一元一次不等式考點分析

馬榮平

一元一次不等式（組）的問題中考中的一個重要的考查內(nèi)容，考查的題型可以是填空題、選題，也可以是解答題，考查的方式可以是單一知識的考查，也可以與其他知識點結(jié)合起來考查，如與方程、幾何圖形、函數(shù)等. 下面就以一些中考試題為例進行分析.

考查知識點一：不等式與不等式的性質(zhì)

例1 （2014·廣東汕尾）若x>y，則下列式子中錯誤的是（ ）.

A. x-3>y-3

B. x3>y3

C. x+3>y+3

D. -3x>-3y

【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，進行選擇即可.

【解答】A. 根據(jù)不等式的性質(zhì)1，可得x-3>y-3，故A正確；B. 根據(jù)不等式的性質(zhì)2，可得x3>y3，故B正確；C. 根據(jù)不等式的性質(zhì)1，可得x+3>y+3，故C正確；D. 根據(jù)不等式的性質(zhì)3，可得-3x<-3y，故D錯誤；故選擇D.

【考點分析】本題考查了不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知不等式的性質(zhì)及注意事項. 不等式的三個性質(zhì)（特別是第三個性質(zhì)）是：（1） 不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變. （2） 不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變. （3） 不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變.

考查知識點二：不等式（組）解集的表示

例2 （2013·眉山）不等式組3x<2x+4，

x+33-x≤-1.的解集在數(shù)軸上表示為（ ）.

【分析】利用不等式的性質(zhì)，先求出每個不等式的解集，然后分別在數(shù)軸上表示出來即可.

【解答】3x<2x+4，①

x+33-x≤-1.②由①得，x<4；由②得，x≥3，故此不等式組的解集為：3≤x<4，在數(shù)軸上表示為： 故選D.

【考點分析】本題考查了不等式（組）解集的表示. 用數(shù)軸表示不等式的解集，有如下規(guī)律：大于向右畫，小于向左畫，有等號（≥，≤）畫實心點，無等號（>，<）畫空心圈. 要特別注意空心實心的問題.

考查知識點三：解不等式（組）

例3 （2014·鎮(zhèn)江）解不等式：2+2x-13≤x，并將它的解集在數(shù)軸上表示出來.

【分析】按照去分母、去括號、移項、合并同類項的步驟運算.

【解答】去分母，得6+2x-1≤3x.

解得x≥5.

它的解集在數(shù)軸上可表示為：

【考點分析】本題考查了一元一次不等式的解法，解題的關(guān)鍵是不等式的基本性質(zhì). 解一元一次不等式與解一元一次方程的思想和方法差不多，只是最后系數(shù)化為1的時候不等式兩邊同時乘或除以正負數(shù)涉及到不等號是否改變的問題. 對于在數(shù)軸在表示不等式的解集，有固定的要求，即“不含等號的不等式用空心，含等號的不等式用實心”，“不等號的尖端指向哪一邊則其解集指向這一邊”.

例4 （2014·山東濟南）解不等式組：x-3<1，①

4x-4≥x+2.②

【分析】先求得兩個不等式的解集，然后確定其公共部分.

【解答】解不等式①，得x<4，解不等式②，得x≥2，∴不等式組的解集為：2≤x<4.

【考點分析】本題考查了一元一次不等式組的解法，解題關(guān)鍵是掌握解不等式組的一般步驟. 此類問題容易出錯的地方是在化簡不等式的過程中出現(xiàn)漏乘、寫錯符號等錯誤，在解不等式的過程中，出現(xiàn)利用不等式的性質(zhì)3時，沒有改變不等號方向的錯誤.

考查知識點四：不等式（組）整數(shù)解

例5 （2014·貴州黔東南州）解不等式組23x+5>1-x，

x-1<34x-18.并寫出它的非負整數(shù)解.

【分析】逐一解兩個不等式，再求出不等式組解集，從中找出它的非負整數(shù)解.

【解答】解不等式①，得x>-125；解不等式②，得x<72；∴不等式組的解集為：-125

【考點分析】本題考查了一元一次不等式組的解法以及整數(shù)解，解題的關(guān)鍵是求出不等式組的解集. 此類問題容易出錯的地方是找不等式組解集的公共部分出錯.

考查知識點五：不等式（組）有解無解

例6 （2014·山東濰坊）若不等式組x+a≥0，

1-2x>x-2.無解，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）.

A. a≥-1

B. a<-1

C. a≤1

D. a≤-1

【分析】先分別解出兩個不等式，然后根據(jù)不等式組無解確定a的取值范圍.

【解答】解不等式①得x≥-a，解不等式②得x<1，因為不等式組無解，故-a≥1，解得a≤-1，故選擇D.

【考點分析】本題考查了不等式組的解法，解題的關(guān)鍵是明確解不等式組的口決. 此類問題容易出錯的地方是未考慮等號的情況從而誤選答案B. 解不等式組的口訣：“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無處找”.根據(jù)口訣找到關(guān)于未知數(shù)的不等式求解，同時要注意單獨考慮等號（界點）是否符合題意.

例7 （2014·山東泰安）若不等式組1+x

x+92+1≥x+13-1.有解，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）.

A. a<-36

B. a≤-36

C. a>-36

D. a≥-36

【分析】先求出不等式組中每個不等式的解集，再根據(jù)原不等式組有解確定兩個不等式的解集之間的關(guān)系，建立不等式求出a的取值范圍.

【解答】不等式1+x

x≥-37.有解，其解集應為-37≤x-37，解得a>-36，故應選C.

【考點分析】本題考查了不等式組的解集問題，關(guān)鍵是要能求出不等式組中每個不等式的解集，能正確理解有解的意義. 此類問題容易出錯的地方是不能確定不等式組有解時原不等式組中的兩個不等式的解集之間的關(guān)系，找不出a應滿足的條件而出錯. 根據(jù)一元一次不等式組的解集情況，推測字母系數(shù)的值的范圍，先確定不等式組解集用字母系數(shù)表示的情況，結(jié)合解集情況構(gòu)造關(guān)于字母系數(shù)的不等式. 本題也可以利用數(shù)軸，從直觀上去解決問題.

考查知識點五：不等式（組）應用

例8 （2014·湖南長沙）為建設(shè)“秀美幸福之市”，長沙市綠化提質(zhì)改造工程正如火如茶地進行. 某施工隊計劃購買甲乙兩種樹苗共400棵對芙蓉路的某標段道路進行綠化改造，已知甲種樹苗每棵200元，乙種樹苗每棵300元.

（1） 若購買兩種樹苗的總金額為90 000元，求需購買甲、乙兩種樹苗各多少棵？

（2） 若購買甲種樹苗的金額不少于購買乙種樹苗的金額，至少應購買甲種樹苗多少棵？

【分析】（1） 根據(jù)甲乙兩種樹苗共400棵，總金額為90 000元建立方程（組）可求出其解；（2） 根據(jù)甲種樹苗的金額不少于購買乙種樹苗的金額，建立一元一次不等式可求出其解.

解：（1） 設(shè)需購買甲樹苗x棵，則購買乙樹苗（400-x）棵

依題意得：200x+300（400-x）=90 000，

解得：x=300，

∴400-x=400-300=100（棵）.

答：需購買甲種樹苗300棵，乙種樹苗100棵.

（2）由題意得：200x≥300（400-x），

解得：x≥240.

∴至少要購買甲種樹苗240棵.

【考點分析】本題考查了用一元一次方程（組）和一元一次不等式解決實際問題，解題的關(guān)鍵是找等量關(guān)系和不等關(guān)系. 此類問題容易出錯的地方是審題不清，找不到相等關(guān)系或不等關(guān)系. 其中列不等式（組）解應用題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找出題目中的不等關(guān)系或隱含的不等關(guān)系，再根據(jù)相應的關(guān)系列出不等式（組）. 要注意通常不等關(guān)系的給出總是以“至少”、“沒滿”、“少于”、“不超過”、“最大”等關(guān)鍵詞語作為標志. 有時在解出不等式（組）之后，還要根據(jù)實際情境適當取舍，選出符合要求的答案來.

例9 （2014·廣西百色）有2條生產(chǎn)線計劃在一個月（30天）內(nèi)組裝520臺產(chǎn)品（每天產(chǎn)品的產(chǎn)量相同），按原先的組裝速度，不能完成任務；若加班生產(chǎn)，每條生產(chǎn)線每天多組裝2臺產(chǎn)品，能提前完成任務.

（1） 每條生產(chǎn)線原先每天最多能多組裝多少臺產(chǎn)品？

（2） 要按計劃完成任務，策略一：增添1條生產(chǎn)線，共要多投資19 000元；策略二：按每天能組裝最多臺數(shù)加班生產(chǎn)，每條生產(chǎn)線每天共要多花費350元；選哪一個策略較省費用？

【分析】不等式的實際應用是不等式知識的一個重要考點，解題時，我們要正確分析和處理已知信息，抓住隱含在題目中表征不等關(guān)系的關(guān)鍵詞，如‘不超過’、‘最低’、‘至少’、‘最多’、‘不大于’等，找準不等關(guān)系，正確設(shè)出未知數(shù)，列不等式解決.

解：（1） 設(shè)每條生產(chǎn)線原先每天最多能多組裝x臺產(chǎn)品，依題意，得：

2×30x<520，

2×30（x+2）>520.解得：203

（2） 選用策略一，共要多投資19 000元；選用策略二，共要多投資：350×2×520（8+2）×2=18 200（元）；∵19 000>18 200，∴選用策略二較省費用.

【考點分析】本題考查了不等式組的實際應用，正確找出題中的不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵. 利用不等式組來解決方案選擇問題是中考的常見題型，這類題的通常做法是：首先找出題目中隱含的不等關(guān)系，然后列出符合題意的不等式或不等式組求解；最后根據(jù)題目要求用不等式組的正整數(shù)解確定選擇符合要求的方案.

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區(qū)實驗初級中學）