列方程的方法與技巧

楊海俊

摘 要： 宇宙間從宏觀到微觀，事物之間相互有一定的數(shù)量關(guān)系.其中，方程是它們的關(guān)系之一.尋找等量關(guān)系是列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵步驟，而設(shè)定待定未知數(shù)又是列方程的關(guān)鍵.

關(guān)鍵詞： 列方程 方法 技巧

宇宙間從宏觀到微觀，事物之間相互有一定的數(shù)量關(guān)系.其中，方程是它們的關(guān)系之一.尋找等量關(guān)系是列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵步驟.而設(shè)定待定未知數(shù)又是列方程的關(guān)鍵.如何設(shè)待定未知數(shù)，也就是如何設(shè)元.當(dāng)然是先審題，了解已知條件和所要解決的問題及問題的個數(shù).如果是一個問題，首先考慮一元方程解決的方案，如果是多個問題則考慮多元方程組解決的方案.

1.直接設(shè)元法

就是將要解決的問題直接設(shè)為待定未知數(shù)，然后把設(shè)定的未知數(shù)和已知的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題列等式，即列方程或方程組，通過解方程或方程組解決實際問題.如：列一元一次方程解應(yīng)用題，首先要根據(jù)題意及題中的數(shù)量關(guān)系，找出能夠反映應(yīng)用題全部含義的一個相等關(guān)系，然后再設(shè)未知數(shù)布列方程求解.對于條件表達不夠明確的應(yīng)用題，可用如下的方法尋找相等關(guān)系.

（1）動態(tài)問題靜止看.靜態(tài)的問題是指題中關(guān)系對應(yīng)的量處于相對穩(wěn)定的狀態(tài)，而動態(tài)的問題則是指題中條件所表達的是不斷變化的相等關(guān)系，對于這類問題，要善于在動中取靜，以靜制動.

例1：甲乙兩人同時從A、B兩地出發(fā)，A、B兩地的距離為2100m，甲騎自行車，平均每分鐘騎260m，乙跑步，平均每分鐘跑160m，問經(jīng)過多長時間后相遇？分析：甲、乙兩人出發(fā)后，所走過的路程、時間都在發(fā)生變化，但A、B兩地的距離是固定不變的，是一個靜態(tài)量，即甲與乙走的路程和為2100m，據(jù)此，可布列方程求解設(shè)兩人經(jīng)過x分鐘相遇，根據(jù)題意，得260x+160x=2100.解得x=5，即經(jīng)過5分鐘兩人相遇.

（2）虛實相生關(guān)系.在應(yīng)用題中，除了有實實在在的條件外，有時還要人為地虛構(gòu)一些條件，幫助我們尋找相等關(guān)系而解題.例如設(shè)輔助未知數(shù)（又稱參數(shù)），它在題目的條件中沒有給出，在解答的結(jié)果中也不存在，但正是這些虛擬的條件，卻起到了“橋梁”的作用.

例2：某超市在“十一黃金周”期間為了促銷一批庫存的商品，先將該商品提價40%，然后再打折銷售，為了使該商品打折后與調(diào)價前的銷售價格相同，問該商品應(yīng)按幾折銷售？分析：此題要求“該商品按幾折銷售”，但題目中沒有直接給出漲價后的價格，由題意知，漲價后的價格與原標(biāo)價有關(guān)系，若將原標(biāo)價設(shè)為a元，進而可將漲價后的價格表示出來，使得題目中的數(shù)量關(guān)系明朗化，根據(jù)提價并打折后銷售價格與原標(biāo)價相等，即可列出方程.設(shè)該商品的原標(biāo)價為a元，提價40%后應(yīng)按x折銷售，根據(jù)題意得a（1+40%）x%=a.解得x≈71，即該商品應(yīng)按七一折銷售.

2.間接設(shè)元法

就是當(dāng)用根據(jù)設(shè)定的未知數(shù)和已知的條件列不出方程或方程組時，就要換思路間接設(shè)元.也就是用直接設(shè)元法解決不了問題時，把與要解決問題相關(guān)的條件設(shè)元，然后列出方程或方程組，求出間接設(shè)元未知數(shù)的值，為解決初始問題創(chuàng)造條件.有時按這個間接設(shè)定的待定未知數(shù)也列不出相關(guān)的方程或方程組，就換與初始問題相關(guān)的其他條件設(shè)元.如果還是列不出相關(guān)的方程或方程組，就又要換思路，把與初始問題相關(guān)的條件姑且視為二級初始問題，又把與二級初始問題相關(guān)的條件設(shè)元，然后列方程或方程組求二級初始問題的值.這樣逐級逐層地間接設(shè)元，直到解決問題為止.對于條件表達不夠明確的應(yīng)用題，可用如下的方法尋找相等關(guān)系，下面列舉兩個簡單的例子.

（1）變化之中找不變.許多問題情景是在不斷變化的，但在變化的問題情景中，肯定存在著不變量，找到這個不變量，我們就可以根據(jù)相等關(guān)系布列方程.

例3：隴西縣教育系統(tǒng)組織全縣骨干教師去外縣參觀學(xué)習(xí)，若單獨租用46座的客車若干輛，則剛好坐滿；若單獨租用62座的客車，則可以少租一輛，且空余2個座位，試問該這次去外縣參觀學(xué)習(xí)去的有多少人？

分析：無論采用哪種租車方式，去參觀學(xué)習(xí)去的人數(shù)是不變的，故可以此為相等關(guān)系，即租46座客車的坐車人數(shù)=租62座客車的坐車人數(shù)，采用間接設(shè)元的方法布列方程求解，設(shè)租46座客車x輛，則租62座客車（x-1）輛，根據(jù)題意得46x=62（x-1）-2，解得x=4.于是46x=46×4=184（人）.即這次去外縣參觀學(xué)習(xí)去的有184人.

（2）挖掘隱含條件.顯性的相等關(guān)系是指根據(jù)所給的條件及所學(xué)的公式、性質(zhì)、定律等一目了然就能看出的相等關(guān)系，而隱性的相等關(guān)系則是指問題中有一些隱含的條件，這類條件如果不認真去挖掘、分析，擺到“桌面”上，就不能清晰地看出其中的相等關(guān)系.

例4：楊溪與楊河姐弟倆，楊溪對楊河說：“當(dāng)我像你這么大年齡時，你就21歲了，而當(dāng)你到了我現(xiàn)在的年齡時，我就27歲了”根據(jù)以上對話，你能算出楊溪與楊河兩人現(xiàn)在的年齡嗎？分析：此題初看似乎沒有明顯的等量關(guān)系可尋，但生活經(jīng)驗告訴我們，年齡問題中隱含著的條件是“要長都長”，也即楊溪與楊河兩人的年齡差不變據(jù)此條件，并借助于線段圖：

楊溪過去年齡-楊河（21歲）=年齡差

楊溪現(xiàn)年-楊河現(xiàn)年=年齡差

楊溪27歲-楊河年齡（增長）=年齡差

可知題目蘊藏著的等量關(guān)系是：3×年齡差=27-21.設(shè)兄弟兩人的年齡差為x歲，根據(jù)題意，得3x=27-21，解得x=2.于是楊河的年齡為2+21=23（歲），楊溪的年齡為27-2=25（歲）.

常言之，熟能生巧，所以知道方法和技巧，并不一定對列方程、方程組和因式分解就得心應(yīng)手，貴在多練習(xí)和思考，只有在練習(xí)和思考中，才能不斷進步.