數形結合方法在函數性質教學中的應用

王會平

【摘 要】分析數形結合方法的含義，探討數形結合方法在函數性質教學中的應用，包括在函數單調性判斷、函數最值求法、方程個數求解、三角函數等教學中應用。

【關鍵詞】數形結合方法 ?函數性質 ?數學方法 ?應用

【中圖分類號】G ?【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2015）12B-0079-02

函數貫穿于整個單招數學學習階段，是數學教學中的一大難點，學生對函數中的抽象概念與定義難以把握與理解，造成數學課堂教學效率普遍低下。在這種教學情況下，數形結合方法應運而生。所謂數形結合方法，即在函數教學中，教師將函數性質及其抽象的概念用圖形的形式呈現給學生，便于學生理解與掌握。它是高中函數教學中一種不可缺少的數學思想教學方法，對教師的數學教學具有重要的指導意義，有助于提高學生的函數學習的能力，提高教師課堂教學效率。數形結合法可以應用到數學教學的多個領域，本文主要探索其在函數性質教學中的具體應用。

一、數形結合方法在函數單調性判斷中的應用

在單招數學教學中，函數是其中的一個教學難點。許多學生在這一階段學習過程中由于無法理解與掌握函數性質的相關知識，找不到數學學習的樂趣與成就感，久而久之就喪失了對數學學習的興趣與熱情。針對這一情況，教師要予以高度的重視，合理地將數形結合方法引入到數學課堂教學中，將函數的抽象概念以圖形的形式直觀地呈現出來，便于學生記憶與掌握。對此，本文以函數單調性的判斷為例，闡述“數”與“形”之間是如何相互轉化的。

在教學函數單調性的判斷一章節時，教師如果不借助圖形直接進行講解，大部分學生恐怕很難聽明白，一堂課下來學生除了解什么叫單調性外，恐怕對其他的內容一無所知，更別說如何判斷單調性。但如果教師將數形結合方法運用到其中，可能會收到意想不到的教學效果。

例如：指出函數f（x）=x2+4x+4的單調區間，并求出其在單調區間的單調性。教師在教學時，就可將這一函數進行簡單的變形，將f（x）=x2+4x+4變形為f（x）=（x+2）2，這樣便于教師作圖使其更加直觀。在作圖時，為了便于學生理解與學習，教師可以先做出f（x）=x2圖象，再通過向左平移2個單位即可得到f（x）=（x+2）2的圖象，通過一步步的作圖相信學生一定對函數的性質了有了更加直觀的理解與掌握，并且通過圖形學生可以很容易就判斷出該函數的單調性，即（-∞，-2）這個區間是單調遞減，在[-2，+∞）這個區間單調遞增。同時，教師再運用定義法來加以證明，得出更為嚴謹的結論。

可見，在函數單調性的判斷中運用數形結合這種教學方法，能夠將抽象的事物具體化、形象化，幫助學生記憶與掌握，增加學生對數學函數學習的興趣，讓他們體會到原來函數學習這么有趣，進而調動他們對數學函數學習的積極主動性，提升數學課堂教學效率。

二、數形結合方法在函數最值求法中的應用

在單招數學教學中，函數最值的求法可以說是一種典型的題型，它主要是考查學生的分析能力與思維邏輯能力，對學生的數學學習能力有很高的要求。正因如此，單招高考命題組常用此類型的題型來進行命題，考查學生的綜合能力。然而，對于學生來說，由于受傳統教育教學影響較深，他們形成了固定的解題思路，而函數學習對學生思維能力的發散有很高的要求，這對單招學生而言無疑是一個巨大的挑戰。在函數教學中，教師如若用傳統教育教學方法進行函數最值求法，是無法完成教學目標的。對此，數學教師要善于引用新的數學教學思想方法，幫助學生有效學習，激發他們對數學學習的興趣，調動他們的主觀能動性。而經過教學實踐表明，數形結合方法是單招數學函數教學中最為有效的教學方法之一。為了證明數形結合方法在單招數學教學中的有效性，我們將以數形結合法在函數最值中的求法為例，闡述其在函數教學中的具體運用。

例如：求函數的最小值與最大值。在解決這一類型的題型時，直接求解難度非常大，因此，數學教師要靈活運用數形結合方法，善于將這類型的問題與圖形相結合來達到教學的目的。在求解時，可以將函數變形為，許多學生肯定會問：這個函數的圖象怎么畫呢？教師針對學生提出的疑問要積極肯定與引導，這也正是轉變學生思維的一次重要機會。函數解析式中，有兩個絕對值符號。教師引導學生去絕對值，寫成分段函數，我們可以畫出分段函數的圖象，非常直觀地看出函數的最大值和最小值，進而，我們就可以知道函數的最大值以及最小值。

三、數形結合方法在方程個數求解中的應用

在單招數學函數教學中，方程個數的求解是所有函數中適合應用數形結合方法進行教學的。通常情況下，能把圖象畫出來這道題也隨之解決了。在高考中，這種題型基本上是以選擇題的形式出現。因此，在實踐教學中，教師最好以數形結合方法為主，這樣不僅有利于提高學生做題的速度，而且還能有效地激發學生的思維。

例如：請問方程log5x=|sinx|的解的個數是多少？這種題型如果從正面進行求解一般很難求解，教師在教學這一類型的題型時，最為有效的教學方法就是數形結合法，它能直觀地反映出兩個函數之間的關系。首先要解道題，需要熟練掌握這兩種函數的圖象以及性質，然后再根據題意畫出這兩種函數的圖象，就可以清晰地知道方程跟的個數。數形結合方法是解這種題型的最好方法，它能使抽象的概念與理論形象化、具體化，易于學生理解與掌握，而且不需要花費太多的時間與精力，這對要參加單招高考的學生而言無疑是珍貴的。由此可知，數形結合方法是高中函數教學中一種重要的教學法，它能使復雜的問題簡單化，使抽象的概念具體化、形象化，能幫助學生更好地學習數學，進而提升他們的數學學習能力，提高課堂教學效率。

四、數形結合方法在三角函數中具體應用

在高中數學教學中，函數的形式多種多樣，而三角函數就是其中一種最為常見的函數。這種函數雖然難度不大，可以用計算與推理的教學方法來進行教學，但是由于其計算量比較大而且復雜，在操作中容易出現錯誤，學生在實際答題過程中得分率普遍較低。為了提高學生在三角函數中的得分率，教師可以將數形結合方法引進三角函數中，增加學生對數學三角函數學習的信心。

例如：函數的值域。在解答這類型的題型時，如果用計算與推理的方法進行，不僅浪費時間，而且在計算過程中容易出現錯誤。為了避免這種失誤，教師最好要求學生用數形結合方法進行解答，確保答案的準確性，增強學生對數學學習的信心，進而調動學生的主觀能動性，激發他們對數學函數學習的興趣，使學生積極主動地參與到課堂教學中，提升學生的數學學習能力，培養他們的創新精神與能力，促進課堂教學效率的提升。在高中數學教學中，如果長期將這種教學方法應用到課堂教學中，相信學生的數學能力能最大限度地得到發揮，促進他們德智體美全面發展，為社會培養出一大批優秀的創新型人才，服務于社會，促進社會的進步與發展。

總之，數形結合是與數學知識與數學思想方法緊密結合的一種教學方法，在函數的教學中，不能孤立存在。教師在實踐教學過程中，要靈活應用這種教學方法以最大限度地激發學生對數學函數學習的興趣與熱情，使每位學生都能積極參與到課堂教學中，從而提高學生的數學學習技能，提升課堂教學效率，實現全體學生共同進步與發展。

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