關于復變函數中“∞”的幾個注記

羅世堯

摘 要： 無窮遠點是復平面上一個非常重要的點，正確理解無窮遠點的含義及有關概念對學習復變函數理論至關重要.本文在擴充復平面的幾何模型復球面上，對無窮遠點的含義及相關性質做了說明和注釋.

關鍵詞： 無窮遠點 復球面 復平面 注記

1.復球面

把一個球面放在z平面上，切點為原點O，通過O的直徑與球面交于N，O是南極，N為北極（見圖）.設Z為復平面上的一點，連接Z與球面相交于P點，這樣就建立起球面上的點和復平面上的點間的一一對應，南極點對應坐標原點，北極點N無法找到復平面上一個有限點與之對應，為此我們假設N對應復平面的無窮遠點，記作∞.復平面加上∞后稱為擴充的復平面，記作C■，與它對應的就是整個球面，稱為復球面.擴充復平面的一個幾何模型就是復球面.

幾點說明：

①擴充復平面上任一條直線對應復球面上經過北極點的一個圓，通過原點的直線對應大圓，這說明擴充復平面上任一條直線都通過∞點，直線可以看成圓（廣義圓）.

②擴充復平面上兩條平行線對應著復球面上兩個相交于北極點的圓，所以擴充復平面上兩條平行線相交于無窮遠點.

③擴充復平面上兩條相交直線也交于無窮遠點.

2.關于“∞”的幾個注記

注記1：∞的模、輻角及實部與虛部

復數z=x+iy的模r=|z|=■，可以說是點z到原點的距離，∞不是有限點，所以規定|∞|=+∞.復數的輻角定義為實軸正向到非零復數z=x+iy所對應向量■見的夾角θ，合于tanθ=■.由于經過原點的所有直線都可以到達……