例談2015年高考試題中概率與其他知識點(diǎn)的交匯

王博蓉　文丹

摘 要：縱觀近幾年高考試卷，不難發(fā)現(xiàn)，概率與其他知識點(diǎn)交匯是概率題考查的一大趨勢。本文將以2015年高考試題中的選題，探究概率以平面幾何、立體幾何、線性規(guī)劃、復(fù)數(shù)四個(gè)方面為載體的綜合應(yīng)用，采用數(shù)形結(jié)合單的思想方法，旨在培養(yǎng)學(xué)生重視學(xué)科內(nèi)在聯(lián)系和綜合性，構(gòu)建立體的知識網(wǎng)絡(luò)，促進(jìn)學(xué)科內(nèi)在知識的遷移。

關(guān)鍵詞：概率；幾何概型；線形規(guī)劃；復(fù)數(shù)；數(shù)形結(jié)合

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：2095-9214（2015）12-0043-01

一、概率與平面幾何的交匯

例1：（2015年湖北卷理數(shù)）如圖1，在圓心角為扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓。在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是（ ）。

A.1-2π B.12-1π C.2π D.1π

解題思路：不妨設(shè)扇形OAB半徑為2。如圖1，記兩塊白色區(qū)域的面積為S1，S2；兩塊陰影部分面積為S3，S4；則S1+S2+S3+S4=S扇形OAB=14π·22=π①

而S1+S3=S2+S3的和恰好為一個(gè)半徑為2的圓的面積，即S1+S3+S2+S3=π②

①-②得S3=S4。由圖可知S3=S扇形EOD+S扇形COD-S正方形OEDF=12π-1

所以S陰影=πa2-2a2。由幾何概型概率公式可得，此點(diǎn)取自陰影部分的概率

p=S陰影S扇形OAB=2（12π-1）π=1-2π。

二、概率與立體幾何的交匯

例2：（2015年湖南卷理數(shù)）四面體的一個(gè)頂點(diǎn)A和各個(gè)棱的中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)

（1）從其它頂點(diǎn)與各棱中點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)，使它們和點(diǎn)A在同一平面上，不同取法有多少種？

（2）從中任取4個(gè)點(diǎn)，則這4個(gè)點(diǎn)恰好不共面的概率是多少？

解題思路：（1）（直接法）如圖2，含頂點(diǎn)A的四面體的3個(gè)面上，除點(diǎn)A外都有5個(gè)點(diǎn)，從中取出3點(diǎn)必與點(diǎn)A共面共有3C35中取法，例如從D、B、H、O、J中任取3個(gè)點(diǎn)必共面。含頂點(diǎn)A的三條棱上各有三個(gè)點(diǎn)，它們與所對棱的中點(diǎn)共面，共有3種取法，例如A、B、D、J必共面。根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，與頂點(diǎn)A共面三點(diǎn)的取法有3C35+3=33種。

（2）（間接法）如圖2，從10個(gè)頂點(diǎn)中取4個(gè)點(diǎn)的取法有C410中，減去4點(diǎn)共面的取法種數(shù)可以得到4個(gè)點(diǎn)恰好不共面的種數(shù)。從四面體同一個(gè)面上的6個(gè)點(diǎn)中取出4點(diǎn)必定共面，有4C46=60種，例如在平面ABO中，從A、B、O、D、I、H中任取4個(gè)點(diǎn)必共面。四面體的每一棱上3點(diǎn)與相對棱中點(diǎn)共面，共有6種共面情況，例如A、D、B、J必共面。從六條棱的中點(diǎn)中取4個(gè)點(diǎn)有3種共面情況（對棱中點(diǎn)連線的兩兩相交且互相平分），例如D、J、H、E必共面。故4點(diǎn)不共面的取法有C310-（60+6+3）=141種。所以這4個(gè)點(diǎn)恰好不共面的概率是p=141C410=4770。

三、概率與線性規(guī)劃的交匯

例3：（2015湖北卷理數(shù)）在區(qū)間[0，1]上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x，y，記p1為事件“x+y≥12”的概率，p2為事件“x-y≤12”的概率，p3為事件“xy≤12”的概率，則（ ）。

A.p1

C.p3

解題思路：在直角坐標(biāo)系中，依次作出不等式組0≤x≤10≤y≤1，與x+y≥12，x-y≤12，xy≤12的可行域，如圖3，可知p1=S多邊形BACDES四邊形OCDE， p2=S多邊形BOAFDES四邊形OCDE，

p3=S曲邊多變形GEOCFS四邊形OCDE，

因?yàn)镾△ABO=S△BEG=S△DGF=S△ACF，所以p2

四、概率與復(fù)數(shù)的交匯

例4：（2015年陜西卷理數(shù)）設(shè)復(fù)數(shù)z=（x-1）+yi（x，y∈R），若z≤1，則y≥x的概率為（ ）。

A.34+12π B.12+1π

C.12-1π D.14-12π

解題思路：據(jù)題意z≤1（x-1）2+y2≤1，對應(yīng)平面區(qū)域如圖4所示，是以（1，0）為圓心，1為半徑的圓，作出不等式組（x-1）2 + y2≤1y≥x，所對應(yīng)的面積如圖4中陰影部分面積所示，以面積作為幾何度量可得p（A）=π×124-12×12π×12=14-12π，故選D。

總之，在高考數(shù)學(xué)試卷中越來越重視在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)問，這不僅考查各知識點(diǎn)本身內(nèi)容，而且加強(qiáng)知識之間的聯(lián)系，體現(xiàn)知識的整體性和關(guān)聯(lián)性?？梢哉f，今年高考概率題與線性規(guī)劃、復(fù)數(shù)的交匯，是一種創(chuàng)新，它進(jìn)一步拓展了概率與其它知識的聯(lián)系，優(yōu)化概率知識框架，有利于學(xué)生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)，是素質(zhì)教育落實(shí)到教學(xué)的良好體現(xiàn)。

（作者單位：西華師大）