充分發(fā)揮數(shù)學公式的教學功能

趙和平

數(shù)學公式是人們在研究自然界物與物之間時發(fā)現(xiàn)的一些聯(lián)系，并通過一定的方式表達出來的一種表達方法。它是數(shù)學基礎(chǔ)知識的重要組成部分。教師如能在數(shù)學公式教學中樹立將公式作為載體的觀念，引導(dǎo)學生注重展示公式的形成過程，掌握公式的結(jié)構(gòu)特征，揭示公式之間的聯(lián)系，熟悉公式的各種變換，靈活應(yīng)用公式，學會由淺入深、由表及里，“順”用、“逆”用公式，達到“變”用與“創(chuàng)”用公式，以巧妙的“活”用代替生硬的“套”用公式，這樣既利于學生對知識的掌握，更有利于提高學生創(chuàng)造性思維能力，充分發(fā)揮數(shù)學公式的教學功能。

一、引入公式，培養(yǎng)學生的觀察能力

引入公式時，絕不能把其當作簡單的文字展示給學生，應(yīng)該注重公式的形成過程，引導(dǎo)學生深刻領(lǐng)悟公式的本質(zhì)特征，讓學生明白公式的來龍去脈，熟悉公式的使用方法和適用范圍，增強運用公式的準確性，這樣還能滲透數(shù)學思想和數(shù)學方法。弄清公式的結(jié)構(gòu)特征，有助于幫助學生正確選用公式，培養(yǎng)學生細致的品質(zhì)和良好的觀察能力。如在“等差數(shù)列求和公式”中，可先講一個數(shù)學小故事：德國的“數(shù)學王子”高斯在小學讀書時，老師出了一道算術(shù)題“1+2+3+……+100=？”老師剛讀完題目，高斯就在他的小黑板上寫出了答案：5050，其他學生還在一個數(shù)一個數(shù)地挨個相加呢。那么高斯是用什么方法解得這樣快呢？由此可以啟發(fā)學生利用他們的觀察能力，發(fā)現(xiàn)其中的奧秘，進而探究出等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)。

二、“順”用公式，培養(yǎng)學生的運算能力

直接套用公式是掌握數(shù)學公式的起步，分清公式的使用范圍和條件是掌握數(shù)學公式的前提，在教學中不能忽視對公式的直接套用。現(xiàn)行教材中配備了不少“順”用公式的例題、習題，學生在直接套用時會注意分析公式的特點，有利于對公式的再辨認和認識。直接套用公式時要注意公式中字母的廣泛代表性，除了可以表示為數(shù)和字母外，還可以表示為單項式、多項式、根式等。經(jīng)過這樣有意識地強化訓練后，學生不僅應(yīng)用時能準確無誤、得心應(yīng)手，也為“逆”用公式、“變”用公式、“活”用公式和“創(chuàng)”用公式，進一步提高了學生的運算能力。例如：一項工程甲承包的概率為1/3，乙承包的概率為1/4，丙承包的概率為1/5，求甲、乙、丙三家公司中有一公司承包的概率。

分析：三個公司承包同一工程，若被其中一個公司承包了，就不可能被另一個公司承包，故三公司承包同一工程這一事件屬于互斥事件。設(shè)“甲承包工程”“乙承包工程”“丙承包工程”分別為事件A、B、C，則可以直接用公式：

P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）=1/3+1/4+1/5=47/60得出結(jié)果。

三、“逆”用公式，培養(yǎng)學生的逆向思維能力

教學中我們也經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，有些學生對所學的數(shù)學公式只會從左到右，出現(xiàn)“左撇子”現(xiàn)象，形成一種思維定式，影響了公式應(yīng)用的靈活性，導(dǎo)致由右向左“逆”用學生不習慣，所以教學中應(yīng)有意識地加強學生“逆”用公式的習慣和能力。“逆”用公式有時還能化繁為簡、化難為易，收到事半功倍的效果。在“逆”用公式的教學中應(yīng)注意以下兩點：（1）先使學生明確每個公式的逆命題是否正確，并注意其成立的條件。（2）通過公式的正逆比較，使學生明確有些題目逆用公式來解比較簡便，以擺脫正向思維定式的影響，培養(yǎng)學生的逆向思維。

四、“變”用公式，培養(yǎng)學生的化歸能力

為了能在更廣闊的背景下運用公式，需要對公式進行各種變形，從而產(chǎn)生不同形式的新公式。這些新公式雖未能躋于課本公式之列，卻具有較強的應(yīng)用功能，在解題時常常能起到化繁為簡、化難為易的作用。所以對這些新公式，在教學時要引導(dǎo)學生去發(fā)現(xiàn)、尋找，讓學生熟悉各種變形，使學生在解題時根據(jù)隨時出現(xiàn)的問題的結(jié)構(gòu)特征、表示形式、數(shù)量關(guān)系等信息，及時聯(lián)想有關(guān)公式及其變形來尋求解題捷徑。如三角的有關(guān)化簡、求值等都可以靈活通過對公式的各種變形進行解題，這可以培養(yǎng)學生們的劃歸轉(zhuǎn)化能力。

五、“活”用公式，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力

活用不同的公式，將會產(chǎn)生不同的解題效果。這對提高學生的分析問題、解決問題的能力大有裨益，有利于學生尋求最佳的解題方法，也能開闊學生的思路，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維、聯(lián)想和創(chuàng)新能力的有效方法之一。如在三角函數(shù)式的化簡中我設(shè)計了這樣的例題：

化簡：sin2αsin2β+cos2α+cos2β-1/2cos2αcos2β。

對于這個例題，我引導(dǎo)學生從四個不同的思路出發(fā)。思路一：復(fù)角→單角，從“角”入手；思路二：從“名”入手，異名化同名；思路三：從“冪”入手，利用降冪公式先降次；思路四：從“形”入手，利用配方法，先對二次項配方。通過此題，不僅讓學生進一步加深了對三角函數(shù)中同角基本關(guān)系式、兩角和（差）公式、二倍角公式以及降冪公式等有關(guān)基礎(chǔ)知識的理解，并且把這些知識形成網(wǎng)絡(luò)，弄清了它們間的聯(lián)系。要讓學生從一題多解中深入思考，抓住問題的本質(zhì)，掌握問題的規(guī)律，使學生的數(shù)學思維得到訓練和發(fā)展。

（作者單位：內(nèi)蒙古和林格爾縣第一中學）