袋，應(yīng)配120支水筆.由于x=12>10，若只在一家超市購(gòu)買所需筆袋和水筆，則顯然是去A超市更合算.但問(wèn)題（2）并沒(méi)有像問(wèn)題（1）那樣限定只在一家超市購(gòu)買，故而可同時(shí)選擇去兩家超市購(gòu)買，其購(gòu)買方案如下：設(shè)總費(fèi)用為w，在A超市買m只筆袋，則在B超市買（10-m）只筆袋，送3（10-m）支水筆. 因?yàn)锳超市所有商品均打九折銷售，所以剩下[120-3（10-m）]支水筆應(yīng)在A超市買.據(jù)意得：w=0.9[20m+120-3（10-m）]+20（10-m），即 w=0.7m+281（0≤m≤10）.顯然當(dāng)m=0時(shí)，w的值最小，其最小值為w=281. 綜上所述：當(dāng)x=12時(shí)，最省錢的購(gòu)買方案為：只在B超市購(gòu)買10只筆袋，同時(shí)獲得送30支水筆，然后再去A超市按九折購(gòu)買90支水筆.

【思維點(diǎn)撥】由于問(wèn)題（1）限定了只在一家超市購(gòu)買筆袋和水筆，所以其購(gòu)買方案有兩種：一種是全部去A超市，第二種是全部去B超市，究竟去哪家超市更合算顯然取決于x的取值.而問(wèn)題（2）并沒(méi)有限定只在一家超市購(gòu)買筆袋和水筆，所以其購(gòu)買方案有三種：一種是全部去A超市，第二種是全部去B超市，第三種是同時(shí)選擇去兩家超市購(gòu)買，考慮到A超市所有商品均打九折銷售，故除贈(zèng)送的部分水筆外，其余差缺的水筆應(yīng)在A超市購(gòu)買.

【鞏固練習(xí)】

1. 小王大學(xué)畢業(yè)后去兩家超市應(yīng)聘：A超市底薪為1 000元再加上每月銷售額的10%；B 超市底薪為600元再加上每月銷售額的20%.如果你是小王，那么該選擇去哪家超市上班？

2. 某服裝廠生產(chǎn)一種西裝和領(lǐng)帶，西裝每套定價(jià)200元，領(lǐng)帶每條定價(jià)40元. 廠方在開展促銷期間，向客戶提供兩種優(yōu)惠方案：（1） 買一套西裝送一條領(lǐng)帶；（2） 西裝和領(lǐng)帶均按定價(jià)的90%付款.某商店老板現(xiàn)要到該服裝廠購(gòu)買西裝20套，領(lǐng)帶x（x>20）條. 聰明的你，請(qǐng)你幫助該商店老板設(shè)計(jì)出最省錢的購(gòu)買方案.

【參考答案】

1. 設(shè)每月銷售額為x元，A超市的工資為y↓1元，B超市的工資為y↓2元.據(jù)意得：

y↓1=1 000+10%x；y↓2=600+20%x.

令y↓1=y↓2得1 000+10%x=600+20%x，解得x=4 000；

令y↓1>y↓2得1 000+10%x>600+20%x，解得x<4 000；

令y↓14 000；

綜上所述：若小王每個(gè)月的銷售額小于4 000元，那么應(yīng)該選擇去A超市上班；若小王每個(gè)月的銷售額等于4 000元，那么去A超市或B超市的工資是一樣的，可任選一家超市去上班；若小王每個(gè)月的銷售額大于4 000元，那么應(yīng)該選擇去B超市上班.

2. 本題有三種購(gòu)買方案：第一種是按優(yōu)惠方案（1）購(gòu)買，第二種是按優(yōu)惠方案（2）購(gòu)買，第三種是同時(shí)選擇兩種優(yōu)惠方案購(gòu)買.

方案①：只選擇優(yōu)惠方案（1）購(gòu)買，設(shè)其購(gòu)買費(fèi)用為y↓1元，據(jù)意得：

y↓1=200×20+（x-20）×40=40x+3 200.

方案②：只選擇優(yōu)惠方案（2）購(gòu)買，設(shè)其購(gòu)買費(fèi)用為y↓2元，據(jù)意得：

y↓2=（200×20+40x）×90%=36x+3 600.

令y↓1>y↓2得40x+3 200>36x+3 600，解得x>100；

令y↓1=y↓2得40x+3 200=36x+3 600，解得x=100；

令y↓1

由此可見：當(dāng)x>100時(shí)，方案②比方案①省錢；當(dāng)x=100時(shí)，方案①與方案②的費(fèi)用相同；

當(dāng)x<100時(shí)，方案①比方案②省錢.

方案③：同時(shí)選擇兩種優(yōu)惠方案，為了能獲得廠方贈(zèng)送領(lǐng)帶的數(shù)量最多，又同時(shí)享受9折優(yōu)惠，可采用先按方案①購(gòu)買20 套西裝并獲贈(zèng)20條領(lǐng)帶，然后余下（x-20）條領(lǐng)帶按優(yōu)惠方案②購(gòu)買，設(shè)其購(gòu)買費(fèi)用為y↓3元，據(jù)意得：

y↓3=200×20+（x-20）×40×90%=36x+3 280.

由于3 600>3 280，顯然方案③比方案②省錢.

方案③與方案①比較，令y↓320，所以當(dāng)x>20時(shí)，方案③比方案①省錢.

綜上所述，當(dāng)x>20時(shí)，按方案③購(gòu)買最省錢.

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）