解決高中數列問題的幾種有效方法

鄒艷輝

系統地對高中數學數列問題進行研究，用更高的觀點分析研究數列，有助于提高教師理解教材和駕馭教材的能力，同時也為中學教師教育科研提供一些研究方向，提升中學教師的數學修養和素質，更好地為基礎教育服務。

要想靈活應對數列的拔高問題，解決問題的思想方法很重要。針對數列是一種特殊的函數，我們要把研究函數的思想方法遷移到數列中。

從一次函數角度研究等差數列的通項公式，挖掘公差與一次項系數的關系；從二次函數特征觀察等差數列的前n項和公式，根據一個數列的前n項和的表達式，判斷該數列是否為等差數列；從指數型函數形式對比等比數列通項公式，研究等比數列的遞增和遞減規律，并強調公比不能是0。在研究問題時，在考慮一般情況的同時，也不能忽略特殊情況。尤其是常數列和數列通項公式是分段函數這兩種形式。另外，根據函數單調性求最值，放縮法證明不等式，這些方法也經常被應用到解決數列問題中。下面我就求數列通項公式及前n項和兩個方面談幾種方法。

一、求數列通項公式

求數列通項公式，常見類型有三種：

第一類問題是利用公式求通項。

（一）根據等差數列定義或等差中項公式，判斷該數列是等差數列，直接代入等差數列通項公式求通項。

（二）根據等比數列定義或利用等比中項公式，判斷該數列是等比數列，直接代入等比數列通項公式求通項。

第二類是根據數列的遞推關系式求通項。

二、求數列前n項和

在數列求和中，常用的方法有以下六種：

（一）公式法。如果數列是等差等比，則直接代入公式即可。

以上這些是在解決數列問題時，具體在求一些數列的通項公式及求它們的前n項和中，經常用到的方法。在解決數列問題時，只有掌握這些方法，才能做到融會貫通，游刃有余。

三、總結

近幾年，高考數學中的數列問題一直作為一個考試的熱點，雖然很多數學老師在數列解題上有一些獨到的見解，但大多數局限于具體題目的講解和分析，系統性不強，分析點也不全面。本文首先介紹了高中數列相關的基礎知識，在以高考為背景的前提下，分析了數列在高中數學中的重要性，系統闡述了從小學到高中數學中數列循序漸進的過程。在案例部分，對高中數學中的數列問題進行了全面的概括，將常見的數列問題進行了一一分析。主要涉及：（一）求數列通項公式常見的三種類型：第一類問題是利用公式求通項，第二類是根據數列的遞推關系式求通項，第三類是根據混合遞推關系式求通項。（二）求數列前n項和，常用的方法有以下六種：一是公式法，二是倒序相加法，三是錯位相減法，四是裂項相消法，五是分組轉化求和法，六是并項求和法。并針對以上問題進行歸類總結，給出針對高考數列解題的策略和建議。將近幾年來高等數學的思想、方法和觀念在高中數學中逐步滲透，并積極探討，進一步說明了高中數學中數列學習和應用的必要性。本文對高中數學中的數列問題的分析是筆者在教學期間實踐研究的初步成果，希望廣大同仁對本文提出寶貴意見，將有助于進一步促進該領域的教學研究，筆者在今后的工作中也會不斷實踐，繼續進行不懈研究。

參考文獻：

[1]劉揚.高中數學“數列與差分”專題教學設計研究[D].濟南：山東師范大學，2012.

[2]余熙國.關于三角形數和正方形數的一個結論.[J].數學通報.2012，51（4）：55.