關于平面機構自由度的思考

岳彩青

摘 要： 機構自由度是機構具有獨立運動的參數，是機械設計和分析中重要的概念，針對分析機構自由度時出現的問題，說明機構自由度公式的應用范圍及需注意的問題，并基于此提出思考，以便更好地運用和掌握。

關鍵詞： 機械設計 機構 自由度 獨立運動

引言

機構具有確定運動時所必須給定的獨立運動參數的數目，稱為機構的自由度[1]。機構自由度計算問題，無論在《機械原理》課程中還是在實際機械的設計和分析中都占有重要地位。常規設計的機構，其運動必須是確定的；一個運動鏈是否成為機構不僅取決于其結構，還取決于其原動件數目，機構具有確定運動的條件是：機構的自由度數（以F表示）等于機構給定的原動件數（以s表示），即S=F且F>0；故自由度計算正確與否將會引起機構確定運動分析結果的正確，它是機構設計必需的步驟。所以機構的自由度計算在機構的設計中占有很重要的地位。早在19世紀中后期，德、俄等國學者已開始對機構的組成要素、組成方式及分類方法等問題進行研究，提出的諸如運動副等基本概念、機構自由度等基本方法一直沿用至今[2]。我國現行的教材無一例外采用1869 年由俄國科學院院士契貝舍夫（Grübler-Kutzbach）提出的契氏公式計算平面機構的自由度。即

F=3n-2■-p■ （1）

其中n為活動構件數，p■ 為低副數，p■為高副數

但是，在用此公式分析一些平面機構如全移動副平面機構時出現錯誤的結論，與實際情況不符。基于此，筆者對公式應用條件、注意事項等進行了研究并提出了幾點思考。

1.契氏公式的應用條件

契氏公式應用到現在已近150年的歷史，從發展的角度看，任何事物的存在都不是完備的，都有其一定的局限性，契氏公式也不例外。隨著機構的發展、結構自由度研究的進展， 人們逐步揭示了機構學的運動本質和規律， 揭示了機構學與結構學之間的內在聯系，自由度計算公式的局限性逐漸凸顯出來。

1.1 僅適用于平面機構，不適用于空間機構。

一個活動桿件在平面上有三個自由度，一個平面低副引入兩個約束，一個平面高副引入1個約束，故機構的自由度F=3n-2■-p■，顯然契氏公式是適用于平面機構的。一個在空間不受任何約束而自由運動的構件共有六個自由度，每個運動副引入約束最多為五，最少為一，顯然契氏公式不能滿足分析空間機構的需要，基于此前蘇聯科學院通訊院士陀勃羅伏爾斯基于1943年提出空間機構自由度計算分式：

F=（6-m）n-■（i-m）p■ （2）

其中n為活動構件數， m 為機構各構件在運動時所受到的公共約束數， i 為i級運動副的約束數， 由運動副產生的約束數決定，P■為i級運動副的個數。

1.2不適用于全移動副平面機構。

圖1為平面楔形滑塊機構，活動活動構件數n=2，低副數pL=3，高副數pH=0，計算得機構的自由度為F=0，這與實際情況不符。就一般推論而言， 平面機構可以理解為空間機構的特例，圖1所示機構可以用上述空間機構自由度公式來計算。由于該機構為一全移動副平面機構，其兩活動構件被限制在xy平面內移動，故其公共約束m=4，則該機構的自由度為：

F=（6-m）n-（5-m）p■=（6-4）×2-（5-4）×3=1

圖1 楔形滑塊機構

（a） 閉鏈 （b）開鏈

圖2 五桿機構

1.3僅適用于閉鏈機構，不適用于開鏈機構。

圖2為五桿機構，活動活動構件數n=4，圖（a）中低副數p■=5，高副數p■=0，計算得機構的自由度為F=2，結果正確。圖（b）中低副數p■=4，高副數p■=0，計算得機構的自由度為F=4，這與實際情況不符，由此看出契氏公式不適用于開鏈機構自由度的計算。

2.契氏公式應用時注意事項

契氏公式存在天然的缺陷與不足，然而時至今日，在我國的各種教材、設計手冊中，契氏公式仍然還作為最主要的公式在使用，其在很多情況下計算是正確的，在計算機構的自由度時除了明確其使用條件外，還有一些應注意的事項必須正確處理，否則得不到正確結果。

2.1復合鉸鏈。

兩個以上的構件同時在一處用轉動副相連接就構成復合鉸鏈。圖3是三個構件匯交成的復合鉸鏈，這三個構件共組成兩個轉動副。依次類推，K個構件匯交而成的復合鉸鏈應具有（K-1）個轉動副。在計算機構自由度時應注意識別復合鉸鏈，以免把轉動副的個數算錯。

圖3 復合鉸鏈 圖4 局部自由度

2.2局部自由度。

在有些機構中， 其某些構件所能產生的局部運動并不影響其他構件的運動， 我們把這些構件所能產生的這種局部運動的自由度稱為局部自由度。如圖 2 所示的凸輪機構，凸輪為主動件，頂桿為從動件。凸輪機構的功用是用頂桿獲得預期的運動，滾子是為減少高副元素的磨損而加入的從動件，滾子與頂桿間形成的自由度不會影響輸出件的運動，所以滾子與頂桿間的自由度為局部自由度，在計算機構自由度時， 假想滾子和安裝滾子的構件固接為一個整體，成為一個構件或將機構中的局部自由度除去不計，否則機構的自由度為二，是不正確的。

2.3虛約束。

在機構中，有些運動副帶入的約束對機構的運動只起重復約束作用，特把這類約束稱為虛約束，在計算機構的自由度時應將這類虛約束除去，機構中的虛約束常發生在下列情況：

2.3.1在機構中如果兩構件用轉動副連接，連接前后其連接點的運動軌跡重合，則該連接將帶入1個虛約束。如圖5（a）中轉動副C所連接的C■與C■兩點的軌跡就是重合的，均沿y軸作直線運動，故帶入一個虛約束。

2.3.2如果兩構件在多處接觸而構成移動副，且移動方向彼此平行，則只能算一個移動副。如圖5（b）中構件3和4在兩處形成移動副，且移動方向重合，則在計算自由度時只算一個；如果兩構件在多處相配合而構成轉動副，且轉動軸線重合，則只能算一個轉動副。如圖5（c）中構件1和2在三處形成轉動副，且轉動軸線重合，則在計算自由度時只算一個；如果兩構件在多處相接觸而構成平面高副，且各接觸點處的公法線彼此重合，則只能算一個平面高副，如圖5（d）中兩構件兩處相接觸而構成平面高副，且各接觸點處的公法線彼此重合，因此只算一個高副。圖5（e）中高副各接觸點處的公法線不重合，所以此種情況沒有虛約束。

2.3.3在機構運動的過程中，若兩構件上某兩點之間的距離始終保持不變，則如用雙轉動副桿將此兩點相連，也將帶入1個虛約束。圖5（f）中連桿3作平動，BC線上各點的軌跡均為圓心在AD線上而半徑等于AB的圓周。構件5與AB等長，兩個轉動副E、F對機構的運動不產生任何影響，由此帶入1個虛約束。

應當注意，對于虛約束，從機構的運動觀點看是多余的，但能增強機構的剛性，改善其受力狀況，因而被廣泛采用。但是虛約束的情況比較復雜，有時很難判斷，因此分析時要注意機構的結構，具體問題具體分析，正確計算機構的自由度。

（a） （b） （c）

（d） （e） （f）

圖5 具有虛約束的機構

3.機構自由度計算的思考

平面機構自由度的計算公式非常簡單，但實際計算很復雜。對于一個工程實際問題，實際自由度的確定往往不能簡單地套用公式計算，除了需要考慮復合鉸鏈、局部自由度和虛約束等問題（特別是虛約束的問題，往往不容易判斷）外，還必須具體問題具體分析。對此提出以下幾點思考。

思考一：不管是最早的平面機構自由度公式，后來的空間機構自由度公式，還是現在的新公式[3]新方法[4]，機構自由度計算的思想是一致的。

一百多年以來，人們對機構的認識在不斷提高，對機構理論的研究也越來越深入，機構自由度計算公式也在不斷完善，無論公式的形式如何變化，理論如何更新，這些公式或方法的思想都是統一的，都是利用活動構件的自由度減去運動副引入的約束得到的。也就說只要正確獲得活動構件的自由度與運動副引入的約束數，機構自由度的計算結果便是正確的。

思考二：活動構件數及自由度的判斷是否正確，直接影響到機構自由度計算的正確性。

在現行各種教材及參考書中，都著重介紹復合鉸鏈、局部自由度及虛約束等的分析判斷，未見分析活動構件數及自由度對機構自由度的影響。實際上，對于全移動副楔形滑塊機構自由度計算應用平面機構自由度公式是沒錯的，前提是搞清楚活動構件的自由度，如圖1所示，活動構件數為2，移動副為3，由于兩活動構件被限制在只能在xy平面內運動，即活動構件的自由度不再是3，而是2，移動副引入的約束不是2，而是1，則有F=2×2-3×1=1，結果正確。

在計算機構自由度時，活動構件數目判斷不對，計算結果也是錯誤的。如圖6剎車機構，若把車輪誤認為機構的一個構件，則結果不正確。

圖6 剎車機構

思考三：在分析運動副引入的約束時，應根據具體情況具體分析，不應一味照搬某些結論。一般認為平面機構中，轉動副和移動副引入兩個約束，但在圖1所示楔形滑塊機構中，移動副引入一個約束，這是因為兩活動構件被限制在只能在xy平面內運動，單個活動構件的自由度為2，移動副只可能引入1個約束，若按引入兩個約束計算，結果將是機構不能動，這與實際情況不符。

結語

機構理論不斷發展，機構自由度公式也在不斷完善，這些公式各有特點，在應用時除了要明確其適用范圍，注意復合鉸鏈、局部自由度及虛約束等問題外，對機構自由度計算提出幾點思考，以便更好地運用和掌握公式，正確計算機構自由度。

參考文獻：

[1]孫桓，陳作模，葛文杰.機械原理第七版[M].高等教育出版社，2006：13.

[2]張策.機械原理與機械設計（上冊）[M].機械工業出版社，2011：28.

[3]歐陽富，蔡漢忠，廖明軍. 機構結構新舊自由度計算公式對比之理論研究[J].中國機械工程，2010 .12，VOL21（24）.

[4]郭衛東，于靖軍. 一種計算平面機構自由度的新方法[J].機械工程學報，2013.04，VOL49（7）.