例析一元一次不等式的概念

孫玉根

一元一次不等式是初中階段在一元一次方程和二元一次方程組的學習之后，進一步探究現實世界數量關系的重要內容. 應用不等式的基本性質解一元一次不等式，是一項基本技能，也是學生以后學習函數、一元二次方程以及進一步學習不等式知識的基礎. 數學課程標準對一元一次不等式內容的教學目標是“會解簡單的一元一次不等式”和“解決簡單的問題”. 下面通過例子將本章知識進行梳理.

一、 不等式的概念

用不等號（>，≥，<，≤，≠）表示不等關系的式子，叫做不等式. 在判斷不等式時，需要嚴格按照不等式的定義.

例1 在數學表達式：①-3<0，②3x+5>0，③x↑2-6，④x=-2，⑤y≠0，⑥x+2≥x中，不等式的個數是（ ）.

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

【解析】對照定義即可解決，其中x+2 ≥ x是矛盾不等式，也屬于不等式的一種. 故選C.

二、 不等式的性質

不等式的性質與等式的性質有相同之處也有不同之處，所以我們在學習時要注意. 不等式性質之一是：不等式兩邊加上（或減去）同一個數（或式子），不等號的方向不變，即如a>b，那么a±c>b±c；性質之二是：不等式兩邊乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變，即如果a>b，c>0，那么ac>bc（或ac>bc）. 性質之三是：不等式兩邊乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變，即如果a>b，c<0，那么ac

例2 如果a>b，那么下列結論中，錯誤的是（ ）.

A. a-3>b-3

B. 3a>3b

C. a3>b3

D. -a>-b

【解析】不等式的性質是解不等式的關鍵，只有理解了不等式的性質才能正確求出不等式（組）的解集和解決與不等式有關的一些問題.利用不等式的基本性質（1）可知A正確；利用基本性質（2）可知B，C正確.故選D.

例3 學習了不等式的性質后，小明和小亮對3a>2a是否成立進行了爭論. 小明說：“給 3a>2a的兩邊同時除以a，得3>2，因為3>2成立，所以3a>2a也一定成立.”小亮說：“這是不正確的.”你認為誰說的對？為什么？

【解析】當a>0時，在不等式3>2的兩邊同乘以a，根據性質2，不等號方向不改變，此時3a>2a；當a=0時，3a=2a=0；當a<0時，在不等式3>2的兩邊同乘以a，根據性質3，不等號方向改變，此時3a<2a.

【點評】本題考查不等式的性質，解決這類問題首先要分清不等式兩邊同時乘以的是正數還是負數，若是負數，不等號的方向一定要改變，其次就是掌握分類討論的數學思想，對a進行正確的分類.

三、 一元一次不等式的概念

類似于一元一次方程，含有一個未知數，未知數的次數是1的不等式叫做一元一次不等式. 從概念中我們不難發現是不是一元一次不等式必須滿足三個條件：（1） 一個未知數；（2） 未知數次是1；（3） 左右兩邊均是整式.

例4 下列不等式中哪一個不是一元一次不等式（ ）.

A. x>3

B. -y+1>y

C. 1x>2

D. 2x>1

【解析】對照一元一次不等式的定義可知選C.

四、 一元一次不等式的的解和解集

一般地，能夠使一元一次不等式成立的未知數的值叫做一元一次不等式的解；它的所有的解的全體叫做這個不等式的解集. 一元一次不等式的解集可以用最簡單的不等式表示，也可以用數軸來表示. 用數軸表示不等式的解集，應記住下面的規律：大于向右畫，小于向左畫，有等號（≥，≤）畫實心點，無等號（>，<）畫空心圈.

例5 下列說法中，錯誤的是（ ）.

A. 不等式x<2的正整數解只有一個

B. -2是不等式2x-1<0的一個解

C.不等式-3x>9的解集是x>-3

D.不等式x<10的整數解有無數個

【解析】本題考查的是如何解不等式和求不等式整數解. 不等式x<2的正整數解為x=1；2x-1<0的一個解為x<12，-2在這個解集中；x<10的整數解有無數個，包括無數個負整數解、零和1到9這9個正整數解. 故選C.

例6 不等式2x+1≥3的解集在數軸上表示正確的是（ ）.

【解析】先解不等式，再在數軸上表示解集. 移項，合并，得2x≥2，將x的系數化為1，得x≥1，故選D.

五、 解一元一次不等式

一元一次不等式的解法與一元一次方程的解法類似，但要特別注意不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數時，不等號要改變方向. 解一元一次不等式的一般步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤將項的系數化為1. 當然我們在解不等式時，上面的五個步驟不一定都能用到，并且不一定按照順序解，要根據不等式的形式靈活安排求解步驟.

例6 不等式2x+13-10x+16≥54x-5，并把它的解集在數軸上表示出來.

【解析】一元一次不等式的解法的一般步驟與一元一次方程相同，不等式中含有分母，應先在不等式兩邊都乘以各分母的最小公倍數去掉分母，在去分母時不要漏乘沒有分母的項，再作其他變形. 所以去分母，得4（2x-1）-2（10x+1）≥15x-60；去括號，得8x-4-20x-2≥15x-60 ；項合并同類項，得-27x≥-54；系數化為1，得x≤2. 在數軸上表示解集如圖所示：

六、 一元一次不等式的應用

列一元一次不等式解實際應用問題，可類比列一元一次方程解應用問題的方法和技巧，不同的是，列不等式解應用題，尋求的是不等關系，因此，根據問題情境，抓住應用問題中“不等”關系的關鍵詞語，如“大于”、“小于”、“不小于”、“不大于”等，或從題意中體會、感悟出不等關系十分重要.

例7 甲、乙兩個廠家生產的辦公桌和辦公椅的質量、價格一致，每張辦公桌800元，每張椅子80元. 甲、乙兩個廠家推出各自銷售的優惠方案，甲廠家：買一張桌子送三張椅子；乙廠家：桌子和椅子全部按原價8折優惠. 現某公司要購買3張辦公桌和若干張椅子，若購買的椅子數為x張（x≥9）.

（1） 分別用含x的式子表示甲、乙兩個廠家購買桌椅所需的金額；

（2） 購買的椅子至少多少張時，到乙廠家購買更劃算？

【解析】（1） 根據甲乙兩廠家的優惠方式可知：甲廠家所需金額為：3×800+80（x-9）=1 680+80x；乙廠家所需金額為：（3×800+80x）×0.8=1 920+64x；

（2） 令甲廠家的花費大于乙廠家的花費得：1 680+80x>1 920+64x，解得：x>15. 答：購買的椅子至少16張時，到乙廠家購買更劃算.

七、 一元一次不等式組的概念及解法

由幾個含有同一個未知數的一次不等式組成的不等式組就叫做一元一次不等式組.幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的一元一次不等式組的解集. 我們把求一元一次不等式組的解集的過程，叫做解一元一次不等式組. 當任何數都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解或其解為空集. 那如何解一元一次不等式組呢？通常是先分別求出不等式組中各個不等式的解集；然后利用數軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集. 有時我們也可以用不等式組公共解的一般規律來確定解集. 這個規律就是：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小解不了.

例8 解不等式組2x+1<-1，

3-x≥1.并將解集在數軸上表示出來.

【分析】根據不等式的性質求出每個不等式的解集，根據找不等式組解集的規律找出不等式組的解集即可.

【答案】2x+1<-1，①

3-x≥1.②

解不等式①得：x<-1，解不等式②得：x≤2，

所以不等式組的解集是：x<-1；在數軸上表示不等式組的解集，如圖所示：

【總結】本題主要考查對不等式的性質，解一元一次不等式（組），在數軸上表示不等式（組）的解集等知識點的理解和掌握. 能夠根據不等式的解集找出不等式組的解集是解決此題的關鍵.

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區實驗初級中學）