從“長(zhǎng)方體體積”看“變教為學(xué)”中的學(xué)習(xí)活動(dòng)

于桓　郜舒竹

在“變教為學(xué)”的備課中，教師應(yīng)抓準(zhǔn)一節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)，并圍繞“學(xué)什么”“怎么學(xué)”兩個(gè)問(wèn)題展開(kāi)備課。在備課中尋找知識(shí)的源頭、分析知識(shí)的屬性，并設(shè)計(jì)出一系列與之對(duì)應(yīng)的學(xué)習(xí)活動(dòng)。

一、對(duì)長(zhǎng)方體體積的分析

以人民教育出版社出版的《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)（五年級(jí)下冊(cè)）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“教科書(shū)”）為例，長(zhǎng)方體體積學(xué)習(xí)是學(xué)生第一次接觸立體幾何圖形和體積概念，這是學(xué)生立體幾何學(xué)習(xí)的起始。（見(jiàn)表1）人們常說(shuō)：“好的開(kāi)始是成功的一半?！币虼?，長(zhǎng)方體體積的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生今后的發(fā)展具有重要的教育教學(xué)意義。起始時(shí)，學(xué)生學(xué)習(xí)立體圖形的好壞程度，決定其今后對(duì)立體圖形學(xué)習(xí)的興趣與動(dòng)機(jī)。小學(xué)長(zhǎng)方體體積認(rèn)知程度也將影響著學(xué)生初中乃至高中空間幾何體的學(xué)習(xí)。所以，長(zhǎng)方體體積學(xué)習(xí)要求教師在備課中從歷史視角、文化視角深入挖掘，發(fā)現(xiàn)知識(shí)的“本質(zhì)性”“關(guān)聯(lián)性”“文化性”，讓學(xué)生知其然并知其所以然。

從歷史的視角看，長(zhǎng)方體體積公式早在我國(guó)著名的《九章算術(shù)》第五章“商功章”中有所記載：“方自乘之，以高乘之，即積尺?！盵2]意思是用邊長(zhǎng)和邊長(zhǎng)相乘再乘以高，就是體積的大小了。由此可見(jiàn)，體積公式很早就被古人發(fā)現(xiàn)并使用它計(jì)算了。除此之外，《九章算術(shù)》中還給出了其他幾何體體積的計(jì)算公式。比如：球體積。另外，數(shù)學(xué)課程不僅僅是程序化、模式化反復(fù)練習(xí)直至熟練的計(jì)算和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评?，?shù)學(xué)課程還有它的文化性，這里的文化性是與工具性相對(duì)的。強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)概念背后的故事，概念背后是否與人類(lèi)思維方式、人的情感有聯(lián)系。比如：體積是什么意思？體積中的“積”是否和乘積中的“積”一樣？“體積”在古代怎么說(shuō)？《九章算術(shù)》第五章講述幾何體的體積，為什么叫商功二字？體積的下位概念，長(zhǎng)、寬、高是什么意思？為什么叫長(zhǎng)、寬，而不是長(zhǎng)、短？這些小問(wèn)題，都值得教師在備課中思考。

從文化的視角看，乘積中“積”本意是“垛”，[3]而“垛”在《現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》中解釋為整齊地堆，我們常說(shuō)的垛子的意思就是整齊地堆成堆?！墩f(shuō)文解字》中對(duì)“積”的解釋為：“積，聚也?！蹦敲矗e有整齊地由少到多變化的意思。因此長(zhǎng)方體體積可以被看作是由一個(gè)個(gè)長(zhǎng)方形從下至上整齊地堆積而成的，所以命名為體積?！绑w積”一詞在商功章羨除術(shù)劉徽注：“雖背正異形，與常所謂鱉臑參不相似，實(shí)則同也。”“故方錐與陽(yáng)馬同實(shí)?！?[4]由此可以看出，體積在古代的叫法是“實(shí)”?！皩?shí)”作為古算用語(yǔ)有多義。實(shí)，與“虛”相對(duì)之義，它表示內(nèi)部完全填滿(mǎn)而沒(méi)有空隙的實(shí)體。由此，我們可以推斷出“實(shí)”表示的是空間區(qū)域，僅用于三維空間。如果教師在讓學(xué)生理解概念時(shí)，理解它背后的文化，相信對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)會(huì)有很大益處。

聽(tīng)課觀察中發(fā)現(xiàn)，教師問(wèn)：“同學(xué)們，長(zhǎng)方形較長(zhǎng)的一邊叫作長(zhǎng)，較短的一邊叫什么呢？”學(xué)生齊聲回答：“短。”長(zhǎng)方形中，長(zhǎng)、寬這兩個(gè)概念，表面上看沒(méi)有什么聯(lián)系，實(shí)質(zhì)上蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)文化?！伴L(zhǎng)”在《九章算術(shù)》中被解釋為“廣”，也就是人們視野范圍的廣度，就是長(zhǎng)。而現(xiàn)在所說(shuō)的“寬”在《九章算術(shù)》中被解釋為“從”，“從”字在古代又同橫縱的“縱”，縱的意思指的是豎、直，南北的方向，與“橫”相反。由此可見(jiàn)“寬”字的來(lái)龍去脈了。如果教師能讓學(xué)生知道“寬”字背后的文化，相信學(xué)生就不會(huì)認(rèn)為長(zhǎng)方形較短的一邊叫作“短”了，否則的話，很難說(shuō)服學(xué)生。比如：《九章算術(shù)》中第五章講述幾何體的體積，書(shū)中以“商功”命名此章。如果光看字面意思，很難理解與體積有什么聯(lián)系。李籍在《九章算術(shù)音義》中寫(xiě)道：“商，度也。以度其功庸，故曰商功?！惫?，通“工”，指工程量或人工數(shù)。大致意思是說(shuō)，商是度量的意思，度量工程量的多少即關(guān)于各種工程中的體積計(jì)算。這樣就溝通解釋了“商功”與“體積”之間的聯(lián)系。應(yīng)該相信，雖然概念的命名是人規(guī)定的，但是它不是盲目的，一定是和當(dāng)時(shí)人的思維方式、人的情感、社會(huì)生活、大自然有所聯(lián)系而命名的。作為教師，我們應(yīng)當(dāng)找到這樣的聯(lián)系并能夠解釋?zhuān)瑴贤ㄗ置娼忉屌c背后文化的聯(lián)系。

二、對(duì)其他教材的分析

除了從歷史、文化的視角分析長(zhǎng)方體體積，教師還要關(guān)注教科書(shū)和課程標(biāo)準(zhǔn)。在我國(guó)的教科書(shū)中對(duì)體積的定義為物體所占空間的大小。美國(guó)加州的教材中對(duì)于長(zhǎng)方體體積的學(xué)習(xí)，先有對(duì)長(zhǎng)方體的認(rèn)識(shí)，然后指出長(zhǎng)方體的上部、前部、側(cè)面。再利用三視圖，從不同角度看長(zhǎng)方體，然后給出定義。美國(guó)加州五年級(jí)教科書(shū)中定義為體積是三維空間中所占空間的量，長(zhǎng)方體體積被正方體單位（cubic units）測(cè)量，長(zhǎng)方體體積的學(xué)習(xí)與維數(shù)建立聯(lián)系。[5]我國(guó)現(xiàn)行的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“課標(biāo)（2011年版）”）中提出，通過(guò)觀察、操作，認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐。結(jié)合具體情境，探索并掌握長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐的體積和表面積的計(jì)算方法。[6]美國(guó)加州共同核心標(biāo)準(zhǔn)中指出，學(xué)生理解體積要放在三維空間中，理解體積被一個(gè)接一個(gè)的相同大小正方體的單位（standard units）填滿(mǎn)，既沒(méi)有空隙也沒(méi)有重疊，在這樣的情況下，小正方體單位的數(shù)量就是體積的大小。學(xué)生要理解長(zhǎng)方體的體積被一個(gè)個(gè)小正方體測(cè)量，這也就是當(dāng)長(zhǎng)方體被填滿(mǎn)后的小正方體的個(gè)數(shù)就是長(zhǎng)方體的體積。在探索的過(guò)程中，分解三維圖形，把長(zhǎng)方體看成由一層一層的小正方體組成的圖形。[7]

《美國(guó)學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)》（NCTM）（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“標(biāo)準(zhǔn)”）中指出：“幫助并加強(qiáng)學(xué)生在測(cè)量二維和三維圖形時(shí)發(fā)展幾何直觀?！盵8]由此可見(jiàn)，在實(shí)際教學(xué)中教師應(yīng)在觀察、操作的基礎(chǔ)上以實(shí)驗(yàn)幾何為主線探索長(zhǎng)方體體積公式，建立學(xué)生的三維空間觀念，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀。

長(zhǎng)方體體積的學(xué)習(xí)實(shí)際上是建立學(xué)生三維空間觀念和發(fā)展幾何直觀的起始，在今后初中學(xué)段，學(xué)生還會(huì)接觸到更多的幾何體，比如：球、六棱柱、四棱錐等。還會(huì)從不同角度觀察其他不規(guī)則幾何體，繪制三視圖。初中主要是對(duì)柱、錐、球進(jìn)行初步認(rèn)識(shí)。高中學(xué)段，要對(duì)柱、錐、臺(tái)、球、簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征有所把握，學(xué)習(xí)中心投影和平行投影，并在平行投影下從不同角度觀察空間幾何體，利用斜二測(cè)法繪制空間幾何體的直觀圖，計(jì)算空間幾何體的表面積和體積及簡(jiǎn)單幾何體的體積。由此看出，體積的學(xué)習(xí)是層層遞進(jìn)、一脈相承的，從簡(jiǎn)單的長(zhǎng)方體體積的計(jì)算，再到柱體、錐體、臺(tái)體、球體及組合體的計(jì)算，學(xué)生的空間幾何觀念，也隨著年齡的增加不斷增強(qiáng)。

三、教學(xué)中的活動(dòng)設(shè)計(jì)

根據(jù)瑞士心理學(xué)家讓·皮亞杰提出的“學(xué)生有邏輯的理解概念要在學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)計(jì)算之前”[9]的觀點(diǎn)，也就是說(shuō)學(xué)生概念理解比計(jì)算重要得多，所以本節(jié)課的總目標(biāo)制定為明晰體積概念，探索體積公式。體積屬于規(guī)律性知識(shí)，也就是不以人的意志為轉(zhuǎn)移的客觀存在，對(duì)學(xué)習(xí)者來(lái)說(shuō)是確定的，這部分知識(shí)具有“不可變”的特點(diǎn)。所以認(rèn)識(shí)這部分知識(shí)的基本方法是發(fā)現(xiàn)（discover），而發(fā)現(xiàn)知識(shí)的重點(diǎn)要放在“觀察”上。學(xué)生的思維方式應(yīng)該是觀察對(duì)象形成動(dòng)機(jī)、產(chǎn)生想法、交流、假設(shè)、實(shí)驗(yàn)與解釋、判斷、關(guān)聯(lián)與應(yīng)用的過(guò)程。根據(jù)這樣的基本原則，那么學(xué)生就要經(jīng)歷以下學(xué)習(xí)活動(dòng)。

第一是建立觀察對(duì)象、激發(fā)學(xué)生的動(dòng)機(jī)。動(dòng)機(jī)與興趣是學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)是非常關(guān)鍵的一步。因此，在教學(xué)一開(kāi)始，教師可以給學(xué)生講一個(gè)故事。

一個(gè)非常有名的樂(lè)隊(duì)叫作幾何家族，他們計(jì)劃在學(xué)校開(kāi)一場(chǎng)音樂(lè)會(huì)，現(xiàn)在需要用卡車(chē)運(yùn)送搭建音樂(lè)會(huì)舞臺(tái)的器材，需要將一個(gè)個(gè)正方體的箱子裝進(jìn)長(zhǎng)方體的卡車(chē)中。（如圖1）

這個(gè)過(guò)程處于課程剛剛開(kāi)始階段，學(xué)生要做的是觀察，觀察教師演示的過(guò)程。教師可以用一個(gè)大長(zhǎng)方體魚(yú)缸模擬卡車(chē)，然后依次放入一個(gè)個(gè)小正方體，讓大長(zhǎng)方體被一個(gè)個(gè)小正方體填滿(mǎn)，復(fù)現(xiàn)故事場(chǎng)景。這個(gè)過(guò)程從知識(shí)習(xí)得的角度和歷史的角度來(lái)說(shuō)，是為了讓學(xué)生體會(huì)到體積在古代被稱(chēng)為“實(shí)”，表示內(nèi)部完全填滿(mǎn)而沒(méi)有空隙的實(shí)體。讓學(xué)生利用小正方體模具是根據(jù)著名瑞士心理學(xué)家讓·皮亞杰提出的認(rèn)知發(fā)展理論（Theory of Cognitive Development）。他將兒童的認(rèn)知發(fā)展過(guò)程分為了四個(gè)階段，分別是感知運(yùn)算階段、前運(yùn)算階段、具體運(yùn)算階段、形式運(yùn)算階段。[10]五年級(jí)的學(xué)生認(rèn)識(shí)體積概念處在具體運(yùn)算階段（Concrete Operational Stage），學(xué)生的思維階段是從具體的、形象的表象思維逐漸過(guò)渡到抽象思維。這一時(shí)期的順利過(guò)渡，會(huì)對(duì)兒童學(xué)習(xí)“體積”、對(duì)抽象概念的理解起到重要作用。在這一時(shí)期，兒童在心理發(fā)展和思維特征上具有邏輯性，但是在具體活動(dòng)中仍然離不開(kāi)具體事物的支持。這一原則將成為兒童思維水平的判斷依據(jù)，也是教師教學(xué)設(shè)計(jì)的重要理論依據(jù)，在具體的教學(xué)實(shí)踐中，教師要以具體事物作為兒童理解體積并推導(dǎo)體積公式的依托。

第二是產(chǎn)生想法。任務(wù)一是通過(guò)剛才教師的演示，你觀察到了什么？你是如何看待長(zhǎng)方體的形成的？長(zhǎng)方體體積如何計(jì)算？四個(gè)人一小組，可采取畫(huà)圖、用文字寫(xiě)下來(lái)等多種形式和同伴相互討論。經(jīng)思維碰撞后對(duì)于體積公式的答案是唯一的，但是表達(dá)形式可能是多元的，所以，教師應(yīng)允許多元的表達(dá)，多樣的形式。在用不同的活動(dòng)形式進(jìn)行充分討論之后，學(xué)生要以小組為單位給全班匯報(bào)展示，并說(shuō)說(shuō)本組每一位同學(xué)的想法。這種活動(dòng)形式具有較強(qiáng)的靈活性。

第三是實(shí)驗(yàn)解釋。任務(wù)二是利用小正方體模具解釋如何理解長(zhǎng)方體體積的形成，利用小正方體模具解釋體積公式是如何得到的。學(xué)生可能會(huì)演示并解釋小正方體填滿(mǎn)長(zhǎng)方體的過(guò)程。（如圖2）先從一個(gè)小正方體拼成一行，從一行再到一個(gè)面。三個(gè)同樣的平面疊加，填滿(mǎn)整個(gè)長(zhǎng)方體，最終得到一個(gè)完整的長(zhǎng)方體，小正方體的個(gè)數(shù)也就是長(zhǎng)方體體積。

之所以讓學(xué)生解釋長(zhǎng)方體體積的形成過(guò)程，是根據(jù)荷蘭數(shù)學(xué)教師范希爾夫婦提出的幾何思維水平理論。其中包括學(xué)生幾何思維發(fā)展的五個(gè)水平和與之對(duì)應(yīng)的學(xué)生幾何學(xué)習(xí)的五個(gè)階段。[11]學(xué)生幾何思維發(fā)展的五個(gè)水平分別是視覺(jué)化（visualization）、分析（analysis）、非形式化演繹（inference）、形式化演繹（deduction）、嚴(yán)密性（rigor）；與之對(duì)應(yīng)的學(xué)生幾何學(xué)習(xí)的五個(gè)階段分別是熟悉（familiarization）、指導(dǎo)定向（guided orientation）、語(yǔ)言表達(dá)（verbalization）、自由定向（free orientation）、整合（integration）。五年級(jí)學(xué)生處在幾何思維的分析期，并由分析期逐漸轉(zhuǎn)化為非形式化演繹期。所以，在長(zhǎng)方體體積的概念學(xué)習(xí)上，要讓學(xué)生經(jīng)歷體積概念的分析和理解過(guò)程，并對(duì)體積形成過(guò)程進(jìn)行簡(jiǎn)單的非形式化演繹，這是教師教學(xué)設(shè)計(jì)的重要依據(jù)。學(xué)生對(duì)概念的學(xué)習(xí)不是簡(jiǎn)單的“聽(tīng)懂、記憶、背誦”過(guò)程，深入理解、消化概念，明晰概念背后的本質(zhì)，對(duì)學(xué)生今后學(xué)習(xí)幾何知識(shí)具有重要意義。在公式的探索方面，讓學(xué)生經(jīng)歷非形式化演繹的過(guò)程，明確長(zhǎng)方體體積公式的產(chǎn)生。在這個(gè)環(huán)節(jié)中，活動(dòng)形式為先小組討論再全班匯報(bào)。在匯報(bào)的過(guò)程中，教師要給學(xué)生立規(guī)矩。比如：“匯報(bào)的同學(xué)要面向大家，說(shuō)話要保證班里的每一位同學(xué)都能聽(tīng)清楚?！薄爱?dāng)你想指出別人不足的時(shí)候，請(qǐng)先說(shuō)出他的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)。”教師引導(dǎo)學(xué)生，先說(shuō)他人優(yōu)點(diǎn)再指出他人的不足之處。另外，小組匯報(bào)是提高學(xué)生當(dāng)眾講話能力的好機(jī)會(huì)，這種活動(dòng)方式有助于培養(yǎng)學(xué)生的自信心和演講能力。

第四是判斷假設(shè)。根據(jù)上一個(gè)任務(wù)全班同學(xué)完成的情況，判斷大家說(shuō)的長(zhǎng)方體體積的對(duì)錯(cuò)，是否同意匯報(bào)同學(xué)的觀點(diǎn)，是否有其他的異議。

第五是關(guān)聯(lián)應(yīng)用。結(jié)合相應(yīng)的練習(xí)題，學(xué)生獨(dú)立思考并計(jì)算長(zhǎng)方體體積。

比如：一個(gè)汽車(chē)上的油箱，長(zhǎng)8分米，寬3.5分米，高5分米，這個(gè)油箱可以裝多少升汽油？（如圖3）

第六是拓展。任務(wù)三是有人說(shuō)：“周長(zhǎng)與面積之間有某種關(guān)系，表面積和體積也有某種聯(lián)系，你同意嗎？”“解釋正方體體積的形成過(guò)程，寫(xiě)出正方體體積公式。”這個(gè)任務(wù)布置的目的是讓學(xué)生試圖探索長(zhǎng)方體體積和長(zhǎng)方形面積之間的關(guān)系。從已有周長(zhǎng)和面積入手，周長(zhǎng)反映物體外部而面積反映物體內(nèi)部，而表面積和體積恰巧也有“外”與“里”的關(guān)系。這樣就把周長(zhǎng)與面積、表面積與體積聯(lián)系在一起了，在英文文獻(xiàn)中也有記載表明，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中要理解四個(gè)概念之間的聯(lián)系。[12]

以上教學(xué)活動(dòng)僅供教師參考，教師可根據(jù)本班學(xué)生情況而定。依據(jù)以上分析，本節(jié)課關(guān)于學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)任務(wù)、學(xué)習(xí)方式和學(xué)習(xí)活動(dòng)的設(shè)計(jì)可以用表格（表格略）的形式呈現(xiàn)。

總之，要想在變教為學(xué)的課堂中“突出本質(zhì)、滲透文化、實(shí)現(xiàn)關(guān)聯(lián)”，就要挖掘知識(shí)背后的故事，要想“讓每一個(gè)學(xué)生受到關(guān)注，讓每一個(gè)學(xué)生都有機(jī)會(huì)，讓每一個(gè)學(xué)生都有活動(dòng)”，就要設(shè)計(jì)出以“立德樹(shù)人”為終極目標(biāo)，并能突出數(shù)學(xué)本質(zhì)的有效的活動(dòng)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 盧江，楊剛.義務(wù)教育課程實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)[M].北京：人民教育出版社，2004.

[2] 張蒼，等編.九章算術(shù)[M].曾海龍，譯.江蘇：江蘇人民出版社，2011.

[3] 郜舒竹.問(wèn)題解決與教學(xué)實(shí)踐[M].北京：首都師范大學(xué)出版社，2012（06）：168.

[4] 李繼閔.九章算術(shù)導(dǎo)讀與譯注[M].西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，1998.

[5] California Mathematics Grade 5[M].The United States.McGraw-Hill Companies，2009：396.

[6] 中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[7] California State Board of Education. California Common Core State Standards Mathematics[M]. California Department of Education，2010.

[8] 全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)著.美國(guó)學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：人民教育出版社，2004.

[9] Piaget，J，Inhelder，B.&Szeminska，A.[Translated from the French by E.A.Lunzer]，.The Child’s Conception of Geometry[M].New York： Basic Books，Inc，Publishers.1970.

[10] 莫雷.教育心理學(xué)[M].北京：教育科學(xué)出版社，2007.

[11] 鮑建生.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過(guò)程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[12]Joan D.Martin. A Study of Fourth Grade Students’ Understanding of Perimeter， Area， Surface Area， and Volume When Taught Concurrently[J].Mathematics Education Tufts University，2009（05）：3354724.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048）