正項級數比較判別法中“參照級數”的碎片化*

聞道君，陳義安(重慶工商大學數學與統計學院，重慶400067)

正項級數比較判別法中“參照級數”的碎片化*

聞道君，陳義安
(重慶工商大學數學與統計學院，重慶400067)

在MOOC模式下將無窮小量的階與無窮級數比較判別法的極限形式結合起來，通過無窮級數通項對應的等價(或同階)無窮小量、高階無窮小量和低階無窮小量來尋找適當的“參照級數”，解決了正項級數比較判別法的碎片化與知識系統性問題，并舉例說明該方法在判定無窮級數收斂性方面的的有效性.

正項級數;比較判別法;無窮小量;p－級數;收斂;MOOC;知識碎片化

最近，MOOC(Massive Open Online Course，大規模公開在線課程，中文又稱“慕課”)以一種引人矚目的方式成為世界高等教育領域的熱詞和流行語，活躍于各大紙質媒體大學的版面上，刮起了一輪席卷全球的線上教育熱潮.“MOOC”以世界一流大學最優質的教學資源為基礎，以現代最先進的信息技術為支撐，以微視頻、學習大數據、個性化學習等最新的教學理念為指導，以“短視頻(一般10 min左右)+交互式練習(interactive exercises)”為基本教學單元的知識點/知識體組織模式和學習模式.這就要求將知識的顆粒度做到比較小，便于“碎片化”學習，也有利于學生記憶與理解.這些“碎片化”的基本教學元素構成了一個動態可控的有機體，使得各種優質的學習材料在在線學習過程中被及時調動起來，學生對學習進度具有一定的主動性和控制權.同時，MOOC課程的學習者很可能是社會上的海量人群，不具有校內課堂教學秩序的節奏性、可控性和相對獨立性.課程的教學體系的改革和知識“碎片化”方式也必須面對這一開放性的學習對象，研究課堂教學知識的“缺失”到“價值回歸”，探尋將“專業知識”轉化為面向學生“教學知識”的方法，以及如何將知識“碎片化”，并防止“碎片化”導致的學術嚴謹性不足，確保課程知識系統化教學目標的完成就顯得舉足輕重.

另一方面，高等數學是高等院校的公共基礎課程，幾乎涉及高等院校的所有學科和專業，無窮級數是高等數學中的重要組成部分.關于正項級數的斂散性的判別方法主要有比較判別法、比值判別法和根式判別法，其中應用最廣泛的是比較判別法及其極限形式，這也是高等數學教學的重點和難點.運用正項級數比較判別法或其極限形式，最困難的是尋找一個適合的“參照級數”，并通過其已知的收斂性進一步判定原級數的收斂性［1－4］.由于比較判別法中包含了兩類失效的情形，即通項比收斂級數更大的和比發散級數更小的級數是無法判定其收斂性的，但是這并不意味著無窮級數的收斂性不能確定，很可能是因為選擇了不適當的級數進行比較，所以“參照級數”的選擇在無窮級數收斂性的判定中就顯得至關重要了.根據多年的教學經驗，通過引入等價無窮小量的方法尋找有效的“參照級數”，在一定程度上解決了比較判別法的碎片化與系統性問題.同時，當等價無窮小量的獲得變得比較困難時，可進一步借助高階無窮小量、低階無窮小量和p－級數、幾何級數對無窮級數的收斂性進行判定，極大地簡化了無窮級數的比較判別法極限形式的理解和應用.

1　預備知識

定義1設實數序列u1，u2，u3，…，un，…，稱u1+u2+u3+…+un+…為常數項無窮級數，簡稱級數，記為，其中稱un為通項或一般項.如果un≥0，稱為正項級數;級數的前n項和Sn=u1+u2+u3+…+un，稱為級數的部分和.

引理1［1，2］(收斂的必要條件)設無窮級數收斂，則limun=0.n→∞

引理2［1，2］(比較判別法)設為正項級數，且滿足un≤vn(n=1，2，..)，則

引理3［1－3］(比較判別法的極限形式)設為正項級數，且，則

2　教學難點及方法

3　應用舉例

解由于

［1］龔德恩，范培華.微積分［M］.北京:高等教育出版社，2008

［2］陳修素，陳義安，雷瀾，等.微積分(下冊)［M］.北京:高等教育出版社，2011

［3］陳文燈，袁一圃，俞元洪.高等數學復習指導［M］.北京:北京理工大學出版社，1992

［4］陳傳璋，金福臨，朱學炎，等.數學分析［M］.2版.北京:高等教育出版社，1995

［5］聞道君，龔黔芬.Simpson不等式的改進及其應用［J］.數學的實踐與認識，2010，40(21):159-162

［6］聞道君，陳義安，唐艷.高等院校經管類專業的數學教學方法研究［J］.重慶工商大學學報:自然科學版，2011，28(4): 413-416

［7］李紅婷.高師“數學教學論”課程建設的反思與重構［J］.西南師范大學學報:自然科學版，2010，35(6):196-200

［8］江蓉，王守中.矩陣的秩在線性代數中的應用及其教學方法的探討［J］.西南師范大學學報:自然科學版，2012，37(8): 175-180

［9］聞道君，唐艷，陳義安.支架式教學:一個重要極限的抽象方法究［J］.重慶工商大學學報:自然科學版，2014，31(10):78-80

Fragmentization of“Reference Series”of Comparing Discriminant Methods for a Positive Term Series

WEN Dao-jun，XIA Li，CHEN Yi-an
(College of Mathematics and Statistics，Chongqing Technology and Business University，Chongqing 400067，China)

This paper combines the order of infinitesimality with the limiting form of comparing discriminant methods for a positive term series under themodel of MOOC.A proper“reference series”is found by equivalent(or same order)infinitesimality with original series，or high-order or low-order infinitesimality respectively which general term corresponds to.The problem of fragmentization and knowledge systematicness of the comparing discriminantmethods for a positive term series is solved.Moreovr，the effectivity of this method is illustrated by some instances in discriminating the convergence of infinite series.

positive term series;comparing discriminant methods;infinitesimality;p-series;convergence; MOOC;knowledge fragmentization

0173.1;G420

A

1672－058X(2015)09－0071－05

10.16055/j.issn.1672－058X.2015.0009.018

2014－12－26;

2015－03－09.

重慶市高等學校教學改革研究項目(143059);重慶市教育科學規劃課題(2014－GX－097);重慶工商大學教育教學改革研究項目(130224).

聞道君(1975-)，男，四川內江人，碩士，副教授，從事不動點理論與經濟數學基礎課程的教學研究.