“二元一次方程組”常見(jiàn)錯(cuò)誤面面觀

徐亮

二元一次方程組在中考中的考查常以填空、選擇形式為主，或者直接是解方程組，雖然要求不高，但是很多同學(xué)在解題中錯(cuò)誤百出，丟分較為嚴(yán)重，下面就平時(shí)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生容易出錯(cuò)的地方進(jìn)行舉例分析，引起大家的注意.

1. 二元一次方程組的概念理解不透徹

例1 方程組：①m-n=1，

m+n=2. ；②y-z=0，

x+y=1. ；③x+y=1，

xy=-2. ；④x+y=3，

1x-1y=32. 中二元一次方程組的個(gè)數(shù)是（ ）.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【錯(cuò)解】D.

【分析】二元一次方程組是指由含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程聯(lián)立構(gòu)成的方程組.因此二元一次方程組應(yīng)包含三個(gè)方面：1. 整式方程；2. 含有兩個(gè)未知數(shù)；3. 未知數(shù)的次數(shù)是一次. 方程組②含有三個(gè)未知數(shù)；方程組③是二次的；方程組④不是整式，因此它們都不是二元一次方程組，只有方程組①滿足條件.

【正解】A.

2. 方程組的解的概念模糊不清

例2 方程組x+y=1，

2x-y=5.的解是 （ ）.

A. x=-1，

y=2.

B. x=-2，

y=3.

C.x=2，

y=1.

D. x=2，

y=-1.

【錯(cuò)解】A或B或D.

【分析】A和B答案只滿足了方程組中的一個(gè)方程.

【正解】二元一次方程組的解是使方程組中每一個(gè)方程左右兩邊的值都相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，而x=-1，

y=2.和x=-2，

y=3.都只是方程組x+y=1，

2x-y=5.中一個(gè)方程的解，并不能讓另一個(gè)方程的左右兩邊相等，所以不是方程組的解，因此答案是D.

3. 二元一次方程組的解法掌握不熟練

例3 用代入法解方程組2x+y=4，

x+2y=5.

【錯(cuò)解】由方程組②得x=5-2y③，把③代入②得，5-2y+2y=5，所以0×y=0，因此y可以是任意值，所以該方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解；

【分析】代入法是求二元一次方程組的解的一種基本方法. 它的一般步驟是：（1） 從方程組中選一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，將這個(gè)方程中的一個(gè)未知數(shù)，用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)，如本題中方程②中的x，用含y的代數(shù)式表示為x=5-2y；（2） 將這個(gè)變形所得的代數(shù)式代入另一個(gè)方程中，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；這里要求代入“另一個(gè)”方程，“誤解”把它代入到變形的同一個(gè)方程中，得到了一個(gè)關(guān)于y的恒等式，出現(xiàn)了錯(cuò)誤. （3） 解這個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值；（4） 將求出的未知數(shù)的值代入前面變形所得的式子中，求出另一個(gè)未知數(shù)，從而得到方程組的解.

【正解】由方程組②得x=5-2y③，把③代入①得，2（5-2y）+y=4，解得y=2，把y=2代入③得x=1，所以原方程組的解為x=1，

y=2.

例4 解方程組4x-3y=5，

4x+6y=14.

【錯(cuò)解】由①-②得3y=-9，解得y=-3，把y=-3代入①得x=-173.

【分析】①-②時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

【正解】由①-②得-9y=-9，解得y=1，代入①得x=2，所以方程組的解為x=2，

y=1.

4. 考慮問(wèn)題不全面，忽視隱含條件

例5 已知方程組（a+2）x=3，

2x+（a-3）y↑a↑2-3=0.是二元一次方程組，求a的值.

【錯(cuò)解】由條件得，a↑2-3=1，a=±2，所以a的值為2或者-2.

【分析】由二元一次方程組的定義可知，a+2≠0，a-3≠0，即a≠-2，a≠3，而本題忽略了題目中的隱含條件

【正解】由條件得，a↑2-3=1，a=±2，當(dāng)a=-2時(shí)原方程組不是二元一次方程組，所以a=2.

以上一些典型錯(cuò)誤是在平時(shí)教學(xué)中學(xué)生常見(jiàn)的問(wèn)題，分析錯(cuò)誤的原因多是學(xué)生的知識(shí)理解不夠透徹，或者是審題不清，通過(guò)對(duì)錯(cuò)誤原因的分析，幫助學(xué)生逐漸形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)，從而避免以上錯(cuò)誤的發(fā)生.

“二元一次方程組”課本習(xí)題拓展探究

（作者單位：江蘇省連云港市贛榆區(qū)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）

徐 亮

課本的習(xí)題是數(shù)學(xué)知識(shí)、解題策略和思想方法的有機(jī)結(jié)合，具有基礎(chǔ)性、啟發(fā)性、示范性，很多同學(xué)往往會(huì)認(rèn)為其簡(jiǎn)單而忽視，然而很多中考試題就是在課本習(xí)題的基礎(chǔ)上通過(guò)變式、拓展演變而來(lái)，因此重視對(duì)課本習(xí)題的研究與應(yīng)用有著重要的價(jià)值，本文以“二元一次方程組”一章中的一道課本習(xí)題為例，對(duì)練習(xí)進(jìn)行一些拓展探究，供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考.

原題 （蘇科版教材七下第十章107頁(yè)練一練2）一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和是7，如果把它的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)換，那么所得的兩位數(shù)比原數(shù)大45，求這個(gè)兩位數(shù).

【解析】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為y，根據(jù)題意，得x+y=7，

（10y+x）-（10x+y）=45.解得x=1，

y=6.所以這個(gè)兩位數(shù)是16.

【說(shuō)明】解決兩位數(shù)問(wèn)題時(shí)，通常先設(shè)出某個(gè)位上的數(shù)字，然后借助題中的條件表示出另外一個(gè)位數(shù)上的數(shù)字，根據(jù)題中的數(shù)量關(guān)系列出方程或方程組加以求解.

變式1 有一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)比十位上的數(shù)大5，如果把兩個(gè)數(shù)字的位置對(duì)換，那么所得的新數(shù)與原數(shù)的和是143，求這個(gè)兩位數(shù).

【解析】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為y. 根據(jù)題意，得y=x+5，

（10y+x）+（10x+y）=143.解這個(gè)方程組得x=4，

y=9.所以這個(gè)兩位數(shù)為4×10+9=49.

【說(shuō)明】變式1是將原題中的數(shù)量關(guān)系作了一些變化，由變式1可知，涉及兩位數(shù)的計(jì)算問(wèn)題要把握住兩個(gè)相等關(guān)系：（1） 個(gè)位數(shù)字—十位數(shù)字=5；（2） 新數(shù)+原數(shù)=143. 根據(jù)這兩個(gè)相等關(guān)系，可通過(guò)設(shè)十位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為y，列方程組求得十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字，然后確定兩位數(shù).

變式2 有一個(gè)兩位數(shù)，其值等于十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和的4倍，其十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字小2，求這個(gè)兩位數(shù).

【解析】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為y，

則可列方程組為10x+y=4（x+y），

y=x+2.

解這個(gè)方程組得x=2，

y=4.，所以這個(gè)兩位數(shù)為24.

變式3 有一個(gè)兩位數(shù)和一個(gè)一位數(shù)，如果在這個(gè)一位數(shù)后面多寫(xiě)一個(gè)0，則它與這個(gè)兩位數(shù)的和是146，如果用這個(gè)兩位數(shù)除以這個(gè)一位數(shù)，則商6余2，求這個(gè)兩位數(shù)和一位數(shù).

【解析】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)為x，這個(gè)一位數(shù)為y，根據(jù)題意，得 x+10y=146，

x-2=6y.解這個(gè)方程組得x=56，

y=9.所以這個(gè)兩位數(shù)是56，一位數(shù)是9.

【說(shuō)明】變式3中，根據(jù)條件一位數(shù)后面多寫(xiě)一個(gè)0，也就是這個(gè)一位數(shù)擴(kuò)大了10倍，如果設(shè)兩位數(shù)為x，一位數(shù)為y，則根據(jù)兩個(gè)數(shù)的和為146可得x+10y=146；根據(jù)被除數(shù)=除數(shù)×商數(shù)+余數(shù)可得x=6y+2，由此可得到方程組.通過(guò)解方程組確定兩位數(shù)和一位數(shù).

變式4 一個(gè)三位數(shù)，現(xiàn)將最左邊的數(shù)字移到最右邊，則比原來(lái)的數(shù)小45；又已知百位數(shù)字的9倍比由十位和個(gè)位數(shù)字組成的兩位數(shù)小3，求原來(lái)的三位數(shù).

【解析】設(shè)百位數(shù)字為x，由十位和個(gè)位數(shù)字組成的兩位數(shù)為y， 則原來(lái)的三位數(shù)為100x+y，對(duì)調(diào)的三位數(shù)為10y+x，則 9x=y-3，10y+x=100x+y-45，x=4，y=39，則原來(lái)的三位數(shù)為100x+y=4×100+39=439.

【說(shuō)明】變式4是在兩位數(shù)的基礎(chǔ)上研究三位數(shù)問(wèn)題，若已知一個(gè)三位數(shù)百位上的數(shù)字是a，十位上的數(shù)字是b，個(gè)位上的數(shù)字是c，則這個(gè)三位數(shù)可以表示為100a+10b+c.

總之，課本習(xí)題是教學(xué)的重要資源，同學(xué)們應(yīng)多加重視，通過(guò)變式訓(xùn)練等途徑對(duì)問(wèn)題進(jìn)行多角度、多層次的思考，以獲得解決問(wèn)題的方法，從而提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.