“子彈”與“射線”，風(fēng)馬牛不相及？

薛麗敏 嚴(yán)育洪

“望”：病例觀察

“射線、直線的認(rèn)識(shí)”是蘇教版教材四年級(jí)上冊(cè)的內(nèi)容，下面是一位教師對(duì)該課的教學(xué)片段。

教師課件演示：黑夜里，手電筒的開關(guān)打開，對(duì)著墻面。復(fù)習(xí)以前學(xué)過(guò)的線段，強(qiáng)調(diào)線段有限長(zhǎng)。

教師接著課件演示：將手電筒的光線射向遠(yuǎn)方。學(xué)生描述光線特點(diǎn)，如直直的、沒(méi)有盡頭等。教師揭示：手電筒的光源——燈泡，我們可以把它看作一個(gè)端點(diǎn)，它射出的光線向外無(wú)限延伸，像這樣的光線就可以看作是射線。然后教學(xué)射線的畫法和特征，強(qiáng)調(diào)射線無(wú)限長(zhǎng)。

教師隨之出示教材夜景燈光圖，然后讓學(xué)生列舉現(xiàn)實(shí)生活中射線的例子，有一位學(xué)生舉例：“子彈射出的是射線。”

教師頗感意外，想了一會(huì)這樣評(píng)判：“子彈最終要掉下來(lái)的。所以它不是射線。”

……

教師接著課件演示：把兩個(gè)手電筒尾部相連，同時(shí)打開，得到一條直線（如下圖）。當(dāng)教師講到直線沒(méi)有端點(diǎn)時(shí)，一位學(xué)生嘀咕：“明明有一點(diǎn)，怎么說(shuō)沒(méi)有呢？”

最后，教師溝通線段、射線、直線之間的聯(lián)系：直線里可以取出線段和射線，因此線段和射線可以看成是直線的一部分。

……

教學(xué)進(jìn)入練習(xí)環(huán)節(jié)。在判斷題中有一題是：小明畫了一條10厘米長(zhǎng)的射線。學(xué)生都能正確判斷：因?yàn)樯渚€無(wú)限長(zhǎng)。在操作題中有一題是：過(guò)一點(diǎn)可以畫多少條直線？過(guò)兩點(diǎn)可以畫多少條直線？在匯報(bào)“過(guò)兩點(diǎn)可以畫多少條直線”時(shí)，有一位學(xué)生說(shuō)：“可以畫許多條直線。”在哄堂大笑中，教師重新?lián)Q人得到了正確答案。

……

“問(wèn)”：病歷記錄

課后，筆者找來(lái)那位舉例“子彈射出的是射線”的學(xué)生進(jìn)行回訪：“你對(duì)老師的答復(fù)滿意嗎？”

學(xué)生如此解釋：“子彈最終會(huì)掉下來(lái)，我想燈光最終也會(huì)暗下來(lái)。”以此表示對(duì)老師的不滿意。

接著，筆者又找來(lái)那位認(rèn)為“過(guò)兩點(diǎn)可以畫許多條直線”的學(xué)生進(jìn)行核實(shí)：“你怎么想到可以畫許多條的？”

這位學(xué)生捏著衣角說(shuō)：“我想，鉛筆削得越細(xì)，直線就可以畫得越多。”原來(lái)作業(yè)紙上教師給的兩個(gè)點(diǎn)畫得比較大。

最后，筆者又找來(lái)一些學(xué)生，給他們出了這樣一道題目：“射線與直線，誰(shuí)長(zhǎng)？”

結(jié)果只有2人答對(duì)，其余大多數(shù)認(rèn)為直線比射線長(zhǎng)，理由是“射線是直線的一部分”，還有一些學(xué)生認(rèn)為直線和射線一樣長(zhǎng)，理由是“直線和射線都無(wú)限長(zhǎng)”。

筆者轉(zhuǎn)而問(wèn)上課教師一個(gè)問(wèn)題：“你覺(jué)得你課中說(shuō)的‘射線可以看成是直線的一部分’，對(duì)嗎？”

上課教師沉思了一會(huì)：“現(xiàn)在想想，我也感覺(jué)好像不對(duì)。但教學(xué)資料、別的老師都這么說(shuō)，我也就這么說(shuō)了。”

“哪里不對(duì)呢？”筆者追問(wèn)。

“是啊，這也把我問(wèn)糊涂了。射線和直線都是不可度量的，怎么還有‘射線是直線的一部分’這種說(shuō)法呢？”上課教師感到困惑，頓了一會(huì)，補(bǔ)充道：“不過(guò)，語(yǔ)句中用了‘可以看成’，是不是說(shuō)這不是真的，只是假設(shè)吧？”

……

“切”：病理診治

點(diǎn)、直線是原始概念，不能嚴(yán)格定義，描述它們的辦法是用公理來(lái)刻畫。在《幾何原本》中，只有直線的定義，沒(méi)有給出線段的定義。小學(xué)對(duì)線段、射線、直線都是憑借直觀認(rèn)識(shí)，即使到了初中還有許多這樣直觀的“定義”，如江蘇科學(xué)技術(shù)出版社出版的七年級(jí)教科書中，線段的概念是這樣出現(xiàn)的：兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短，然后用畫圖的方式指出圖中的什么線是直線。

在具體教學(xué)中，既可以從線段出發(fā)，延長(zhǎng)一端成射線，延長(zhǎng)兩端成直線，也可以從直線出發(fā)，截取一端成射線，截取兩端成線段。雖然可以由“此”及“彼”，但它們都是抽象的結(jié)果，彼此之間并沒(méi)有什么“血緣”關(guān)系，不存在上述由線段得到的射線、直線還是由直線得到的射線、線段等“推理”問(wèn)題。

在美國(guó)的《發(fā)現(xiàn)幾何》和俄國(guó)的《直觀幾何》中是先定義直線，再用直線定義線段。而在許多小學(xué)教材（包括蘇教版教材）中，先教學(xué)線段，再由線段引出射線和直線，那是考慮到線段能夠在生活中找到原型，其有限性學(xué)生也容易理解。

上述課例中，一位學(xué)生舉例“子彈射出的是射線”，教師的回應(yīng)是“子彈最終要掉下來(lái)的。所以它不是射線”，這樣的反對(duì)理由并不能讓人信服，這從課后那位學(xué)生的不滿可以看出。因?yàn)閿?shù)學(xué)中研究的射線和直線在現(xiàn)實(shí)生活中是不存在的，“只能存在于人們的想象之中”，我們只能把某些線近似地看作射線，如太陽(yáng)光線、射燈的光線、x光射線甚至上述課例中的手電筒的光線等等。實(shí)際上，生活中的這些“射線”都有盡頭，手電筒的光線更不用說(shuō)，嚴(yán)格地說(shuō)，它們都是線段。數(shù)學(xué)源于生活但又高于生活，數(shù)學(xué)不完全等同于生活，數(shù)學(xué)中所說(shuō)的“射線”與生活中所說(shuō)的x光射線的“射線”并非一回事情，數(shù)學(xué)中所說(shuō)的“直線”與生活中所說(shuō)的“直線”也并非一回事情（生活中所說(shuō)的“直線”常常說(shuō)的是“直的線”，也就是數(shù)學(xué)中的線段）。所以用“子彈最終要掉下來(lái)”的解釋來(lái)推翻學(xué)生的舉例，缺乏充足的說(shuō)服力，可以被學(xué)生“燈光最終也會(huì)暗下來(lái)”的類比輕而易舉地推翻。

在上述課例的練習(xí)中，學(xué)生出現(xiàn)了“過(guò)兩點(diǎn)可以畫許多條直線”的知識(shí)錯(cuò)誤，根本原因就在于“數(shù)學(xué)不完全等同于生活”。數(shù)學(xué)中，點(diǎn)是沒(méi)有大小的，線是沒(méi)有粗細(xì)的，而生活中，點(diǎn)常常畫得有大小，線常常畫得有粗細(xì)。許多教師不明就里，為了讓學(xué)生關(guān)注或?yàn)榱俗寣W(xué)生注意，在黑板、投影或作業(yè)紙上人為地把點(diǎn)畫得很大、把線畫得很粗，結(jié)果讓學(xué)生誤以為點(diǎn)有那么大、線有那么粗，于是就產(chǎn)生了“鉛筆削得越細(xì)，直線就可以畫得越多”這種想法。由此要提醒教師的是：要選取更接近數(shù)學(xué)的生活原型，例如選用紅外線射出的光線要比手電筒射出的光線更好——點(diǎn)更小，線更細(xì)。另外，如果呈現(xiàn)了手電筒以及情景圖中射燈那么粗的光線，教師應(yīng)該及時(shí)細(xì)化，抽象出一條線。

對(duì)“點(diǎn)的無(wú)限小”和“線的無(wú)限細(xì)”，從上述課例中學(xué)生的哄堂大笑和教師重新?lián)Q人回答的行為表現(xiàn)可以看出，教師和學(xué)生普遍存在理解困難。對(duì)此，教師可以通過(guò)以下方式讓學(xué)生來(lái)體會(huì)“點(diǎn)的無(wú)限小”：在三角形ABC中（如下圖），線段BC比線段DE長(zhǎng)，按照一般思維，如果點(diǎn)有固定大小，那么線段BC上的點(diǎn)要比線段DE上的點(diǎn)多，然而，從A點(diǎn)向BC邊上的任意一點(diǎn)連線，DE邊上都有一點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)，例如G點(diǎn)與F點(diǎn)對(duì)應(yīng)、I點(diǎn)與H點(diǎn)對(duì)應(yīng)。理解了“點(diǎn)的無(wú)限小”，“線的無(wú)限細(xì)”也就迎刃而解。

如果說(shuō)對(duì)“點(diǎn)的無(wú)限小”和“線的無(wú)限細(xì)”，在小學(xué)教學(xué)中只需點(diǎn)到為止，那么對(duì)“線的無(wú)限長(zhǎng)”，本節(jié)課卻繞不開了。從課后多數(shù)學(xué)生回答“直線比射線長(zhǎng)”的錯(cuò)誤中可以看出，學(xué)生對(duì)“無(wú)限長(zhǎng)”的理解還是模糊的，并沒(méi)有真正理解“無(wú)限”的含義。當(dāng)然，教師也不能排除學(xué)生受前一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的影響，教師在溝通線段、射線、直線之間聯(lián)系的時(shí)候，采用了在直線里截取射線的做法，由此得到“射線是直線的一部分”的結(jié)論，這樣的做法和說(shuō)法很容易讓學(xué)生誤以為射線比直線短。另外，直線可以向兩端延長(zhǎng)，而射線只能向一端延長(zhǎng)，也可能給學(xué)生造成錯(cuò)覺(jué)。

學(xué)生的認(rèn)識(shí)困難也常常源自于教師的認(rèn)識(shí)困惑——“射線和直線都是不可度量的，怎么還有‘射線是直線的一部分’這種說(shuō)法”，雖然許多教師在沿用別人的說(shuō)法，其實(shí)心里是打了問(wèn)號(hào)的。實(shí)際上，分析無(wú)限量之間的關(guān)系，要擺脫有限量的比較——“部分小于整體”的觀點(diǎn)束縛，運(yùn)用有關(guān)理論來(lái)分析無(wú)限量：從集合的角度看，直線和射線可以看作兩個(gè)不同的點(diǎn)集，射線集合中的元素都包含于直線集合之中，所以射線集合是直線集合的真子集。因此，“射線是直線的一部分”是正確的，并非像上述教師所認(rèn)為的只不過(guò)是“可以看成”。這如同可以說(shuō)“自然數(shù)可以分為奇數(shù)和偶數(shù)”，但不能說(shuō)“自然數(shù)比偶數(shù)多”。因?yàn)榕紨?shù)、自然數(shù)的個(gè)數(shù)都是無(wú)限的。如果給出一個(gè)自然數(shù) n，總會(huì)有一個(gè)偶數(shù) 2n 與它對(duì)應(yīng)（如下圖），即自然數(shù)和偶數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，所以它們應(yīng)該是一樣多。另外，上述三角形ABC中，雖然線段BC比線段DE長(zhǎng)，但線段DE上的點(diǎn)與線段BC上的點(diǎn)一樣多，也可以間接說(shuō)明這種有限與無(wú)限的問(wèn)題。

那么，在本課教學(xué)中，教師怎樣可以更好地讓學(xué)生體會(huì)射線和直線的無(wú)限長(zhǎng)呢？一般教師的做法是讓學(xué)生想象，為了渲染效果，讓學(xué)生閉上眼睛聽教師詩(shī)一般的引導(dǎo)語(yǔ)——“這條直直的線，繼續(xù)延伸，穿過(guò)了美麗的校園，繼續(xù)直直地延伸，穿過(guò)了美麗的××市，繼續(xù)延伸……穿過(guò)了廣袤的原野，繼續(xù)延伸……穿過(guò)了波濤洶涌的大海……繼續(xù)延伸……延伸……”教師的語(yǔ)氣由強(qiáng)慢慢變?nèi)酰杉甭兙彛龑?dǎo)學(xué)生感受“無(wú)限”。對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，還無(wú)法從較為理性的方面去認(rèn)識(shí)無(wú)限，只能通過(guò)這種感性的知覺(jué)去體會(huì)。

其實(shí)，這種“看不見”的想象是可以外化和顯化的，在本質(zhì)上，射線和直線可以看成點(diǎn)的無(wú)限延伸。首先，教師可以從線段開始讓學(xué)生感受到線是點(diǎn)的集合。先出示兩個(gè)點(diǎn)（如下圖），用多媒體演示連點(diǎn)成線的動(dòng)態(tài)過(guò)程，并指出為了說(shuō)明線段的“有頭有尾”，在數(shù)學(xué)上一般要標(biāo)出端點(diǎn)。以此換一個(gè)角度讓學(xué)生重新認(rèn)識(shí)已經(jīng)學(xué)過(guò)的線段。

此時(shí)學(xué)生也就明白，正因?yàn)榫€段“有頭有尾”，所以有限長(zhǎng)，才能測(cè)量長(zhǎng)度。之后，教師用多媒體把一個(gè)端點(diǎn)繼續(xù)延伸形成不同長(zhǎng)度的線段，讓學(xué)生體會(huì)端點(diǎn)的符號(hào)意義。

有了前面的基礎(chǔ)，教師就可以對(duì)線段從新開始、從頭開始做全程的動(dòng)態(tài)演示：由一點(diǎn)開始，向一個(gè)方向延伸，到一點(diǎn)結(jié)束，這樣的“有始有終”就形成了一條線段。然后順著這個(gè)思路，射線就是這樣的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)：由一點(diǎn)出發(fā)，向一個(gè)方向無(wú)限延伸，永遠(yuǎn)不停止，沒(méi)有終點(diǎn)，這樣的“有始無(wú)終”就形成了一條射線。接著，教師就可以讓學(xué)生把想象中的這條射線畫出來(lái)。受限于紙面，學(xué)生會(huì)想辦法表示出射線的無(wú)限，憑經(jīng)驗(yàn)可能會(huì)出現(xiàn)如下表征方式：

當(dāng)然也可能有學(xué)生受前面環(huán)節(jié)的啟發(fā)，以不標(biāo)端點(diǎn)來(lái)表示無(wú)限長(zhǎng)，從而直接想到射線的一般畫法。為了強(qiáng)化學(xué)生對(duì)射線無(wú)限長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)，教師可以畫出“長(zhǎng)短”不同的射線，讓學(xué)生辨析長(zhǎng)短，從而認(rèn)識(shí)到射線沒(méi)有長(zhǎng)短，不同“長(zhǎng)短”的射線都表示無(wú)限長(zhǎng)。

由光線引入體現(xiàn)了從生活走向數(shù)學(xué)，也就是我們所說(shuō)的橫向數(shù)學(xué)化，而現(xiàn)在由點(diǎn)引入則體現(xiàn)了縱向數(shù)學(xué)化，可以避免學(xué)生受光線粗細(xì)、發(fā)散、容易被阻擋等非本質(zhì)屬性因素的影響。小學(xué)教學(xué)中，兩者可以互為補(bǔ)充。

前面說(shuō)到線段、射線、直線之間沒(méi)有“血緣”關(guān)系，它們相互獨(dú)立。而一旦數(shù)學(xué)教學(xué)把靜態(tài)的結(jié)果化的結(jié)論變成動(dòng)態(tài)的過(guò)程性的教學(xué)情境、任務(wù)的有機(jī)串聯(lián)，之后，它們之間似乎就有“血緣”關(guān)系。可以說(shuō)，這里是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)把它們緊緊地連接在了起來(lái)。

如果把射線形象地看成“射出”的點(diǎn)的軌跡，那么上述課例中學(xué)生所舉的“子彈射出的是射線”例子與燈光情景相比，更容易讓學(xué)生“看到”點(diǎn)（子彈頭）動(dòng)成線（子彈頭射出的軌跡）的動(dòng)態(tài)過(guò)程。由此可見，這個(gè)例子是一種很好的生成資源，教師應(yīng)該開發(fā)利用。

一旦突破射線的無(wú)限性，直線的教學(xué)就輕而易舉了，沒(méi)有必要再像上述課例那樣依然靠“手電筒”這樣的生活原型來(lái)引出直線概念，完全可以直接從相關(guān)的數(shù)學(xué)概念導(dǎo)出：第一種方案是把線段的兩端無(wú)限延伸，第二種方案是把射線的另一端無(wú)限延伸。為了讓學(xué)生對(duì)線段、射線、直線三者關(guān)系有一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)，可以把這兩種變化方式都列入教學(xué)環(huán)節(jié)中，一個(gè)可以作為新知的引出，一個(gè)可以作為新知的鞏固。至于哪一個(gè)為先，從知識(shí)上看，都能接得上，從環(huán)節(jié)上看，由剛教的射線知識(shí)引出的第二種方案可能更為自然。當(dāng)然，最后還可以這樣演示：由一點(diǎn)出發(fā)，向兩頭無(wú)限延伸，這樣的“無(wú)始無(wú)終”就形成了一條直線。

上述課例中，在從手電筒引出直線時(shí)，一位學(xué)生嘀咕：“明明有一點(diǎn)，怎么說(shuō)沒(méi)有呢？”這是教學(xué)概念與實(shí)際現(xiàn)象相脫節(jié)的緣故，也是心理學(xué)中的“沉錨效應(yīng)”。在心理學(xué)中，我們的行動(dòng)、決策、價(jià)值判斷等常常易受第一印象或第一信息支配，就像沉入海底的錨一樣把人們的思想固定在某處，這就是“沉錨效應(yīng)”。確實(shí)，受前面所學(xué)的線段、射線端點(diǎn)的影響，學(xué)生要能夠區(qū)分“點(diǎn)”與“端點(diǎn)”是有一定的難度。所以，我們應(yīng)該一開始就留給學(xué)生正確的第一印象，而點(diǎn)動(dòng)成線的直線形成方式就能夠很好地做到這一點(diǎn)。

接下來(lái)緊連著“在直線上截取線段和射線”這一教學(xué)環(huán)節(jié)，可以由剛才的“延長(zhǎng)”行為反向成現(xiàn)在的“截取”行為，讓學(xué)生對(duì)線段、射線和直線三者關(guān)系的認(rèn)識(shí)更全面、更深刻。這樣，像課后訪談那樣，學(xué)生可能會(huì)對(duì)“線段和射線是直線的一部分”這種說(shuō)法產(chǎn)生錯(cuò)誤理解，解決之策是，在這一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)之后，教師應(yīng)趁熱打鐵，出示“射線與直線，誰(shuí)長(zhǎng)”這一問(wèn)題讓學(xué)生思辨。與單純的“小明畫了一條10厘米長(zhǎng)的射線”判斷題相比，這一問(wèn)題更能夠檢測(cè)學(xué)生對(duì)“無(wú)限”的理解，使問(wèn)題在第一時(shí)間內(nèi)暴露并得到澄清。