最值到底在哪里

黎源

北師大版九年級數(shù)學下冊第二章《二次函數(shù)》的第六節(jié)《何時獲得最大利潤》與課本配套《練習冊》上有這樣一道題：“某居民小區(qū)在一塊一邊靠墻（墻長15m）的空地上修建一個矩形花園，花園一邊靠墻，另外三邊用總長為40m的柵欄圍成，如圖，求花園的最大面積。

學生解：設BC=x米，則AB= 米，設花園的面積為y平方米，∴y=x· =- x2+20x;

∵- <0，拋物線的開口向下，

∴函數(shù)有最大值，最大值為= =200。

答：最大面積為200m2。

這個解法中存在的問題的根源是學生機械套用二次函數(shù)的最大值公式，而忽視了二次函數(shù)自變量的取值范圍和二次函數(shù)圖像之間的關系。而自變量的取值范圍和函數(shù)圖像的關系又是學生學習函數(shù)中的一項重要內容，對于這個問題我設置了如下問題：

已知：y=（x-1）2-4，分別在下列條件下畫出函數(shù)的圖像并求出函數(shù)的最大、小值。

①一切實數(shù);②3≤x≤4;③-2≤x≤0;④0≤x≤3;⑤-1≤x≤2。

解：由y=（x-1）2-4得出開口向上，對稱軸為x=1，頂點坐標為（1，-4）。

①x是一切實數(shù)，函數(shù)圖像是整支拋物線，∴x=1時y有最小值-4，無最大值。

②當3≤x≤4時圖像如圖2，此時y隨x的增大而增大?！喈攛=3時，y有最小值0;x=4時，y有最大值5。

③當-2≤x≤0時，圖像如圖3，此時y隨x的增大而減小?！喈攛=0時，y有最小值-3;x=-2時，y有最大值5。

④當0≤x≤3 時，圖像如圖4?！喈攛=1時，y有最小值-4;x=3時，y有最大值0。

⑤當-1≤x≤2時，圖像如圖5?！喈攛=1時，y有最小值-4;x=-1時，y有最小值0。

在解決這個問題時，利用輔助多媒體的幾何畫板和學生一起分析。接著又把函數(shù)解析式變成y=-（x-1）2-5，其它條件不變，和學生一起總結當自變量的范圍在a≤x≤b之間時，如何求二次函數(shù)的最值方法。

最后和學生一起小結：

當開口向上時：

①對稱軸在x的取值范圍的左側，y隨x的增大而增大。

②對稱軸在x的取值范圍的右側，y隨x的增大而減小。

③對稱軸在x取值范圍上，最小值在頂點處，哪一個端點離對稱軸遠，哪一個端點的函數(shù)值就大。

當開口向下時：

①對稱軸在x的取值范圍的左側，y隨x的增大而減小。

②對稱軸在x的取值范圍的右側，y隨x的增大而增大。

③對稱軸在x取值范圍上最大值在頂點處，哪一個端點離對稱軸遠，哪一個端點的函數(shù)值就小（即對稱軸在x的取值范圍的中點的左側，右側端點處取最小值;對稱軸在x的取值范圍的中點的右側，左側端點處取最小值）。這樣，不提閉區(qū)間，也不用字母表示各種情況，學生掌握起來難度就小很多，效果也很好。

課堂練習：

某水果批發(fā)商銷售每箱進價為40元的蘋果，物價部門規(guī)定每箱售價不得高于55元。市場調查發(fā)現(xiàn)，若以每箱50元的價格銷售，平均每天銷售90箱;價格每提高1元，平均每天少銷售3箱。

（1）求平均每天銷售量y（箱）與銷售價x（元/箱）之間的函數(shù)關系式。

（2）求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤W（元）與銷售價x（元/箱）之間的函數(shù)關系式。

（3）當每箱蘋果的銷售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？