確定位置為什么要用數對

羅永軍

“用數對確定位置”屬于圖形與幾何領域，這一內容從正式進入小學數學教學距今已有10年“教齡”了。大家對這一內容的研究，初期集中在“怎么教”，討論的焦點是用什么情境，能不能生活化。如，是采用教室中的座位這樣生活中的實例引入好，還是用小動物做操的例子更有趣？等等。隨著實踐的深入大家還發(fā)現一些更為緊要的問題，比如，已經學過了“第幾排第幾個”“第幾行第幾列”這樣的位置確定方法，為什么還要學習“用數對確定位置”？有序數對 “先列后行”書寫順序和生活中常用的“先行后列”順序不一致，學生反而容易弄錯。又如，數對為什么會進入小學數學內容？確定位置是數學嗎？確定的是相對位置還是絕對位置？確定位置為什么要用數對？等等。種種問題都指向“教什么”，對問題的思考有各種各樣的回答，也因此產生了豐富多彩的教學設計。

實際上對這些問題的回答凸顯了不同的目標定位：有的認為學習數對是因為生活需要，教學中主要是引導學生學習確定物體位置的新方法，重點是將已學的行列表示法與新學的有序數對表示法進行對應，難點是突破“列在前，行在后”；有的認為要把現實物體抽象成點，學習的目標放在把點的位置進行符號化（數對）的過程；也有的認為應該突出坐標思想，引入數軸；等等。這些目標哪個正確？查看《義務教育數學課程標準（2011年版）》的要求：“在具體情境中，能在方格紙上用數對（限于正整數）表示位置，知道數對與方格紙上點的對應。”單從《課標》的要求來看，主要學習平面中點的位置表示，因此上述的教“方法”、教“過程”、教“思想”都需要。不過，一節(jié)課中容量有限，需要教師有所側重。下面筆者結合相關案例的分析，來談“用數對確定位置”新授課環(huán)節(jié)的目標定位。

一、問題驅動，發(fā)現規(guī)則，創(chuàng)造數對

這一類教學把有序數對看成是一種確定物體位置的新方法，通過具體情境讓學生體會到新方法的優(yōu)點并學習新方法中所蘊含的規(guī)則。

【片段1】

呈現座位表，請大家猜一猜A同學的位置。學生用第幾排第幾個的方式描述。

師 ：A同學到底在哪兒呢？如果這時候有一個數學家就在我們課堂上，他除了用“第幾排第幾個”的方式告訴大家以外，還會選擇這樣一種更簡潔的方法，來確定他的位置。[教師板書：（4，2）]

師：你是怎么數的？

生：我從下往上數的第4組左邊的第2個；我是從上往下數的第4組左邊的第2個；我覺得是從下往上數右邊的第2個；也有可能是從上往下數右邊的第2個……

師：（分別圈出學生所說的位置）怎么會有這么多位置呢？（學生發(fā)現用數對表示的規(guī)則不清）

師：老師不想直接告訴你們。不過，我可以透露一下，A同學最要好的朋友所在的位置如果也用這樣的數對來表示的話，應該是（2，1）。（師在座位圖中標出這位同學的位置）

生：我知道了，某某的數對是（2，1），而他正好在第2豎排、第1橫排。所以我們小組發(fā)現，數對前一個數表示的是第幾豎排，后一個數表示的是第幾橫排。A同學的數對是（4，2），說明他在從左往右的第4列，從前往后的第2排。

【片段2】

呈現座位表，請學生猜一猜A同學的位置。學生用第幾排第幾個的方式描述。

師：既然這樣的方式已經能夠確定位置了，那我們今天還來研究什么呢？

生：我覺得是不是有比像“第3排第4個、第4組第3個”更簡潔的方法，也可以用來確定位置。

師：了不起！和數學家想一塊兒去了。那么，到底有沒有比它更簡潔的確定位置的方法？如果有，又會是什么樣的呢？我把這一任務留給四人小組，看看能不能集中大家的智慧，在“第3排第4個、第4組第3個”的基礎上，創(chuàng)造出比它更簡潔、準確的方法。

學生小組研究后展示：①4排3個；② 4～3；③ 4·3；④豎4橫3；⑤4↑3→⑥4，3。

師：這是從同學們中收集到的部分方法。看看每一種，似乎都挺簡潔。到底該選哪一種呢？還是請大家來作評判吧。

……

師：其實數學家選擇了第⑥種方法，并且規(guī)定：以后凡是像這樣用行數和列數來確定一個點的位置，我們通常都將列數寫前面，行數寫后面。你會了嗎？讓我們來試一試吧。

【解讀與評價】

這兩個片段源自同一位教師的設計，執(zhí)教時間前后相隔5年。相同之處是這兩個片段的預設目標基本相同，都是基于學生已經掌握了行列法表示物體的位置這一基礎，引導學生發(fā)現用有序數對也可以確定物體的位置。對于為什么要用數對來確定位置，“方法簡潔”是教師的小結，也都用到了“數學家”在用這種方法時的說法。簡潔不等于簡單，“老師并沒有打算直接把規(guī)則告訴大家”，在這里兩者的差異呈現出來了，前者給出了“數學家”的一個答案（不告訴方法），讓學生根據答案中學生的位置與數對的對應關系推斷有序表示的規(guī)則。而后者的設計是先放開讓學生自己構建規(guī)則，然后說明和理解“數學家”的選擇結果。前者體現了推理思想，后者體現學生主體地位。這樣的設計，實踐效果已被認可，值得學習。

如果要提出商榷的觀點，那么在上面的設計中，學習任務是要找到一種“簡潔方法”來確定座位。這個方法就是“有序數對”。用“有序數對”來確定座位，方法簡潔嗎？

在實際生活中，我們常用“第幾排第幾個”“第幾組第幾個”這樣的說法，用這種方法大家都知道所說的位置在哪里，表達清晰明白易懂。如果想要說得更簡潔一點，完全可以用省略幾個字的方法，直接說“幾排幾座”，比如“4排2座”，大家都知道這個位置在第4排第2個位置。如果用（4，2）的方法，大家反而不知所云。

那么“有序數對”用在哪里呢？其實《課標》已有說明，學習“有序數對”的目的是“為進一步學習平面直角坐標系做好鋪墊”。也就是說“有序數對”的價值更多地是體現在表示平面中點的位置。數對其實就是坐標的原型，是點的位置抽象，有了數對我們可以計算點與點之間的距離，可以用數與式來描述點的運動軌跡，等等。因此，在教學中教師從座位圖引入后不妨早些換成點子圖（見圖 1）。師生根據點子圖來研究數對所表示的方法與規(guī)則，并且以運動的觀點來進一步認識“有序數對”的價值。比如，把點（1，5）每次右移1格，將會得到哪些點？從這些點（2，5），（3，5），（4，5），（5，5），……（x，5）中可以發(fā)現什么？如果把點（2，5）上移或下移，這些點的位置怎樣表示，它們有共同或不同的地方嗎？把點（1，2），（2，3），（3，4）連起來，你發(fā)現了什么？按照這樣的規(guī)律，下一個點的位置是什么？等等。

二、繞開行列，引入數軸，接軌坐標

數對學習的認知基礎是一年級 “方向”的上下左右，二年級 “找位置”的第幾排第幾個。在日常生活中則多用排與座。有基礎當然好，但會帶來負遷移——能不能繞開某些用語，比如排與座、行與列呢？

【片段】

師呈現座位表（圖2）。

師：誰來說一說小軍的位置？

生：從左往右數第4個。

出示方向箭頭和數：→4

師：有方向，也有數，你能想到什么？

生：數軸。

師：橫著的數軸，可以稱為“橫軸”，豎著的數軸，可以稱為“豎軸”。（出示圖3）

師：由生活中的位置，我們想到了數學中的數軸。有了數軸，這些位置一眼就看出來了，既簡單又方便！（師出示教室中的座位圖，再簡化成點）

師：現在，你能把小明的位置記錄下來嗎？

學生活動后展示交流。

生：（4-3），（4·3），（4↑3→），（4，3）……

師：為了能確定位置，咱們再規(guī)定一下，先橫著數，再豎著數。（板書）用這樣的兩個數就可以表示一個位置。為了看得更清楚，咱們用一個逗號把兩個數隔開。這樣的一對數，也就是一個數對，表示一個位置，是一個整體，咱們用括號表示。[板書：（4，3）]

【解讀與評價】

整個教學過程中，教師沒有提“行”“列”，只用“橫著數”“豎著數”。怎樣數呢？利用已有經驗，從一維開始，借助數軸，橫數從左往右，豎著數從下往上。因為是借助數軸，所以在數軸刻度標識的指引下，數的方向不會錯。在二維坐標系中，學生經歷自主表示點的位置過程，然后由教師介紹用數對表示位置的規(guī)則“先從左到右橫著數，再從下往上豎著數”，簡單地說就是“先橫后豎”。這樣教學淡化了現實中的物體的定位，也沒有花費很多時間讓學生去創(chuàng)造“符號”來表示“第幾行、第幾列”，也沒有比較不同表示方法的優(yōu)劣，而是直接告知學生為了“統一”“交流”的需要，先橫看再豎看。在教師的引導下，有一定空間想象能力的學生，可能在腦海中浮現這樣的一個形象的符號“”，而這先橫后豎的形象，正好能與后繼“直角坐標系”學習中的“橫坐標”“縱坐標”順利接軌。這樣較為直接的教學，也得到了專家的響應。

不過，引入數軸、基于數軸的有序數對教學，與原有的“行列”表示法并不矛盾，如果僅僅是擔心學生出錯而完全舍棄學生原有認知基礎也會有局限，在碰到具體問題時，學生有可能混淆兩者。那么，教師能不能在課中將點子圖教學完以后再恢復座位圖，讓學生思考某同學的位置可以怎樣表示，然后聯通幾種表示方法。當然，這只是筆者淺見，實際教學還需要結合學生的原有認知基礎。另外，這樣的教學還有一個地方不易處理：數軸的原點。在這個教學設計中是直接出現。那么，有沒有更好的呈現方式呢？

三、追本溯源，豐富結構，凸顯符號思想

用數對確定位置不是簡單地將“行、列、排、座”升級，而是有其數學發(fā)展的內在脈絡。我們知道要確定點的位置在一維、二維、三維空間中所需的參數是不同的，也就是說，有序數對以及今后學習的坐標是空間結構的數學描述方法之一。能不能根據空間結構的層次來學習有序數對的表示呢？

【片段】

師：今天老師把劉謙這個大魔術師請來了。不過我把劉謙藏在這些點的后面。（師在黑板上畫了5個點）你知道劉謙藏在哪兒嗎？

生（疑惑）：每個點的后面都有可能，少條件。

師（在黑板上寫數“2”）：現在你能知道嗎？

生：我覺得要么藏在從左邊數的第二個點的后面，要么藏在從右邊數的第二個點的后面，還少條件……

師（標出方向“→”）：現在呢？

師：你們真聰明。（師畫上25個點）劉謙又給了我們這樣的條件（2，5），他藏在哪兒？（師根據學生的回答標記出所有的可能點）

師：還缺少什么條件？如果老師給你提示（4，1），它表示什么？能幫你找到劉謙藏哪兒嗎？

師：對，你們說得好，這個位置我們用（2，5）表示。（2，5）在數學上叫數對，寫的時候，先寫表示列的數，再寫表示行的數，也就是“先列后行”，最后寫兩邊的括號。你會寫了嗎？

【解讀與評價】

在這個教學片段中，教師也讓學生猜某人的位置，與前面不同的是，并不是直接出現二維的座位圖，而是把“有序數對”與“維”聯系起來：①當有多個點（位于同一直線上）時，確定某個點的位置不僅要有方向還要有距離——從左還是右數起，從上還是下數起？離參照物（原點）是多少？②在平面上如何確定點的位置呢？學生發(fā)現條件不夠了，因為它需要兩個不同方向的距離來描述！所以，需要兩個數來描述，并且還要統一描述規(guī)則。在課堂上一句“還要加什么條件？”的多次問題引導，既尊重了學生個體，還生成了多次對新條件的探索，更加深了學生對數對位置概念的理解與體驗。

為什么需要數對，為什么需要有序數對？在這個片段中我們可以看到清晰的脈絡。像這樣基于空間結構層次的教學設計，就把一個幾何概念所蘊含的結構性及所需要的統一性給揭示出來了。

有教師可能會疑問：這樣教學對學生的要求高，學生能不能適應？如果擔心學生不能根據（4，1）發(fā)現規(guī)則，那么教師可以適時添上數軸，借助數軸，學生更有可能發(fā)現對應關系。畢竟，在這則教學中點與數對之間一一對應關系的規(guī)律還是很重要的。

數學規(guī)則的形成既有其歷史的偶然性體現在人為因素中，又有其學科發(fā)展的必然性體現在其背后的科學因素中，對其不同的解讀在教學中產生了多元的目標和相應的教學設計。有種說法是“教什么”比“怎么教”更重要，其實兩者是相輔相成的。在與讀者分享眾多教師智慧而感到喜悅的同時，也因囿于自身水平，不能介紹更多的研究成果而遺憾。本文旨在拋磚引玉，期待有更多的教育智慧共同分享。

（浙江省新思維教育科學研究院 310007）