一元一次不等式應用中的“取”與“舍”

沈兵

對于一元一次不等式的應用，雖然同學們都能夠記住一般解題步驟，但是在解這類應用題時由于經驗不足、抓不到關鍵詞、概念混淆、思維定式等原因的存在，使學生們在解題過程中遇到困難，而不能得到正確的解.不等式應用題的取材廣泛，又緊密結合實際生活，解這類題首先要理清題意，尋找關鍵詞，比如“不少于”、“不大于”、“大于”、“小于”、“比……要節省”等，從而找到不等關系，列出不等式（組），通過解不等式確定不等式的解，最后要檢驗所求解是不是與實際問題相符合.

例1 已知：用2輛A型車和1輛B型車裝滿貨物一次可運貨10噸； 用1輛A型車和2輛B型車裝滿貨物一次可運貨11噸. 某物流公司現有31噸貨物，計劃同時租用A型車a輛，B型車b輛，一次運完，且恰好每輛車都裝滿貨物. 根據以上信息，解答下列問題：

（1） 1輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運貨多少噸？

（2） 請你幫該物流公司設計租車方案；

（3） 若A型車每輛需租金100元/次，B型車每輛需租金120元/次. 請選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費.

【分析】（1） 根據“用2輛A型車和1輛B型車載滿貨物一次可運貨10噸；”“用1輛A型車和2輛B型車載滿貨物一次可運貨11噸”，分別得出等式方程，組成方程組求出即可.

（2） 由題意理解出：3a+4b=31，解其整數解的個數，即就有幾種方案.

（3） 根據（2）中所求方案，利用A型車每輛需租金100元/次，B型車每輛需租金120元/次，分別求出租車費用即可.

【答案】（1） 設1輛A型車和1輛車B型車一次分別可以運貨x噸，y噸，根據題意得出，2x+y=10，

x+2y=11.解得：x=3，

y=4.

答：1輛A型車和1輛車B型車都載滿貨物一次可分別運貨3噸，4噸.

（2） ∵某物流公司現有31噸貨物，計劃同時租用A型車a輛，B型車b輛，∴3a+4b=31. 則a≥0，

b=31-3a4≥0.解得：0≤a≤1013. ∵a為整數，∴a=1，2，…，10. 又∵b=31-3a4=7-a+3+a4為整數，∴a=1，5，9. ∴當a=1，b=7；當a=5，b=4；當a=9，b=1. ∴滿足條件的租車方案一共有3種，a=1，b=7；a=5，b=4；a=9，b=1.

（3） ∵A型車每輛需租金100元/次，B型車每輛需租金120元/次，∴當a=1，b=7，租車費用為：W=100×1+7×120=940元；當a=5，b=4，租車費用為：W=100×5+4×120=980元；當a=9，b=1，租車費用為：W=100×9+1×120=1 020元. ∴當租用A型車1輛，B型車7輛時，租車費最少. 答：最少租車費為940元.

例2 某校為了獎勵在數學競賽中獲勝的學生，買了若干本課外讀物準備送給他們.如果每人送3本，則還余8本；如果前面每人送5本，則最后一人得到的課外讀物不足3本. 設該校買了m本課外讀物，有x名學生獲獎.請回答下列問題：

（1） 用含x的代數式表示m；

（2） 求出該校的獲獎人數及所買課外讀物的本數.

【分析】不等字眼“不足3本”即是說全部課外讀物減去5（x-1）本后所余課外讀物應在大于等于0而小于3這個范圍內.

解：（1） m=3x+8，

（2） 由題意，得3x+8-5（x-1）≥0，

3x+8-5（x-1）<3.

∴不等式組的解集是：5

∵x為正整數，∴x=6.把x=6代入m=3x+8，得m=26.答：略

例3 某城市的出租汽車起步價為10元（即行駛距離在5千米以內都需付10元車費），達到或超過5千米后，每行駛1千米加1.2元（不足1千米也按1千米計）.現某人乘車從甲地到乙地，支付車費17.2元，問從甲地到乙地的路程大約是多少？

【分析】本題采用的是“進一法”，對于不等關系的字眼“不足1千米也按1千米計”，許多同學在解題時都視而不見，最終都列成了方程類的應用題，事實上，顧客所支付的17.2元車費是以上限11公里來計算的，即顧客乘車的范圍在10公里至11公里之間. 理論上收費是按式子10+1.2（x-5）來進行的，而實際收費是取上限值來進行的.

解：設從甲地到乙地的路程大約是x公里，依題意，得

10+5×1.2<10+1.2（x-5）≤17.2，

解得10

答：從甲地到乙地的路程大于10公里，小于或等于11公里.

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區實驗初級中學）