數學中的概念教學

潘秋瑜

數學概念是客觀對象的數量關系和空間形式的本質屬性的反映，是學習數學理論和構建數學框架的奠基石。對數學概念的理解與掌握既是正確思維的前提，又是提高數學解題能力的必要條件。盡管一直以來，教學大綱和新課標都強調了概念的重要性和基礎性，但教育反饋的結果表明，學生對于數學概念的掌握并不理想。對于鄰近的數學概念辨別不清，對于基本的數學概念理解不透徹顯得更平常。每次考試過后，總有學生由于數學概念把握不準確和思路混亂，而導致解題失誤。而教師對于學生的錯誤也表示出乎意料，深感最基本的概念問題是必得分問題，怎么可能丟分？而追根究底，數學概念形成的主要渠道可以說是教學。但現在許多教師仍然存在“重解題技巧的教學，輕數學概念的教學”的傾向，有的教師仍然刻意追求概念教學的最小化和習題教學的最大化，并譽名“快節奏、大容量”。實際上這是應試教育下典型的舍本逐末的錯誤做法，致使學生中出現兩種錯誤的傾向，一是認為概念的學習單調乏味，不去重視它，不求甚解，導致對概念認識的模糊；二是對基本概念只是死記硬背，沒有透徹理解，只有機械、零碎的認識。結果導致學生在沒能正確理解數學概念，無法形成能力的情況下匆忙解題，使得學生只會模仿老師解決某些典型的題和掌握某類特定的解法，一旦遇到新的背景、新的題目就束手無策，進一步導致教師和學生為了提高成績陷入無底的題海之中。因而在數學新課標實施的背景下，對中學數學概念教學進行反思，針對不足提出教學建議顯得尤為迫切和必要。

要改變數學概念講不透的現狀，筆者談談自己對該方面的見解：其一，處理好講與練的關系，在肯定科學訓練對學生掌握數學概念的作用的同時，教師應重視對數學概念的講解，通過講解向學生全面系統地傳授概念知識。將講和練有機地結合在一起，為概念講解贏得時間。其二，轉變教師的教學觀念，實現由單一的課程實施者向課程的研究者，建設者和課程資源開發重要力量的角色轉變。概念教學最好不要囿于課本，應盡量從學生已有的認知結構出發，通過講解幫助學生形成良好的概念網絡，真正在講上下工夫，力爭把數學概念講透。

教師應真正做到如課標中要求的轉變自己的教學觀念，筆者認為接下來更多的是要注重概念的講解過程，采取的有效方式，在這方面筆者有很深的感觸。

一、在體驗數學概念產生的過程中認識概念

數學概念的引入，應從實際出發，創設情境，提出問題。通過與概念有明顯聯系、直觀性強的例子，使學生在對具體問題的體驗中感知概念，形成感性認識，通過對一定數量感性材料的觀察、分析，提煉出感性材料的本質屬性。

如在“異面直線”概念的教學中，教師最好先陳述概念產生的背景。如在長方體模型中，讓學生觀察長方體的各條棱中，是否存在兩條既不平行又不相交的直線？若存在，請同學們找出來。教師接下來告訴學生像這樣的兩條直線就叫做異面直線。接著提出“什么是異面直線”的問題，讓學生相互討論，嘗試敘述，經過反復修改補充后，給出簡明、準確、嚴謹的定義：“我們把不在任何一個平面上的兩條直線叫做異面直線?！苯涍^了學生自己的直觀感知，歸納概括的基礎上，再讓學生找出教室或長方體中的異面直線，進一步深化學生對概念的理解。最后以平面作襯托，引導學生如何畫出異面直線的圖形。學生經過以上過程對異面直線的概念有了明確的認識，同時也經歷了概念發生發展過程的體驗，更有利于學生對概念的把握。這一點在新課標教材改革后有明顯的體現。

二、在挖掘新概念的內涵與外延的基礎上理解概念

一個新概念的引入，無疑是對已有概念的繼承、發展和完善。有些概念由于其內涵豐富、外延廣泛等原因，很難一步到位，需要分成若干個層次，逐步加深提高。如三角函數的定義，經歷了以下三個循序漸進、不斷深化的過程：（1）用直角三角形邊長的比刻畫的銳角三角函數的定義；（2）用點的坐標表示銳角三角函數的定義；（3）任意角的三角函數的定義，等等。可見，三角函數的定義在三角函數教學中可謂重中之重，是整個“三角”部分的奠基石，它貫穿于與“三角”有關的各部分內容，并起著關鍵作用。所以重視概念教學，挖掘概念的內涵與外延，對于學生理解概念顯得更有必要。常言道：磨刀不誤砍柴工。事實上，也正是如此，對概念的內涵與外延的把握，不但不會耽誤例題的講解，反而會相得益彰。

三、類比鄰近概念，引入新概念

任何數學概念必定有與之相關的鄰近概念，因此教學中要以學生已掌握了的知識為基礎，從學生的鄰近概念出發，引導學生探求新舊概念之間的區別和聯系。這樣有助于學生掌握概念之間的相互聯系，加強學生對數學理論整體性與嚴密性的把握。

例如，曲線的方程和方程的曲線的概念引入。首先請學生回答一、三象限的角平分線方程是什么？學生都會說：是x-y=0。接著再問：為什么是x-y=0呢？學生便會積極思考，再啟發學生注意：角平分線是直線，那么請學生回顧，直線的方程和方程的直線又是如何定義的呢？學生會回答：①直線上的點的坐標都是方程的解；②以方程的解為坐標的點都在直線上。繼而讓學生觀察圖像為曲線的拋物線y=x和正弦函數y=sinx的圖像，辨析它們是否也滿足這一點。通過直觀對比，觀察，啟發學生概括曲線和方程相互表示的條件。最后教師引導學生用類比直線的方程和方程的直線的方法給這類數與形和諧統一的曲線和方程下個定義。

當然，對于數學概念的教學，乃至所有的課堂教學，教師始終應更注重的是引導學生自主探索，發現、總結、歸納，從而形成概念。