焦點三角形的面積公式與性質探究

何蕾

在圓錐曲線中，焦點三角形的面積，橢圓周角是非常重要的幾何量，與其相關的問題在歷年高考中經常出現.在解決有關焦點三角形問題中，如果能巧妙地應用焦點三角形的面積公式與性質，就可以避免大量的推理和運算，使實際問題得到完美解決，從而節省解題時間.本文僅以橢圓焦點三角形為例，就這方面進行初步探究.

定義：在圓錐曲線中，P是橢圓 + =1（a>b>0）上異于長軸兩端點的任意一點，F 、F 是橢圓的兩個焦點，我們稱三角形∠F PF 為橢圓周角，△F PF 為焦點三角形.

橢圓焦點三角形的面積公式：

設∠F PF =θ，S =b tan .

證明：由余弦定理知，在三角形△F PF 中

|F F | =|PF | +|PF | -2|PF ||PF |cosθ

=（|PF |+|PF |） -2|PF ||PF |（1+cosθ）

所以|PF |·|PF |= = =

所以S = |PF |·|PF |·sinθ

= sinθ=b tan

性質1：如圖1，設橢圓長軸的兩個端點為A ，A ，短軸兩個端點為B ，B ，當點P從B 沿橢圓第一象限部分運動到點A 的過程中，θ遞減.

圖1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖2

證明：如圖2，設P （x ，y ），P （x ，y ）是橢圓在第一象限中的弧上不同的兩點0≤x

S = ·y ·2c=y c

同理S =y c

∵y >y ≥0

∴y c>y c，即S >S .

又S =b tan ，S =b tan

∴b tan >b tan ，∴tan >tan

∴0< < ，0< <

∴ > ，即θ >θ

∴當點P從B 沿橢圓第一象限部分運動到點A 的過程中，θ遞減.

推論：根據橢圓對稱性，可以得出結論.當點P在短軸頂點B 或B 的位置時，θ取得最大值，此時cosθ= -1.

例1：橢圓 + =1的兩個焦點為F 、F ，點P為其上的動點，當∠F PF 為鈍角時，點P的橫坐標的取值范圍為？搖？搖 ?？搖？搖.

解析：不少同學習慣用余弦定理解不等式求解，但運算量比較大，容易產生錯誤.

根據性質1橢圓周角單調性可知：當∠F PF =90°，頂點P的橫坐標之間的坐標值就是題目所求值.

設當∠F PF =90°時，直角頂點P的坐標為（x ，y ）

由S =b tan =4tan45°=4

又S = ×|y |·|F F |= |y |

∴ |y |=4，y =±

∴ + =1，x =±

∴當∠F PF 為鈍角時，點P的橫坐標的取值范圍為-

性質2：P是橢圓 + =1（a>b>0）上任意一點，F 、F 是橢圓的兩個焦點，設∠F PF =θ，則|PF |·|PF |= .

證明：由橢圓焦點三角形的面積公式S =b tan 和三角形面積公式S = |PF |·|PF |·sinθ

得 |PF |·|PF |·sinθ=b tan

∴|PF |·|PF |·sin cos =b

∴|PF |·|PF |=

例2：橢圓 + =1的兩個焦點為F 、F ，點P為其上的動點，當∠F PF =60°時，則|PF |·|PF |的值？搖？搖 ? ？搖？搖.

解析：由性質2易求

|PF |·|PF |= = =12.

性質3：P是橢圓 + =1（a>b>0）上任意一點，F 、F 是橢圓的兩個焦點，設∠F PF =θ，則sin ≤e<1.

證明：由基本不等式可知

|PF |·|PF |≤ ?=a

由性質2，得|PF |·|PF |= ≤a

∴ ≤cos ?，∴ ≤cos ?，

∴1-e ≤cos ?，1-cos ?≤e

∴sin ?≤e ，即sin ≤e

又橢圓的離心率e<1，得sin ≤e<1.

例3：已知F 、F 是橢圓 + =1（a>b>0）的兩個焦點，橢圓上一點P使得∠F PF =90°，則橢圓的離心率e存在的范圍是？搖？搖 ?？搖？搖.

解析：由性質3易知e∈ ，1.

性質4：P是橢圓 + =1（a>b>0）上任意一點，F 、F 是橢圓的兩個焦點，I為△F PF 的內心，如果|PI|=λ，則λcos =a-c.

證明：設三角形△F PF 的內切圓半徑為r，

易知sin = ，即r=λsin .

由橢圓焦點三角形的面積公式S =b tan 和三角形面積公式S = （2a+2c）r，

∴ （2a+2c）r=b tan ，即（a+c）r=b tan

∴（a+c）·λsin =b tan

∴（a+c）·λcos =b

∴（a+c）·λcos =a -c

∴λcos =a-c.

例4：橢圓 +y =1的兩個焦點為F 、F ，點M為其上的動點，當∠F MF =2θ，△F MF 的內心為I，則|MI|cosθ=？搖 ?？搖？搖？搖.

解析：由性質4易知|MI|cosθ=2- .

本文僅僅得出了橢圓有趣性質中的小部分，從證明中可以發現在探討焦點三角形有關的問題時，使用焦點三角形面積公式與三角形的面積結合，可以挖掘出很多有關橢圓的有趣性質，更方便快速地解決問題.