海州地區小學生代數思維水平的調查研究

石保艮

[摘 要]從算術思維到代數思維的過渡，是小學生學習數學的一個重要問題。利用帶有未知數字的式子，來探究學生的思維方式，是目前研究學生算術思維和代數思維水平發展的一個重要途徑。調查分析發現，同一年級的學生主要處于算術思維水平；不同年級學生的思維水平存在顯著性差異；男女生的思維水平不存在顯著性差異。

[關鍵詞]海州地區 小學生 算術思維 代數思維

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）29-055

一、調查背景

從算術思維向代數思維過渡，是學生認知過程的一次飛躍，是學生數學學習過程中極為重要的轉變階段。2001年，我國《全日制義務教育數學課程標準》中指出，小學階段應安排豐富的代數學習素材，發展小學生的代數思維，促進小學生實現由算術思維向代數思維的過渡。《美國學校數學教育的原則和標準》中也提到：“通常，學校數學課程要等到初中或高中才明確地包括傳統的代數，建議在小學就包括代數。”

在參閱文獻的過程中發現，“數與代數”是小學甚至是整個數學學習中最為重要的部分，而代數思維的培養更是貫穿于整個數學學習當中。而在小學階段，學生是處在算術思維水平還是代數思維水平，或者是從算術思維過渡到代數思維的階段，很值得研究與探討。因為它對于小學生主動學習代數知識以及教師教授代數方面的知識與技能有著深遠的影響，甚至直接關系到學生能否很好地從算術思維過渡到代數思維。成功的過渡在學生今后的數學學習中將起到至關重要的作用。

本文主要研究三個問題：（1）同一年級的學生主要處于什么思維水平？（2）對于同一問題，不同年級的學生是否存在顯著性差異？（3）對于同一問題，男、女生之間是否存在顯著性差異？通過本次調查研究，可以了解海州地區小學生當前代數思維的發展水平，從而有利于教師幫助學生完成從算術思維到代數思維的過渡，引導學生學會用代數思維來思考數學問題。通過本次研究，還可以探究小學數學教學中影響學生代數思維的因素，進而開發學生的代數思維能力，實現小學數學到中學數學的成功跨越。

二、研究方法

（一）問卷設計

已進行的研究使用了包含加法和減法的數式填空題。而本研究因為涉及三、四、五年級學生，所以問卷中有四個大題，即第一題加法、第二題減法、第三題乘法和第四題除法，每個大題又分出三個小題，總共12道題。

這些題目采用逐層遞進的方式進行編排，以第一題為例，最開始是含有兩個未知數字的數式填空。

問題1（a）：在空格A和空格B中填入適當的數字，使式子成立。

18+ A =20+ B

這樣的式子可以潛在的起到推動作用，促使學生進行代數思維。雖然利用計算的方法也可以得出正確答案，但是學生只有超越算術思維，才能識別出式子中的一般結構關系，從而認識到使用代數方法來解決真實世界的問題和數學問題的優越性。

然后是將前面的式子中的數字進行改換，并給出一個未知數字的值，求另一個未知數字的值，并要求寫出計算過程。

問題1（b）：如果用234代替18，236代替20，如果空格A中填了19，那么空格B中應該填多少？寫出計算的過程。

這個問題能夠從具體的數字例子中做出正確的數字概括，這是代數推理中的關鍵因素。

最后要求學生直接寫出兩個未知數字之間的關系。

問題1（c）：當式子成立時，空格A和空格B中所填的數字應滿足什么關系？

（二）研究樣本

樣本取自江蘇省連云港市海州地區某小學，該校學生的數學素養、數學思維發展水平在海州地區乃至全市范圍都具有一定的代表性。

（三）數據收集

為了確保問卷的隨機性，在2012年6月，對學校三、四、五年級部分班級共478位學生進行了問卷測試，其中男生261人，女生217人，共回收有效測試卷三年級151份，四年級157份，五年級158份，均超過發放問卷的95%。

（四）數據分析

代數思維水平：我國《全日制義務教育數學課程標準》中指出，代數思維是指建立數感和符號意識，發展運算能力，樹立模型思想。美國NCTM標準認為，代數思維是指理解變量、代數式，方程的概念；用數字、表格、圖形、文字、方程表示信息，并探究這些表征的相互關系；使用具體的、非正式的、形式化的方法求解線性方程組、不等式、非線性方程組；使用代數方法來解決真實世界的問題和數學問題。

算術思維水平：著重利用數量的計算求出答案的過程，這個過程是程序性的、含情境的、具有特殊性的、計算性的，甚而建立在直觀上。在算術思維中，運算式的功用是一種思考的記錄，是直接聯結題目與答案的橋梁。處于這個水平的學生，他們通過已知量的運算得出未知量，通過一系列的、連續的運算得出答案。

以第一大題為例，在問題1（a）中，根據學生的演算過程及答案進行整理分類，將其所作答案分成6類：2，0；10以內其他數字；20，18；超過10的其他數字；未作答；答案錯誤。

通過事后訪談了解到，答案“2，0”是學生通過整體的觀察，發現等式左邊與右邊相差2得到的，答案“20，18”是學生從等式的性質出發認為只要兩邊相等就可以了，所以就把兩個數字進行簡單交換，因此把答案“2，0”“20，18”歸為代數思維水平。在訪談中發現很多學生先在左邊填入一個數字，然后進行計算，得出左邊的數字，那么，把填入數字像1、3、4、5等的數字歸為答案“10以內其他數字”，那么答案“超過10的其他數字”就很容易理解，自然是11、12、13等這些數字，把這種通過一邊計算得出另一邊的行為歸為算術思維水平；未作答與答案錯誤歸類為另外一類。

在問題1（b）中，根據學生的演算過程及答案進行整理分類，將其所作答案分成7類：兩邊比較差為2；列方程，兩邊同加減或者移項或列方程，先左后右；直接列出等式直接得出答案；左邊求和，再做差，得出17；其他；未作答；答案錯誤。

在這個問題中，同樣進行了訪談，了解到學生得到答案“兩邊比較差為2”也是通過整體地看問題而發現的，那么這屬于代數思維水平；而答案“列方程，兩邊同加減或者移項”和“列方程，先左后右”是解方程的一般步驟，自然是屬于代數思維水平；答案“直接列出等式直接得出答案”也體現整體看問題這一特點，所以也歸為代數思維水平；答案“左邊求和，再做差，得出17”“其他”體現為算術思維水平；“未作答”與“答案錯誤”自成一類。

在問題1（c）中，根據學生的演算過程及答案進行整理分類，將其所作答案分成6類：A與B的差為2；A與B的差等于另外兩項的差；A與B之間無明確的數量關系；其他答案；未作答；答案錯誤。

關于這個問題，延續了問題1（a）中的方法，覺得答案“A與B的差為2”“A與B的差等于另外兩項的差”都是通過左右兩邊同時看問題從而得到的結果，那么它們體現了代數思維水平；答案“A與B之間無明確的數量關系”“其他答案”體現為算術思維水平；“未作答”與“答案錯誤”自成一類。

三、調查分析和研究結果

所有學生都完成了加法與減法中的（a）、（b）這兩類問題。三、四、五年級學生無法完成全部的問題，有的只完成了加減法的問題。不過這仍然為得出結論提供了足夠的依據。雖然有的學生可以利用計算方法解答（a）部分中的問題，但是（b）、（c）問題仍然可以用來“推動”學生做出結構性的回答。通過這樣的題目，幾乎所有學生都嘗試描述空格A和空格B中數字之間的關系。

（一）同年級學生主要所處思維水平

從表1中可以看出，在學生可以得到正確答案的前提下，算術思維所占人數以壓倒性的優勢超過代數思維所占的人數，所以認為三、四、五年級的學生，主要是處于算術思維水平，但在這12道題目中也有例外，如回答對1（c）、2（c）、3（a）和4（a）這四道題目的學生出現了代數思維人數超越算術思維人數的態勢。所以，筆者針對這四道題進行了深入的研究。

通過對1（c）問題的反復推敲，認為可能是因為18和20這兩個數字比較接近，容易看出兩個數字相差2，如果換成比較長的數字也許學生就不容易發現它們的關系。學生屬于代數思維的答案可以歸納為兩類：（1）答案一：空格A與空格B中的數字相差2；（2）答案二：空格A與空格B中數字的差等于式子中另外兩個已知數的差。但答案一占大多數，答案二鮮有出現。這一現象可能是因為1（a）和1（b）兩個問題中的已知數都是相差2，從而誤導了學生。

因為加法跟減法運用的是一樣的思維方法，學生們的答案也是跟1（c）相同的兩類，所以在這里不對2（c）做另外的說明。

筆者對問題3（a）的反常現象也做了一些思考。

（1）三、四、五年級學生已經學習因數這一概念，所以他們能看出12有1、2、3、4、6、12這幾個因數，而16有1、2、4、8、16這幾個因數，又因為生活習慣，習慣把12看做3乘以4，把16看做4乘以4，所以發現它們有一個相同的因數——4，為了使等式成立，就容易得出“空格A=4，空格B=3”這一答案。

（2）有些學生在熟悉等式概念的前提下，喜歡耍小聰明，發現直接將式子中的兩個已知數交換位置填入空格即可，所以又得到了另一種答案——“空格A=16，空格B=12”。

同樣的乘法與除法其實是一樣的，不過三、四、五年級學生還不知道這個道理，可是在問題4（a）中卻得到了與3（a）相似的數據，這足以說明學生在日常學習中也有發現一些數學規律。

（二）代數思維在發展上的差異

根據問卷上的12道小題，對各年級學生的數學思維水平進行了分析。根據表1的分析結果，發現各年級學生在每道小題上的數學思維水平都表現出顯著性差異。

從總體上看，三年級學生代數思維人數明顯少于四、五年級，而四年級和五年級學生代數思維人數基本持平。由此可見，三年級學生的思維水平跟四、五年級學生有著本質上的差距，而四、五年級之間差距不大。這符合事物發展的規律，也表現出小學生的思維方式正在從算術思維向代數思維緩慢過渡。

（三）男、女生之間代數思維水平的差異

同樣，根據學生對12道小題的作答情況，對男、女生數學思維水平差異進行了分析，得到了圖1、圖2。

根據分析結果可知，男、女生的數學思維水平無顯著性差異。選1（a）、1（b）、1（c）小題進行具體的分析比較。

在1（a）中，有六種答案，每種答案，男、女生所占比例都非常相近，進行卡方檢驗，卡方值為1.024，P值為0.599，大于顯著性水平0.05，因此男、女生在這道題的回答中不存在顯著性差異。

在1（b）中，有六種答案，同樣，每種答案，男、女生所占比例都接近于50%。通過卡方檢驗，得到卡方值為6.111，P值為0.047，小于顯著性水平0.05，由此可知，男、女生在這道題的回答中存在顯著性差異。

在1（c）中，有五種答案。通過卡方檢驗，得到卡方值為1.233，P值為0.540，大于顯著性水平0.05，由此可知，男、女生在這道題的回答中同樣不存在顯著性差異。

雖然以上三個問題中就有一個問題的數據顯示男、女生之間存在顯著性差異，但是在圖2中，可以看到在12個問題中也只有在問題1（b）、3（b）上表現出男、女生是有差異的，其他都是沒有差異的。綜上可知，男、女生在數學學習上不存在所謂的能力差異，這也是符合科學理論的。

四、結論

通過本次研究得到了以下三個結論：

第一，同年級學生處在算術思維水平的占大多數。不管是三年級、四年級，還是五年級，從總體上看處于算術思維的人數具有壓倒性的優勢，這可能是因為三、四、五年級都是處于從算術思維向代數思維過渡的準備階段。

第二，不同年級學生在代數思維水平上具有顯著性差異，并且隨著年級的上升，表現出代數思維水平的學生人數在不斷上升，不過四年級與五年級是處于一個水平階段的，因為他們表現為代數思維水平的人數基本是持平的。

第三，男、女生在代數思維水平上不存在顯著性差異。這也許可以消除人們對男、女生學習數學的傳統偏見，至少在這個地區是這樣的。正如已有的研究表明，男、女生學習數學的性別差異，主要是在社會經濟文化的影響下而產生的。海州地區是連云港市經濟文化發達的中心城區，本地居民的思想觀念和生活方式都有了長足的發展，因此從這一個視角來看，數學學習性別差異的消失也是必然的。

五、存在的問題及建議

對于五年級學生，從總體上看處于算術思維的人數仍占多數，這也造成了六年級學生在簡單代數問題的解決中總體表現不佳，分析主要有兩個原因：第一，教材在代數學習素材上進行了整體的構建，但是在具體內容安排上仍存在問題；第二，教師對教材中的代數學習素材缺乏研究。建議教材在編寫過程中，在低年級學段多設滲透代數思想的內容及相關的題目，加強小學低年級數學教師的代數知識培訓，強化代數意識。

對于小學生而言，從算術思維到代數思維的過渡并不容易。學生要順利完成從算術思維向代數思維的過渡，其思維必須經歷從數字到符號、從特殊到一般、從程序到結構的飛躍。為此，教學安排中亦應注重代數思維的符號化、一般化與結構化三個特征。

（責編 黃春香）