從高中數學題看二次函數的性質及判別式性質的應用

寇愛軍

二次函數的性質及判別式性質的應用，在初中只是用來判別方程根的情況以及求最值，在高中的數學中其應用則更為廣泛，尤以解析幾何中的應用較多。

1.求距離的最值問題，可利用二次函數求最值的性質去作，也可以利用直線與曲線相切時判別式等于零來求。以下用例題說明。

例1.已知點A（0，4），P是拋物線y=x2+1上任意一點，則PA的最小值為_______。

若設點P坐標為（x，y），由兩點間距離公式及二次函數性質可得解法1：

PA=，

將y=x2+1代入得PA===

則由二次函數性質，得PA最小值為。

2.從另一方面思考，采用數形結合的思想方法，求PA最小值可看作以點A為圓心的圓，該圓與拋物線相切時的圓的半徑，由此可得解法2：

設以A為圓心的圓方程為x2+（y-4）2=r2，與y=x2+1聯立，消去x得：

y2-7y+15-r2=0

∵圓與拋物線相切，∴？駐=49-4（15-r2）=0（用到了判別式的性質）

得4r2=11，∴r=，即PA的最小值。

3.還有一些問題，表面上看是求函數的最值，但也可用同樣的方法解決。

例2.點P（x，y）在直線x+y-4=0上，則x2+y2的最小值是________。

若用二次函數性質可得解法1：由x+y-4=0得y=4-x，代入x2+y2，得x2+（4-x）2=2x2-8x+16=2（x-2）2+8，則由二次函數性質可得x2+y2的最小值為8。

4.若采用數形結合的思想方法，求x2+y2的最小值可看作是以原點為圓心的圓，該圓與直線x+y-4=0相切時的半徑，有解法2：

設以原點為圓心的圓的方程為x2+y2=r2，將y=4-x代入，消去y得：

2x2-8x+16-r2=0，∵直線與圓相切，

∴？駐=64-8（16-r2）=0

得r2=8，即x2+y2的最小值為8。

參考文獻：

蘭詩全.換元法的解題功能[J].中學數學研究，2013（7）.

？誗編輯 楊兆東