探討高等院校中實變函數課程的教學改革

王峰

【摘 要】實變函數是高等院校數學專業的一門必修基礎課，其核心內容是勒貝格測度及積分理論。實變函數課程內容具有較高的抽象性，這使得很多學生普遍感到學習該門課程很困難、提不起興趣。本文結合個人的教學實踐，探索了如何改進實變函數課程的教學方法。

【關鍵詞】實變函數；數學思想；Mathematica；教學

實變函數課程是高等院校數學本科專業重要的理論分析基礎課之一，它為學生進一步學習其它課程如微分方程、泛函分析、概率論、復分析、算子理論與算子代數等提供了必不可少的基礎知識。由于其內容具有高度的抽象性、概括性、嚴謹性、構造性等特點，導致學生普遍感到學習該門課程很困難。這里，作者結合自己的教學實踐，參考其他教師的教學改革研究成果[1-4]，提出了自己的一些教學改革想法。

1 讓學生認識到學習實變函數的意義

在學習實變函數的過程中，如果學生僅僅是帶著應付下考試的心理，那學習這門功課的意義就大打折扣了。實際上，實變函數內容的抽象性恰能很好地鍛煉我們分析問題和處理問題的邏輯思維能力，錘煉我們的細心、耐心、恒心和信心。學習過程會是一個不斷提升自身數學修養的過程。在這一方面，實變函數課程里每一章都涉及到大量的定理和證明題，要想很好地解決每道題其實還是很困難的。這時，學生們正確的學習態度和出色的推理能力將起著重要的作用。在未來的工作崗位上，絕大部分的數學院系的學生將從事和數學有關的工作，探究實變函數的思想將在他們未來的工作道路上起到潛移默化的作用。因此，教師在教學過程中應多挖掘行之有效的教學方法，讓學生在實變函數的學習過程中領會到其極富創造力的新方法和新思想。

2 教師精講與學生自學相結合

實變函數課程里的內容非常多，如果教師上課時面面俱到，肯定沒有時間留給學生去思考，學生就會在這種不間斷的灌輸中感到疲憊，逐漸產生厭學情緒，進而出現了逃課現象。教師的作用不能是灌輸，而是精選出在整個課程中承上啟下、多處應用到的有關概念或定理，精講典型例子以及常用方法、技巧和思想。比如，可測函數列的收斂性問題要精講，但可測函數的構造中的魯津定理可以略講，讓學生自學，了解其意義。再如函數的連續、收斂概念的教學，可以指導同學們對比數學分析中的連續、收斂進行自學，找出異同。在教學過程中，教師應更好地引導學生思考，讓他們用自己的方式來理解和記憶知識。另外，一些比較復雜的證明過程可以省掉或者結合多媒體進行教學，這樣節省下來的時間用于學生自學。對自學的內容，教師應事先編寫自學大綱，提出問題，讓學生帶著問題去學習，讓學生在自學的過程中注重實變函數與數學分析的知識結構聯系，在比較和分析中完成整個學習過程。

3 滲透數學史，提高學生學習興趣

實變函數中的概念比較抽象，如果一直采用純粹的概念、理論加推導的教學方式，學生很容易失去興趣，更難深刻理解相關概念，上課走神也就不足為奇了。現在，許多學生在學習實變函數時，只追求課后習題答案，對這門課程的歷史背景一無所知。為了避免這種現象，在教學過程中應注意數學思想史的滲透。這不僅有助于學生加深對概念的理解，同時也拓廣了學生的知識面，提高了學生的創新思維能力。比如勒貝格積分是實變函數的核心內容，是函數論的一個主要研究對象，也是數學研究和應用的一個重要工具。在數學家哈納克、波萊爾等工作的基礎上，勒貝格于1902年在其博士論文《積分、長度與面積》中，對于測度論和積分理論進行了深入的研究，提出了可測函數與勒貝格積分理論。這些背景知識的介紹不僅可以激發學生的學習興趣，而且可以引導學生樹立對新現象和新事物的正確態度。

4 結合數學軟件，鞏固理論知識

在高等院校中，實變函數課程屬于純理論分析課程，在教學過程中比較注重概念分析和原理的推導過程，而較少使用計算機軟件（如Matlab、Mathematica）幫助分析問題。實變函數課程中概念和定理證明較多，單純使用人工推理，會導致學生學習興趣不高。因此，在教學過程中可以多使用計算機軟件來進行分析問題、解決問題，并指導學生去嘗試基本應用，則會開闊學生視野，提高學習積極性。比如一個無限集可以與它的真子集等價，這對于初學者難以理解。借助Mathematica，可以給出函數tanπx-的圖像，它確定了從（-∞，+∞）到（0，1）的一個一一映射，這有助于學生對這一“反常”事實的理解。再如闡明勒貝格積分的基本思想是至關重要的，除了用日常生活中“數硬幣”的兩種不同方式來通俗地說明黎曼積分與勒貝格積分的思想外，還可借助Mathematica更生動、豐富地展示其聯系和區別。因此，計算機軟件的引入，對激發學生學習實變函數的興趣，提高學生的動手能力和思維能力，拓展學生的知識面等方面都有很重要的作用。

5 結語

針對實變函數課程特點，結合學校的具體教學情況，因地制宜地開展該課程的教學工作，對任課教師來說的確是一項重要的挑戰性工作。為此，任課教師要不斷地改進其教學方法，有效地調動學生的學習興趣，使學生變被動學習為主動學習，讓老師和學生共同感受到教學方法革新的樂趣，這樣實變函數的教學質量也就提高了，教學大綱的要求也就順利達到了。

【參考文獻】

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[4]宋文，胡艷紅.在實變函數教學中滲透數學思想史的體會[J].繼續教育研究， 2012，5：158-160.

[責任編輯：湯靜]