傅里葉級數(shù)與傅里葉變換相互關(guān)系在兩個公式推導中的應(yīng)用

段凱宇 殷仕淑 付明 王松濤

摘 要： 傅里葉級數(shù)和傅里葉變換是傅里葉分析方法中兩個最重要的基本概念，是其他傅里葉分析方法的理論基礎(chǔ).本文將傅里葉級數(shù)與傅里葉變換之間的相互關(guān)系應(yīng)用于離散時間傅里葉逆變換和離散傅里葉級數(shù)的公式推導，使推導過程更簡單、清晰，有助于理解和掌握傅里葉分析方法的相關(guān)內(nèi)容.

關(guān)鍵詞： 傅里葉級數(shù) 傅里葉變換 離散時間傅里葉逆變換 離散傅里葉級數(shù) 離散傅里葉變換

引言

傅里葉分析主要包括傅里葉級數(shù)（FS）、傅里葉變換（FT）、離散時間傅里葉變換（DTFT）、離散傅里葉級數(shù)（DFS）和離散傅里葉變換（DFT），其中FS和FT是基礎(chǔ).文獻[1]從頻域采樣的角度對IDTFT和DFS的公式進行了推導.本文利用指數(shù)FS系數(shù)與FT的關(guān)系對IDTFT和DFS的公式進行推導，有助于更好地理解傅里葉分析方法之間的聯(lián)系.

1.指數(shù)FS系數(shù)與FT的關(guān)系

設(shè)連續(xù)周期函數(shù)■（t）的周期為T，x（t）為■（t）的主值，■（t）的指數(shù)FS系數(shù)為X■，x（t）的FT為X（Ω），二者的關(guān)系為：

X■=■X（Ω）■

即周期信號的指數(shù)FS系數(shù)是其主值FT以Ω■=2π/T為間隔的采樣值的1/T倍.

2.IDTFT公式證明

2.1文獻[1]證明

設(shè)序列x（n）的長度為N，其DTFT為X（e■），文獻[1]根據(jù)指數(shù)FS定義證明IDTFT公式：

FS[X（e■）]=■？蘩■■[■[x（m）e■]e■dω

=■■[x（m）·？蘩■■e■dω]

由指數(shù)函數(shù)的正交性，當m+n=0時上式不為0，即：

x（-n）=■？蘩■■X（e■）e■dω

x（n）=■？蘩■■X（e■）e■dω

2.2本文證明

X（e■）周期為2π，將X（e■）的公式做如下變形：

X（e■）=■x（n）e■=■x（-n）e■■ （1）

由式（1）可以看出x（-n）是X（e■）的指數(shù)FS系數(shù)，由指數(shù)FS系數(shù)與FT之間的關(guān)系：

x（-n）=■？蘩■■X（e■）e■dω■=■？蘩■■X（e■）e■dω

將上式中的n用-n代替，得證.文獻[1]和本文都是通過證明X（e■）的指數(shù)FS系數(shù)是x（-n），進而得到IDTFT公式，但本文的方法更簡潔明了.

3.DFS公式證明

3.1文獻[1]證明

設(shè)周期序列■（n）的周期為N，其主值序……