關于高中數學幾何解題技巧之“數”“形”結合策略

關于高中數學幾何解題技巧之“數”“形”結合策略

文/張藝璇

摘要：高中階段是培養學生創新思維的黃金時期，特別是對學生數學創新思維的形成有重要影響。解析幾何是高考數學必考內容，在所有題型中所占比值相對較高。而在一般情況下，解析幾何的難度比函數低，且幾何的解析通常有一定的技巧性，只要熟悉并掌握了速解技巧，將題目的“數”與“形”實現有機結合，即把題目所給條件一一對應進行解題，便能最大限度減少解析幾何解題時間，同時也不會漏掉題目條件，繼而有效提高答題效率，最終實現數學成績的顯著提升。換言之，能否正確的運用“數”“形”結合來進行答題解析，是影響當前高中解析幾何成績的關鍵因素之一。

關鍵詞：數學技巧；幾何圖形；高中數學；數形結合

作者簡介：張藝璇，長沙市明德中學K323班(學生)。

中圖分類號:G634.6文獻標志碼：A

前言

數學創新思維培養就是以強烈的創新意識進行熏陶感染，鼓勵將個人儲備的知識信息進行重新組合，從而形成一些具有較高價值的新發現、新設想。數學創新思維培養在創造性思維的形成過程中起到十分關鍵的作用，其不僅有助于扎實、牢固地掌握數學基礎知識，同時也可以借助數學知識這一載體，有效掌握正確的數學思想方法，體會數學知識的應用價值，進而樹立正確的數學觀與數學創新意識。因此，本文以高中數學幾何解題技巧之數形結合為研究對象，圍繞速解高中解析幾何方法中的數形結合進行了分析，并對數形結合在解析幾何幾種題型中的運用進行了舉例說明。

一、“數”“形”結合解題法的理論概述

(一)方法釋義

首先，關于解析幾何的釋義，其泛指幾何學上一個小分支，主要用代數方法研究集合對象之間的關系和性質，因此也稱作“坐標幾何”。其包括平面解析幾何和立體解析幾何兩部分，其中，平面解析幾何是二維空間上的解析幾何；立體解析幾何是三維空間上的解析幾何，而立體解析幾何則比平面解析幾何更加復雜、抽象。

其次，關于數形結合的釋義，即是把題目所給條件中的“數”與“形”一一對應，用簡單的、直觀的幾何圖形以及條件之間的位置關系把復雜的、抽象的數學語言以及條件之間的數量關系結合起來，通過形象思維與抽象思維之間的結合，以形助數，或以數解形，從而使復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，以起到優化解題途徑的目的。

(二)解題思路

在遇到解析幾何時，能清楚條件與問題之間的數量關系與位置關系，將“數”與“形”一一對應，便能夠快速找到解題突破點。事實上，當熟練掌握到數形結合方法，能夠舉一反三時，遇到的所有題目都將是同一題目了。因此，掌握數形結合思，就必須厘清下列關系：第一點，復數、三角函數等以幾何條件和幾何元素為背景建立的概念；第二點，題目所給的等式或代數方程式的結構中所含明顯的幾何意義；第三點，函數與圖象的對應關系；第四點曲線與方程的對應關系；第五點，實數與數軸上的點的對應關系。

二、“數”“形”結合法在幾何解題中的實例解析

(一)解析幾何中圓類問題

實踐證明，數形結合對速解圓類問題的幫助很大，因為在一般解題過程中，解析幾何圓類問題主要圍繞求圓與圓之間的位置關系、圓與直線的位置關系、圓的標準方程等幾方面展開。比如在判斷圓與直線的位置關系時，通過建立直角坐標系，便可以直觀地觀察到直線在圓外，但是答題需要寫出確切的答題步驟才能得分。這時就需要有“數”“形”結合解題思想的輔導——以數解形：通過計算圓心到直線的距離，距離比圓的半徑大即表明直線在圓外。這是最基本的用“數”“形”結合方式解答圓類問題。為更為詳盡的說明，下文將針對對“數”“形”結合法速解解析幾何圓類問題作出例題說明：

例題1：已知曲線y=1+√(4-x2)與直線y=k(x-2)+4交于兩個不同的點，求實數k的取值范圍。

解析：將曲線y=1+√(4-x2)變形，得x2+(y-1)2=4(1≤y≤3)，可知曲線是以點A(0,1)為圓心，2為半徑的圓，但是值域y要大于1，因此是上半圓；

直線y=k(x-2)+4過定點B(2,4)；當直線繞點B按順時針旋轉至直線與圓相切，當直線與圓的一個交點在弧線MT之間都滿足題目要求，符合題意；

而交點M在直線y=1上，因此可算出M點的坐標，即M(-2，1)；

例題1

直線BM可用點斜式法計算出來，kMB=3/4，即點M到點A之間的距離等于半徑；

列等式∣1+2k-4∣/√(1+k2)，可解得kBT=5/12。因此，k∈(5/12,3/4]。

(二)解析幾何不等式問題

運用數形結合法解決解析幾何中的不等式問題主要是將原不等式化解，通常能化解為某個曲線方程，然后將曲線方程在數軸上表示，注意計算過程中值域與定義域，然后幾個圖形的交集就是該不等式的解集。

例題2：解不等式：√(16-x2)+√(8x-x2)>4。

解析：將原不等式變形，得√(16-x2)>4-√(8x-x2)，此式子與原不等式等價；

例題2

觀察可知這兩個式子都是半圓，在直角坐標系中表示出來；

如例題2所示，兩個半圓之間的交集就是原不等式的解集，即，{x|0

三、結語

基于上述可知，合理運用“數”“形”結合的方法，對于解析幾何的答題速度與準確度都有著相當大的優勢，其不僅能夠減少運算量，還能顯著節省答題時間，提高解題正確率。

(作者單位：長沙市明德中學K323班)

參考文獻：

[1]申玉麗.新課標下對高一學生數形結合思想理解的研究[D].華東師范大學，2010.

[2]涂釗榕.高中數學中函數與方程思想的研究[D].福建師范大學，2012 .