從三個角度考察柯西不等式

咸偉志(重慶師范大學數學學院，重慶401331)

從三個角度考察柯西不等式

咸偉志
(重慶師范大學數學學院，重慶401331)

柯西不等式是高等數學中的重要不等式，它在解析幾何、數學分析與高等代數這3門數學專業主干基礎課程中均有滲透.從這3門課程的角度，分別給出柯西不等式的不同形式和證明過程，并簡要地闡述它們的聯系，最后做出小結.

柯西不等式;數量積;定積分;歐氏空間;內積

解析幾何、數學分析和高等代數是大學數學類專業的3門主干基礎課程，即通常所說的“三高”課程.雖然“三高”課程的理論不同，處理問題的思想方法也不同，但它們也能相互聯系，相互滲透，從不同的角度詮釋同一件事物，如點到平面的距離公式［1］.事實上，著名的柯西不等式是一個很好的例證，盡管它在“三高”課程中的表現形式不同，證明方法不同，但本質上具有很強的聯系和一致性，下面將分別論述.對于柯西不等式的3種形式，其證明過程所涉及的內容均作為預備知識提出，不再贅言.

1　解析幾何的角度

1.1相關預備知識

定義1［2］兩個向量和的模和他們夾角的余弦的乘積叫做向量和的數量積，記.特別地

定理1［2］(數量積的坐標表示公式)在直角坐標系O－xyz中，向

1.2柯西不等式在解析幾何中的形式及證明

注1:令a3=b3=0，則得到形式Ⅰ的二維形式.

形式Ⅰ的證明從三維空間向量的角度使得對柯西不等式有了較為直觀的理解.事實上，受形式Ⅰ的啟發，利用數學歸納法，可得到解析幾何角度下不等式的推廣形式:

證明①當n=1，2，3時，結論已成立.

②假設當n=k(k≥3)時，結論成立.

而

綜上可得，當n=k+1時，結論亦成立.

2　數學分析的角度

2.1相關預備知識

定理2［3］(定積分的相關性質)設f(x)和g(x)在［a，b］上可積，有

注2:對于二重積分和三重積分，單調性和線性性仍然成立.

定理3［3］若矩形D=［a，b;c，d］，二元函數

2.2柯西不等式在數學分析中的形式及證明

形式Ⅲ設f(x)和g(x)在閉區間［a，b］上可積，則

當且僅當f(x)=μg(x)(或g(x)=λf(x))時，等號成立.

當且僅當f(x)·g(y)=g(x)·f(y)，即f(x)=λg(x)(或g(x)=λf(x))時，等號成立.

3　高等代數的角度

3.1相關預備知識

定義2［4］設V是實數域R上的線性空間，在V上定義了一個二元實函數，稱為內積，記作(α，β)，如果它具有以下性質:對α，β，γ∈V，k∈R，有

①(α，β)=(β，α);

②(kα，β)=k(α，β);

③(α+β，γ)=(α，γ)+(β，γ);

④(α，α)≥0，當且僅當α=0時等號成立.

這樣的線性空間V稱為歐幾里得空間，簡稱歐氏空間.

定義3［4］非負實數稱為向量α的長度，記為|α|.

3.2柯西不等式在高等代數中的形式及證明

證明若α=0，結論顯然成立.若α≠0，作γ=tα+β，則由內積定義2的第④條，有(γ，γ)≥0，即(tα+β，tα+β)=(α，α)t2+2(α，β)t+(β，β)≥0.令f(t)=(α，α)t2+2(α，β)t+(β，β)，則f(t)是關于t且恒大于等于零的二次函數，所以Δ=(2(α，β))2－4(α，α)·(β，β)≤0，即(α，β)2≤(α，α)·(β，β)，兩邊開方，得|(α，β)|≤|α||β|.當α，β線性相關時，等號顯然成立;反過來，當等號成立時，有Δ=0，所以二次函數f(t)有兩個相同的根，即存在t使得f(t)=(γ，γ)=0，由第④條等式的成立條件可知，存在t使得γ=tα+β=0，即α，β線性相關.

綜上，|(α，β)|≤|α||β|，當且僅當α，β線性相關時，等號成立.

4　三個角度下的柯西不等式之間的關系

4.1高等代數中的形式具有高度的概括性

事實上，不同形式下的柯西不等式均統一于歐氏空間兩向量的內積運算之中.

在線性空間Rn中，對于向量α=(a1，a2，…，an)和β=(b1，b2，…，bn)可定義內積(α，β)=a1b1+a2b2+…+ anbn，則Rn就是一個歐氏空間.

注3:①不難發現，數量積是特殊的內積，故通常解析幾何教材中，又將數量積稱為內積.

②正是由于歐氏空間中柯西不等式的成立，才得以定義歐氏空間中兩向量的夾角＜α，β＞=arccos，這為三維幾何空間夾角的由來提供了理論基礎.

在閉區間［a，b］上所有可積函數所構成的線性空間中，函數f(x)和g(x)可定義內積(f(x)，g(x))，則該線性空間就構成了一個歐氏空間.

綜上，形式Ⅱ和形式Ⅲ可看做是形式Ⅳ的特殊形式.

4.2由解析幾何角度下的推廣形式證明數學分析中的形式

證明先引入引理A

同理

即

4.3用數學分析的知識證明解析幾何角度下的推廣形式

盡管形式Ⅱ是受形式Ⅰ的啟發，對n利用數學歸納法所得到的解析幾何角度下的推廣形式，但該形式也可利用數學分析中的相關知識進行證明.

定理4［5］(凸函數的判別法)設f(x)在區間I上二階可導，則f(x)在I上為凸函數的充要條件是f″(x)≥0.

定理5［5］(Jenson不等式)f(x)在I上為凸函數的充要條件是:對有如下不等式(1)成立:

下文將利用以上兩個定理4，定理5，證明形式Ⅱ.

證明考察函數f(x)=x2，f″(x)=2＞0，由定理4知，f(x)=x2是R上的凸函數.

5　結語

在“三高”課程中，解析幾何是借助坐標系用代數方法解決幾何問題的學科;數學分析主要研究的是函數，研究函數的性質、微分和積分等內容，它往往通過函數模型來解決問題;而高等代數所討論的是代數系統及其上的運算，如多項式環、線性空間等，它的特點是概念的高度抽象性和定理的高度概括性.一般而言，高等代數與解析幾何的關系顯得較為緊密，它們本質上是“數”與“形”的互動關系，高等代數中的理論可在解析幾何中尋找模型，解析幾何中的內容需依靠高等代數中的理論來支撐.

所舉的柯西不等式在三個角度下的形式和證明以及它們的相互聯系充分反映了數學思維的多樣性與一致性，正所謂“殊途同歸”.在“三高”課程的學習過程中，應經常反思三者的聯系滲透之處，找出類似于柯西不等式這樣的例子，并從三者不同的視角加以研究，以加深對例子本身以及“三高”課程的理解.

［1］咸偉志.從三個角度證明點到平面的距離公式［J］.重慶工商大學學報:自然科學版，2014，31(9):27-30

［2］呂林根.解析幾何［M］.4版.北京:高等教育出版社，2006

［3］北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組.高等代數［M］.3版.北京:高等教育出版社，2003

［4］歐陽光中.數學分析［M］.3版.北京:高等教育出版社，2007

［5］劉三陽.數學分析選講［M］.北京:科學出版社，2007

Make a Thorough Inquiry for Cauchy Inequality in Three Views

XIAN W ei-zhi
(School of Mathematical Sciences，Chongqing Normal University，Chongqing 401331，China)

Cauchy inequality is one of themost significant inequalities in highermathematics.The inequality seeps in analytic geometry，mathematical analysis and higher algebra which are three main courses for the college studentsmajored in mathematics.This paper proves different forms of Cauchy inequality from the perspective of the three courses and explores the relations among them.Finally the papermakes a brief summary.

Cauchy inequality;scalar product;definite integral;Euclidean space;inner product

O122.3

A

1672－058X(2015)09－0033－06

10.16055/j.issn.1672－058X.2015.0009.009

2014－12－07;

2015－01－16.

重慶市重點實驗室專項基金項目(CSTC2011KLORSE01).

咸偉志(1994-)，男，江蘇南京人，從事數學與應用數學研究.