淺析數學開放性問題

董軍

數學開放性問題指條件和結論不完備或不確定、解題策略多樣化的題目，它一般需要學生通過觀察、試驗、估計、猜測、類比和歸納等才能解決，對學生具有挑戰性和探究性.國際數學教育委員會指出：“……也許在數學課堂更多地進行沒有固定答案的研討的趨勢，將會使更多的學生首次體驗到科學女皇賦予該學科的美感.”無疑，把數學開放性問題引入教學中，是提高課堂教學質量的重要而有效的途徑，也是全面培養和提高學生的數學素養的重要環節.本文就初中數學中的幾類開放性問題進行歸類和分析.

一、探索性問題

這類問題有別于其他常規問題，從解題過程來看，較少現成的法則和套路，較多分析、探索與創新.

例1：①若有兩張長方形的桌子，把它們拼成一張長方形桌子，有幾種拼法？（兩種，如圖1、2）

②一張桌子可坐6個人，若按圖2方式擺放，2張桌子可坐？搖 ？搖？搖人.③按圖2方式繼續擺放桌子，完成下表：

先讓學生把表格中的前4項填好，之后再討論n張桌子可坐幾人？

學生從不同的角度思考，得到不同的策略：①一張桌子可坐6人，每增加一張桌子增加4人，幾張桌子增加4（n-1）人，因此n張桌子可坐[6+4（n-1）]人，即（4n+2）人；②桌子無論增加幾張，左右兩側始終只能坐2人，而每張桌子的上下兩側都可坐4人，故有（4n+2）人；③每張桌子可坐6人，那么n張桌子按理可坐6n人，但要減去每兩張桌子重合的2人.列式得6n-2（n-1），等于（4n+2）人；④一張桌子的一半可坐（2+1）人，n張桌子的一半可坐（2n+1）人，因此，n張桌子可坐2（2n+1）人，即（4n+2）人.這一系列問題的設計給學生的不同見解留下了足夠的空間，學生可以在自己原有的知識結構中進行同化，多角度、全方位地尋找解題策略.

評析：這是“多結論”的開放題，它不限于結論，而是讓學生觀察圖形，分析條件有關的已知條件探求諸多因素間的關系，進而發現結論，增強了思維的發散性，對培養思維的靈活性、廣泛性有獨到之處.

二、存在性開放問題

這類問題是探索題設條件下的某個數學對象（數值、點、其他圖形）是否存在，一般按以下思路進行：假設存在—演繹推理—得出結論，即肯定存在或否定存在.

評析：本題著重考察根與系數的關系，同時要利用原方程根的判別式得出矛盾.從這一點看，這類問題培養了學生數學思維的嚴密性.

三、閱讀理解類問題

這種題型對考生的能力提出了更高的要求：會閱讀，能理解，能找出錯誤，在理解的基礎上進行分析和歸納總結，并解決實際問題.

∴△ABC是直角三角形.

解析：（1）閱讀過程中，可發現③出現錯誤；

所以，本題的正確結論是△ABC是一直角三角形或等腰三角形.

評析：本題考查了學生閱讀理解過程中邏輯推理的嚴密性，較之讓學生直接判斷三角形的形狀降低難度，但培養了學生思維的批判性，克服了思維的盲從性.

四、分類討論問題

這類問題常需要根據對象的性質差異，分別以不同情況予以考查.而分類討論這種解題策略，也具有較強的邏輯性及綜合性.

依據a的取值，分類討論如下：

1.當-4

4.當a≥4或x≤-4時，原不等式所對應的方程的兩根為：

評析：因本題是含參數a的題目，a的取值直接影響不等式的取值范圍，因此必須根據參數a的不同取值進行分類討論，從而提高了思維的全面性和準確性.