復積分計算的學習心得與體會

屈娟

摘 ? ?要： 復積分是復變函數論中比較重要的一部分，本文從教學目標、學生的學習能力出發，給出復積分計算的課堂教學的教學經驗.

關鍵詞： 復積分 ? ?柯西—古薩定理 ? ?留數定理 ? ?教學目標

《復變函數》課程是工科專業的學生必須學習的一門課程，它的理論和方法有助于學生對專業課的學習.因此，學好《復變函數》對學生來說是非常重要的一件事情.復積分是《復變函數》中非常重要的一部分，不僅是討論解析函數的一個重要工具，而且為后面的積分變換打下基礎.再者復積分計算比實變函數的積分復雜、困難.如何在課堂教學中使學生在有限的時間內具有分析問題、解決問題的能力，即在有限的時間使學生拿到復積分的題目就能迅速準確地做出來？本文首先介紹復積分計算的教學目標，然后通過例子分析具體復積分的計算，最后進行總結.

制定教學目標是教學活動中的一個重要環節，是具體實施教學的重要前提.一節課的成敗關鍵在于教學目標是否全面、準確、具體和切合學生的實際學習能力.復積分計算教學的目標是：首先，學生理解掌握幾種情形下的復積分計算的方法;其次，從復積分的計算中學生應學會思考問題，分析問題，解決問題的能力;最后，學生應總結復積分計算的心得，在學習方法上得到啟示，研究創造出更好更有效的學習其他課程的方法.制定這樣的教學目標，可以調動學生的積極性，鼓勵學生主動參與課堂教學活動，而不是灌輸式的教學，讓學生敢于懷疑，研究，創造.具體在教學中，課堂開始，教師首先說出本節課的教學目標，提出問題，啟發學生找到解決問題的思路和方法.總之，在復積分的學習中，學生應掌握基本概念和基本理論，并將所學的東西應用到實際生活中.

再者，考慮學生的興趣和學習能力這兩個方面.首先是培養學生學習復積分計算的興趣，這對學習復積分計算這一節有著很重要的作用.大部分的工科學生學習了一年的《高等數學》后，對大學數學的學習充滿了畏懼、害怕的情緒，認為自己學不懂，覺得知識很難.此外，很多《高等數學》中積分計算方法都不能使用等一些問題使復積分的計算的學習更加困難.如何讓學生喜愛這節課將成為學好復積分計算的重要前提.我主要從以下方面做起：首先，樹立他們能夠學懂的信心.其次，講一些涉及復積分計算的一些科學家的故事和有趣的事情，培養起他們學習的興趣.最后，將復積分和《高等數學》中的實積分進行比較，再加以補充.

下面具體說明：在《高等數學》中，函數在積分區間[a，b]上的積分值等于被積函數的原函數在積分區間[a，b]上的增量.讓學生思考，復變函數在積分區間上的積分值計算可否求出被積函數的原函數，然后計算原函數在兩個端點處的函數值的差值.如果可以，則需要滿足怎樣的條件？接下來給出定理并舉例說明.如果在單連通區域D內解析，G（z）為f（z）的一個原函數，那么 ?f（z）dz=G（z ）-G（z ），其中z ，z 為D內的點.

例1.計算積分 coszdz.

解： coszdz=-sinz| = （e -e ）.

高等數學中計算定積分的方法有湊微分法，分部積分法等，這些求定積分的方法都可以平移過來.

例2：計算積分

解：由于在整個復平面內處處解析，則 ze dz= zd（e ）=e ·z| -？ e =e （1+i）-e | =ie .

《高等數學》中，計算曲線積分時，需要將曲線積分的積分路徑的參數方程寫出來，然后將曲線積分轉化成定積分.提出問題，復變函數中，被積函數沿著積分路徑的復積分可否用同樣的方法呢？即寫出積分路徑的復參數方程，轉換成復積分，然后計算.給出定理：設曲線C的參數方程為z（t）=x（t）+iy（t），a≤t≤b，則復積分 ?f（z）dz= ?f（z（t））z′（t）dt.

例3：計算 ?zdz，其中C為從原點到點1+2i的直線段.

解：直線方程可寫成：z（t）=t+i2t，0≤t≤1，因此

zdz= ?（1+2i） tdt=（1+2t） ? tdt= （1+2i） .

這種方法重點在于要將曲線方程的參數方程寫出來，然后再計算定積分即可.在實際教學過程中，多舉幾個例子，發現上述的方法計算復積分時，有時復積分與積分路徑有關，有時復積分值又與積分路徑無關，因此提出一個問題：復變函數在什么條件下積分值與路徑無關呢？再者聯想到《高等數學》中，曲線積分與路徑無關的幾個等價條件中有一個是沿著區域D中任意一條簡單閉曲線積分值等于0.而這個問題1825年的法國數學家柯西解決了這個問題.即柯西積分定理（柯西-古薩定理）.柯西-古薩定理是指如果f（z）在單連通區域D內解析，則f（z）在D內沿任意一條簡單閉曲線C的積分 ?f（z）dz=0.

例4：計算復積分 dz.

解：函數在內處處解析，根據柯西-古薩定理，可知： dz=0.

例5：計算復積分 ?sinzdz，其中C是圓|z-1|=1的上半圓周，定向從0到2.

解：因在整個復平面內解析，由柯西積分定理，發現題目的積分與積分路徑無關，于是取另外一條積分路徑（沿實軸從0到2），這樣有 ?sinzdz= ?sinzdz= ?sinzdz=1-cos2.

繼續分析問題，上述的柯西積分定理中，f（z）在單連通區域D內處處解析，如果f（z）在區域D內不解析，即函數f（z）在區域D有奇點時，函數沿閉曲線的積分怎么來求？根據柯西積分定理的推論，函數f（z）沿一條閉曲線C的積分，歸結為求C內各孤立奇點的留數和.

下面介紹留數定理：設函數f（z）在區域D內除有限個孤立奇點z ，z ，…，z 外處處解析，C是D內包含各孤立奇點的一條正向簡單閉曲線，則 ? f（z）dz=2πi Res[f（z），z ].留數定理為計算復積分提供了一個新的方法、即函數沿閉曲線C的積分轉化為求被積函數在C中的各孤立奇點的留數.

例6：計算復積分 dz.

解：函數 在|z|≤1有一個2015及極點，則復積分 dz=2πi· = .

此外，若函數f（z）在擴充復平面內只有有限個孤立奇點z ，z ，…，z ，∞，那么f（z）在各點的留數總和為零.計算復變函數沿閉曲線積分轉化為計算函數在∞點的留數，這又是一種計算函數沿閉曲線的復積分的方法.

例7：計算積分 dz，C為正向圓周|z|=2.

解：函數 在|z|=2的外部除點外沒有其他奇點.則 ?dz=-2πiRes[f（z），∞]=2πiRes[f（z） ，0]=2πiRes[f（z） ]=2πiRes[ ，0]=0.

到目前為止，所有的復積分計算方法都討論了.從上述討論過程可看出，培養了學生思考問題、分析問題和解決問題的能力.通過歸納，總結《高等數學》中積分的計算方法，以及和復積分的區別之處，找出解決問題的本質.整個教學中注意到了方法之間的聯系和區別.為了培養學生的創造性思維和動腦、動手能力，課堂最后，留一些合適的思考題.這些思考題可以培養學生獨立解決問題的能力，是培養學生創新能力的重要途徑和方法.此外，還要求學生找一些自己本專業里面的一些涉及復積分的問題去解決，檢驗自己的學習效果.當然，布置一些相應的作業題是必需的，從作業中可看出學生掌握知識的程度，再對課堂教學加以改進.

以上主要探討了復積分計算的教學經驗和心得體會，希望這樣的總結和歸納能夠幫助更多的學生學好復積分.

參考文獻：

[1]李紅，謝松法.復變函數與積分變換.北京：高等教育出版社，2008.

[2]李漢龍，繆淑賢.復變函數.北京：國防工業出版社，2011.