大口徑傳輸反射鏡在裝配緊固力下的面形誤差分析

李桂華　王　輝　熊　召　高　亮　曹庭分　周　海

1.華中科技大學數字制造與裝備技術國家重點實驗室，武漢，4300742.清華大學，北京，100084　　3.中國工程物理研究院，綿陽，621900

大口徑傳輸反射鏡在裝配緊固力下的面形誤差分析

李桂華1王輝2熊召3高亮1曹庭分3周海3

1.華中科技大學數字制造與裝備技術國家重點實驗室，武漢，4300742.清華大學，北京，1000843.中國工程物理研究院，綿陽，621900

400 mm級通光口徑的大型傳輸反射鏡是我國在建的高功率固體激光裝置中的關鍵部件，反射鏡的面形精度對最終的激光打靶精度有直接影響。針對反射鏡所采用的螺紋緊固型裝配固定方式，通過結構有限元分析和波面擬合方法研究了理論螺紋緊固力和反射鏡面形變化定量作用規律。考慮零部件的制造誤差、材料以及人為操作等變化因素的影響，實際中各個螺釘的緊固力在一定范圍內呈隨機分布，基于蒙特卡羅模擬仿真方法研究了實際螺釘緊固力的不確定性對反射鏡面面形精度的影響，得出了滿足面形精度要求的臨界緊固力大小，為現場反射鏡裝配工藝的校準和優化提供了理論借鑒。

大口徑反射鏡; 裝配; 面形精度; 蒙特卡羅仿真

Abstrct: In China’s high power solid laser facility, precision mounting of 400 mm class large reflecting mirror is very important for the final targeting accuracy of laser beams. Considering that the reflecting mirror was mounted with screws array, the mathematical relationship among nominal fastening forces and the reflector surface deformation was studied with FEM method and wavefront polynomial methodologies. Furthermore, taking some real world factors such as, manfuactring errors, material properties and manual operations-into account, there was a random distribution within a wide range for real fastening forces even under same tightening torque. So a Monte-Carlo simulation method was proposed to predicate the impact of the uncertain fastening forces on the reflector’s surface deformation. Additionally, the force limitation was also obtained to control the surface deformation, which can be used to guide practical reflector precsion assembly.

0　引言

我國在建的大型高功率固體激光裝置中，通光口徑達到400 mm級的大口徑傳輸反射鏡主要用來執行高能激光束的引導與傳輸，因此，反射鏡在光路中的裝校精度會直接影響最終激光束的打靶精度。為了滿足最終光路的打靶精度，必須保證反射鏡在整個光路系統中的方位精度和反射鏡的面形精度[1-4]，因此對反射鏡的裝配有嚴格的工藝要求，具體有兩個性能要求：夾持穩定性和面形精度。夾持穩定性是指裝夾完畢后的反射鏡，經過運輸振動和姿態旋轉后，其法線相對鏡框的角度改變量，這里要求反射鏡法線相對鏡框的角度變化應小于10″，即50 μrad；面形精度是指反射鏡夾持后其面形滿足波前指標要求，即波峰-波谷(peak-valley,PV)值小于1/(3λ)(λ為檢測激光的波長，取λ=0.6328 μm)。

反射鏡裝配過程可分為定位和夾緊，裝配前零件的生產加工滿足了定位精度要求；夾緊力主要是保證裝配后的定位精度不被破壞，即裝配的夾持穩定性，在這里是通過螺釘預緊實現的。在螺釘預緊力的作用下，鏡體會發生變形，PV值增大，面形精度惡化，從而影響激光束的傳輸特性，因此研究螺釘預緊力與面形精度之間的關系，確定合理的裝配緊固方案，對提高反射鏡及激光束組的裝校精度有重要意義。

1　有限元分析模型的建立

反射鏡主要結構如圖1所示。影響反射鏡面形精度的主要因素有三個：一是在鏡面加工中產生的原始面形誤差；二是由于反射鏡自身重力引起的附加面形誤差；三是裝配過程中由螺釘緊固力引入的面形誤差。這里反射鏡面的加工誤差不予考慮，利用有限元分析軟件ANSYS分析自重和螺釘緊固力對鏡面面形的影響，該反射鏡尺寸為610 mm×440 mm×85 mm，材料為K9，材料的彈性模量為88 GPa，泊松比為0.215，密度為2520 kg/m3。

圖1　反射鏡結構(鏡框四周側面均布96個螺紋孔)

施加的載荷為反射鏡自身重力、側面和頂面的螺釘作用在反射鏡上的正壓力(底面的螺釘起位移約束作用)，在ANSYS中建立的有限元模型如圖2所示。理想情況下每個螺釘施加的力大小相同。將壓力以4 N的步長逐漸從0加到600 N，進行150次的結構分析，分別可以得到圖3所示的反射鏡整體形變。表1所示為通過結構分析得到的變形后鏡面上的節點數據，這些數據將用于反射鏡面形的擬合分析。

圖2　反射鏡有限元模型

圖3　一次仿真的反射鏡整體形變

節點X向坐標(mm)Y向坐標(mm)Z向(法線方向)坐標(nm)936264.2531718328-190.1556439500-6.87594775787937276.5385690060177.139066417110.81943700536938-264.2531664244190.155591053011.30908395998939-276.4739142669-177.2997257465-4.91054342026940-276.6879161078177.170323006510.42591599426941-292.1133405863186.590412694410.45142229798942-273.0508399636206.590412598811.80764556153????

2　反射鏡面的波面擬合和面形誤差分析

2.1波面擬合

圖3所示的反射鏡的整體形變體現了其波前像差，包括了諸如平移量、傾斜量、離焦、像散、慧差、球差等。由于光學元件波前像差影響激光光束的波前質量和聚焦能力，因此控制波面誤差就成為光學系統集成裝校的一個關鍵問題。在波前像差中，平移量和傾斜量是剛性位移，進行反射鏡面形分析時一般不直接由鏡面上節點的Z向位移計算，而是將剛性位移項從面形數據中分離出來，在校準工序中對剛性位移進行補償。對于離焦與像散等項目，美國NIF(national ignition facility)在研究過程中提出將光學元件的此類低級誤差從面形數據中分離出來，然后從激光長程光路的整體性能出發，末端配置變形鏡，通過波面擬合方法對系統進行整體補償[5]。

波面擬合就是選擇一個線性無關的基底函數系Z(x,y)對由有限元分析得到的反射鏡面形變化的離散節點數據進行擬合，用連續的函數w(x,y)表示被測元件的面形[6]。傳統的波面擬合采用的是Zernike多項式擬合方法，表示為

w(x,y)=q1Z1(x,y)+q2Z2(x,y)+…+

qnZn(x,y)=q ZT

(1)

其中，q=(q1,q2,…,qn)T為Zernike多項式系數；Z=(Z1(x,y),Z2(x,y),…,Zn(x,y))為n項Zernike多項式。

光學元件的剛性位移、離焦與像散等項目可以用Zernike多項式的前6項表示：

Z=(1,x,y,2(x2+y2)-1,x2-y2,2xy)

(2)

其中，Z1為常數項，表示沿Z方向的位移；Z2為x方向傾斜項；Z3為y方向傾斜項；Z4為離焦項；Z5為像散項，軸線方向為0°和90°；Z6為像散項，軸線方向為±45°。

以Z(取前6項)為基底擬合波面，擬合公式為

w(x,y)=q1+q2x+q3y+q4(x2+y2)+

q5(x2-y2)+q6xy

(3)

將變形后的節點坐標代入式(3)，反射鏡面上節點個數為719，則可以得到719個方程，而未知量只有6個。矛盾方程組一般不存在通常意義下的解，可利用最小二乘法來求得參量q=(q1,q2,…,qn)T，得到擬合的波面。

2.2面形誤差分析

光學元件的面形精度通常用波峰-波谷(PV)值和均方根(root sum square, RMS)值來表征。PV值對應的是波面峰值和谷值之間的差，RMS值體現了波面的變化的快慢，計算公式分別為[7]

EPV=maxdi-mindi

(4)

(5)

式中，di為節點i到理想波面的法向距離；Ai為與節點i關聯的單元面積；At為總面積；N為總的單元節點數。

ANSYS中劃分網格采用的是均勻劃分的方式，所以RMS值可以簡寫為

(6)

(a)PV值

(b)RMS值1.初始面形　2.移除剛性位移后的面形3.移除剛性位移、離焦和像散項后的面形圖4　PV值和RMS值與螺釘緊固力F間的關系

根據表1中的節點坐標可以得到的原始PV值和RMS值，通過波面擬合可以得到移除剛性位移后的PV值和RMS值以及移除離焦與像散項的PV值和RMS值，如圖4所示。可以看出，緊固力F大于20N時各項PV值和RMS值均與壓力值成線性關系。同等面形精度要求下，移除離焦與像散項后對應的壓力值最大，也就是移除離焦與像散項后面形精度明顯提高，從而提高了所允許的緊固力的上限，增加了穩定性。因此，面形精度分析參考美國NIF中光學元件的面形分析方法分離出波面中的低級誤差離焦與像散項，反射鏡面形精度要求為波面移除離焦與像散項后殘余的面形PV值小于1/(3λ)即211nm。

3　基于蒙特卡羅法的螺釘緊固力不確定性分析

3.1螺釘緊固力的不確定性

反射鏡采用了近百個鎖緊螺釘密集排布夾緊的方式，以實現均勻預緊。單個螺釘的緊固力與安裝扭矩之間的關系為[8]

(7)

式中，Ts為螺紋扭矩；D2為螺紋的中徑；P為螺距；μs為螺紋摩擦因數；β為螺紋牙側角(多取30°)。

根據螺紋緊固的基本理論，擰緊力矩與螺栓緊固力成線性關系，根據擰緊力矩就可得出緊固力。但實際中由于零部件工藝、材料、接觸條件及安裝順序等的影響，在等擰緊力矩下，緊固力的離散性比較大，因此，通過擰緊力矩來控制螺栓緊固力的控制精度不高，其誤差約為±25%，最大可達±40%[9]。因此需要研究緊固力的不確定性對鏡面面形精度的影響。

3.2蒙特卡羅仿真

蒙特卡羅(MonteCarlo)方法亦稱為隨機模擬方法、隨機抽樣技術或統計試驗方法，是一種基于概率論數理統計，通過隨機變量的統計試驗、隨機模擬來求解問題近似解的數值方法[10]，因此蒙特卡洛法被廣泛應用于不確定性的分析中，其一般分析流程如圖5所示。

圖5　蒙特卡羅仿真流程

螺釘緊固力的理論值用Fn表示，緊固力誤差用p表示，緊固力的分布區間為[Fn(1-p),Fn(1+p)]，假定緊固力在這一區間內呈隨機分布，利用ANSYS中的RAND()函數可以實現對緊固力的模擬。

3.3螺釘緊固力誤差對面形的影響

將緊固力的理論值設為350N，緊固力誤差p分別設為15%、20%、25%、30%、35%五個等級，對應不同的分布范圍，分別進行500次的隨機仿真，研究不同的緊固力誤差p對面形精度的影響。緊固力的理論值為350N時，在不同的緊固力誤差下得到波面移除離焦和像散項后的殘余PV值和RMS值樣本，如圖6所示。圖7中的頻率分布直方圖直觀地體現了PV值樣本的分布規律，本文分別假定樣本呈正態分布和對數正態分布，進行分布擬合，得到對應的概率密度函數。從圖7中可以看出對數正態分布可以更好地擬合樣本，這是因為500次仿真的PV值并非嚴格地呈正態分布，而是呈正偏態分布，而對數正態分布是一種典型的正偏態分布；本文利用柯爾莫哥洛夫-斯摩洛夫(K-S)檢驗[11]對假設進行驗證，驗證置信度為0.05時原假設是否成立(在MATLAB中運用K-S檢驗函數kstest()進行處理，若返回值H=0則可以接受原假設，H=1則不能接受原假設)。從表2中可以看出，大多數情況下的樣本不能假定為正態分布，而所有情況均可以假定為對數正態分布。

(a)PV值

圖6 Fn=350 N時不同緊固力誤差p下的仿真結果

(a)p=15%

(b)p=20%

(c)p=25%

(d)p=30%

(e)p=35%

圖7Fn=350 N時不同緊固力誤差下的仿真結果分布

由表2可以看出，隨著緊固力誤差p的增大，螺釘緊固力分布范圍變大，樣本的對數均值μ和對數標準差σ隨之增大，PV值的超標率(PV值大于211 nm的概率)增大。對于正態分布，根據3σ原則，可以將上限LU定義為

LU=μ+3σ

對數正態分布的累計概率函數為

表2　Fn=350 N時仿真統計結果

故反射鏡的面形PV值的上限可以表示為

EPVU=eμ+3σ

這樣可以得到不同緊固力誤差下的PV值上限EPVU，EPVU隨螺釘緊固力誤差的增大呈近似線性增長，如圖8所示。

圖8　Fn=350 N時緊固力誤差對PV值的影響

4　反射鏡裝配工藝的確定

4.1螺釘安裝力矩的確定

由上述分析可以得到，螺釘緊固力誤差是影響反射鏡面形精度的重要因素，為了提高面形精度，需要盡可能地減小緊固力誤差。實際裝配過程中，為保證螺釘的緊固力均勻一致，采用精度為2%的力矩扳手進行等扭矩擰緊，可以將螺釘的緊固力誤差控制住±25%之內。為了得到在此條件下合適的理論螺釘緊固力，研究了不同理論緊固力對鏡面面形的影響。在±25%的螺釘緊固力誤差下，將理論緊固力分別設為180 N、220 N、260 N、300 N和340 N，分別進行500次仿真計算，得到圖9所示的仿真結果。

(a)PV值

(b)RMS值

圖9p=±25%時不同理論緊固力下的面形誤差模擬結果

對仿真得到的樣本進行對數正態分布擬合，進行統計分析，表3顯示了其統計結果。由圖10可以看出，在一定緊固力誤差下，PV值隨理論緊固力的增大呈近似線性增大，由擬合的直線可以得到，當PV值上限EPVU為211 nm時，理論緊固力為221.4 N，因此可以在實際裝配中將螺釘的理論緊固力設置為221.4 N。反射鏡組件中用到的螺釘材料為C1-70，鏡框的材料為5A06，而鋼和鋁無潤滑時的摩擦因數為0.3，取螺紋當量摩擦因數μs=0.3，查機械設計手冊可知，D2=5.513 mm，P=0.75 mm，β=30°，根據螺釘緊固力與安裝扭矩公式，計算出螺釘的安裝扭矩為237.862 N·mm。

表3　p=±25%時的仿真統計結果

圖10　p=±25%時Fn對PV值的影響

4.2實例驗證

實際工程中由于扭矩扳手的讀數顯示精度問題，選定的螺釘安裝扭矩為230±5 N·mm，分別對10塊反射鏡進行裝配，用大口徑干涉儀對裝配完成的反射鏡進行面形檢測，測得的分離出離焦和像散項后的面形殘余PV值如圖11所示，230±5 N·mm的螺釘安裝扭矩下，10塊反射鏡的面形PV值均小于211 nm，上述反射鏡裝配時的螺釘緊固方案得到了驗證。

圖11　面形測量結果

5　結語

針對高功率固體激光器中的大口徑反射鏡，通過結構分析和面形擬合進行了面形精度分析。首先針對理想情況(即螺釘緊固力均勻)研究了面形中沒有分離出離焦與像散以及分離出離焦與像散后的面形PV值和螺釘緊固力之間的關系，然后針對實際中螺釘緊固力的不均勻，提出了用蒙特卡羅方法分析螺釘緊固力的不確定性對鏡面面形的影響。研究發現，面形中分離出離焦與像散項后可以很大程度地增大裝配所允許的緊固力，從而提高反射鏡組件的穩定性；當螺釘緊固力在一定范圍內隨機分布時，多次仿真得到的面形PV值用對數正態分布可以較好地擬合，且隨著螺釘緊固力誤差的增大，螺釘緊固力的分布范圍變大，面形PV值超標率也變大，根據3σ原則得到的PV值的上限隨螺釘緊固力誤差的增大近似呈線性增大，故改進螺釘緊固力的精度可以提高面形精度。

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(編輯蘇衛國)

Surface Error Analysis of Large Reflecting Mirror under Assembly Fastening Forces

Li Guihua1Wang Hui2Xiong Zhao3Gao Liang1Cao Tingfen3Zhou Hai3

1.State Key Laboratory of Digital Manufacturing Equipment and Technology,Huazhong University of Science and Technology,Wuhan,430074 2.Tsinghua University,Beijing,100084 3.China Academy of Engineering Physics,Mianyang,Sichuan,621900

large reflecting mirror; assembly; surface accuracy; Monte-Carlo simulation

2014-05-21

TH16DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.09.008

李桂華，女，1989年生。華中科技大學機械科學與工程學院碩士研究生。主要研究方向為光學裝備的計算機輔助精密裝配技術。王輝(通信作者)，男，1977年生。清華大學機械工程系副研究員。熊召，男，1983年生。中國工程物理研究院激光聚變中心助理研究員。高亮，男，1974年生。華中科技大學機械科學與工程學院教授。曹庭分，男，1977年生。中國工程物理研究院激光聚變中心助理研究員。周海，男，1969年生。中國工程物理研究院激光聚變中心研究員。