例談一元一次不等式（組）中的數學思想方法

錢小剛

課堂教學中滲透數學思想、數學方法是非常必要的.它包括培養學生通過觀察、分析，綜合概括抽象出概念、性質的能力，對知識進行分類，系統化的能力；也包括運用運動變化的觀點，矛盾轉化的思想分析問題和解決問題的能力.本文就結合一元一次不等式（組）的教學，談談如何滲透類比思想、數形結合和建模的的數學思想方法.

一、 數形結合的思想方法

在解決代數問題時，我們可以借助圖形，直觀而形象，易于理解. 體現在不等式組上，即找各個不等式的公共解時，可以利用數軸來解決問題.

例1 解不等式組x-3<0，①

x+1>0.②

解：由①得，x<3，由②得，x>-1，所以不等式組的解集為-1

【說明】不等式的解也是組成它的每個不等式的解，即不等式組的解是每個不等式的公共解，體現在圖形上為每個解集都包含的部分.

二、 類比思想方法

解一元一次不等式與解一元一次方程的步驟基本上一樣，不同的是解一元一次不等式根據的是不等式的性質，而解一元一次方程根據的是等式的性質；特別應注意的是化系數為1時，若除以（或乘以）的是一個負數時，解不等式時不等號的方向要改變，而解一元一次方程只要系數不為0，所得的方程與原來的方程同解. 通過類比，加深了對它們的理解，避免了一些不該犯的錯誤.

例2 解不等式 2（x+5）>3（x-5）.

解：去括號，得2x+10>3x-15，

移項，得2x-3x>-15-10，

合并同類項，得-x>-25，

系數化為1，得 x<25.

例3 解方程 2（x+5）=3（x-5）.

解：去括號，得2x+10=3x-15，

移項，得2x-3x=-15-10，

合并同類項，得-x=-25，

系數化為1，得x=25.

【說明】通過這兩道例題，可以發現它們的解題步驟相同，但是所用的性質不同，加強學生在解一元一次不等式時改變符號的意識.

三、 建模的思想方法

在日常生活中，利潤的優化，方案的設計等都有不等關系，所以建立不等式模型解決實際問題也是我們數學中的一種很好的思考方法.

例4 君實機械廠為青揚公司生產A、B兩種產品，該機械廠由甲車間生產A種產品，乙車間生產B種產品，兩車間同時生產. 甲車間每天生產的A種產品比乙車間每天生產的B種產品多2件，甲車間3天生產的A種產品與乙車間4天生產的B種產品數量相同.

（1） 求甲車間每天生產多少件A種產品？乙車間每天生產多少件B種產品？

（2） 君實機械廠生產的A種產品的出廠價為每件200元，B種產品的出廠價為每件180元. 現青揚公司需一次性購買A、B兩種產品共80件，君實機械廠甲、乙兩車間在沒有庫存的情況下只生產8天，若青揚公司按出廠價購買A、B兩種產品的費用超過15 000元而不超過15 080元. 請你通過計算為青揚公司設計購買方案.

解：（1） 設乙車間每天生產x件B種產品，則甲車間每天生產（x+2）件A種產品.

根據題意3（x+2）=4x；解得x=6；∴x+2=8.

答：甲車間每天生產8件A種產品，乙車間每天生產6件B種產品.

（2） 設青揚公司購買B種產品m件，則購買A種產品（80-m）件，

∵15 000<200（80-m）+180m≤15 080，∴46≤m<50.

∵m為整數，∴m為46或47或48或49；又∵乙車間8天生產48件，∴m為46或47或48.

∴有三種購買方案：購買A種產品32件，B種產品48件；購買A種產品33件，B種產品47件；購買A種產品34件，B種產品46件.

【說明】本題以產品的加工與經銷問題背景，借助方程與不等式，進行方案設計，突出考查了學生綜合運用方程與不等式知識解決實際問題的能力，體現了建模的數學思想.

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區實驗初級中學）