有交易費和隨機分紅的多因素期權定價模型

秦浩洋 楊澤霖 龐睿康

(1.3.西安交通大學數學與統計學院，陜西 西安 710049;2.西安交通大學金禾經濟研究中心，陜西 西安 710049)

一、經典Black-Scholes期權定價模型

期權是一種特殊的金融衍生品，它賦予持有人在特定時期以確定的價格買入或賣出一種標的資產的權利。看漲期權是以某一確定的價格買入一項資產的權利;看跌期權是以某一確定的價格賣出一項資產的權利。期權執行的日期叫到期日;期權執行時支付給標的資產的價格叫做執行價格。美式期權可在到期日之前任何時間執行，歐式期權只能在到期日執行。

為推導Black-Scholes期權定價模型，作以下假設:

①標的資產的價格S遵循布朗運動，即S滿足dS=μSdt+δSdz，其中是一個維納過程，滿足;②在期權的有效期內無風險利率r和標的資產價格S的波動方差率是時間的已知函數;③套期保值沒有交易成本;④滿足無套利原理，無風險利率為r;⑤在期權的有效期內不支付紅利;⑥標的資產可以連續交易;⑦允許賣空，資產可以細分。

假設是基于S的歐式看漲期權價格，由ITO引理可以得到:

構造一個包含f(S，t)和S在內的投資組合，這個投資組合的持有者賣空一份價格為f(S，t)的期權，買入數量為的股票(這個數量的確定方法將在下文給出)。此時該投資組合的價格為

將式子的兩邊對t求微分，得到

將以上各式帶入可得到

利用無套利原理，可以得到

帶入上式即得到經典的B-S模型

邊界條件為c=max(Sr-E，0)

這是一個熱傳導方程，利用fourier變換可以求得其解析解

c=SN(d1)-Ee-r(T-t)N(d2)

其中，N(*)表示均值為0，標準差為1的標準正態分布分布函數，其中

由于方程中不含有投資者的風險偏好量μ，故在期權定價中，可以采取任意一種風險偏好(一般采用中性風險偏好)，這是B-S模型的一個重要性質

最后，我們來說明投資組合Π的確定方式，利用待定系數法:假定我們的投資組合為賣空一份價格為f(S，t)的期權，買入a份價格為S的股票(a為待定常數)，那么該投資組合的價值為

Π=-f+aS

同樣在等式兩邊對t求微分，并帶入以上各式，得到

然而根據無套利原理，在無風險利率確定的情況下，dΠ是一個確定量，所以當中不能含有隨即項dS，所以只有

至此，我們回顧了經典的B-S模型的推導，并對其中投資組合的構造方法做了更進一步的討論。基于此，在下一個部分中，我們將給出多個標的B-S模型的推導。

二、多因素期權定價模型

為了推導γ1維Black-Scholes期權定價模型，首先證明如下定理。

定理γ1維伊藤引理

設隨機過程{xk(t)，t＞0，k=1，2，…，n}循伊藤過程

dxk=ak(x1，x2，…，xn，t)dt+bk(x1，x2，…，xn，t)dzk，k=1，2，…，n

其中dzk是一個標準維納過程，設G=G(x1，x2，…，xn，t)是x1，x2，…，xn，t的函數，連續可微，則G滿足:

其中ρij是xi，xj之間的相關系數。

證明:設zk=εk，εk～N(0，1)，則εi，εj的相關系數為ρij。由多元函數的Taylor公式，有

由

得:

又

當Δt→0時，

Var(εiεjΔt)=o(Δt)→0

于是εiεjΔt可看作非隨機變量，并且等于數學期望，此時

ΔxiΔxj= ρijbibjΔt+o(Δt)

代入得

令Δt→0且將dxi=aidt+bidzi代入得

設第i種股票價格為SI，滿足dSi=μiSidt+σiSidzi，

且dzidzj=ρijdt

則對期權價格f，有下式:

將dSi=μiSidt+σiSidzi代入得

構造一個包含f=f(S1，S2，L，Sn)和S1，S2，L，Sn在內的投資組合，即賣空一份股票，買入數量為的股票(購買價格為Si的股票份)。則該投資組合的價值為

這里的Π的確定方法與一維經典B-S模型推導中的方法一樣。對上式等式兩邊求微分，

結合無套利原理，有dΠ=rΠdt

帶入上式即可得到n因素的期權定價模型

邊界條件為

cT=max(S1T，S2T，L，SnT，E)-E

對于該方程，當n=1時，即是經典的B-S模型，我們可以很容易求出其解析解;當n=2時，該方程的解析解也可以得到，其解析解為

cT=S1T［N(d1)-N2(-d1，d3;ρ1)］+S2T［N(d2)-N2(-d2，d4;ρ2)］+Ee-r(T-1)［N2(-d1+σ1(T-t)1/2，-d2+σ2(T-t)1/2;ρ)］-Ee-r(T-t)

其中

N(*)和N2(*)分別為一維和二維的標準正態分布函數;對于n＞2的情況，一般難以做出其解析解，所以可以采用數值的方法進行求解。

三、考慮有交易費和隨機分紅的情況

市場上股票的的交易有買入和賣出的費用，買賣的交易費率分別為λ和μ(0≤λ＜1，0≤λ＜1)。即購買價格為s的v股股票，現金支出為(1+λ)sv，出售價格為s的v股股票，現金獲取為(1-λ)sv。

一份彩虹期權的標的為n股股票s=(s1，s2，…，sn)，股=(，，…，)，D票分別在ττ1τ2τn時間隨機分紅分紅的紅利為

=(d1，d2，…，dn)。

彩虹期權在T時刻交割.

投資者選擇自己的買入和賣出的策略集為{L(t)，M(t)}，是一組F-適應的，右連續，非減過程。L(t)表示在t時刻買入L(t)=L(t)份額的股票，M(t)表示在t時刻賣出M(t)份額的股票。

作為理性的投資者，選擇的交易策略應該是有能力償付的策略。定義有償付能力的空間V={(s，x，y)∈Rn+×R1×RYLn+，M|)x∈+(V1，則+稱λ)該sT交y≥易0策，x略+是(1可-行μ)的sT。y≥0}。若(S(t)，XL，M，

當投資者選擇了可行的交易策略{L(t)，M(t)}后，持有股票的份額服從過程為dY(t)=dL(t)-dM(t)，財富變化為W(t)=XL，M(t)+YL，M×s(t)。彩虹

假期定權投，即資為者W的0初=(始1財+富λ)恰(s好1+購s2買+一…份+含sn有)。n顯種然標，的將的所有財富

先購觀買察為其一中份的彩一虹只期標權的是

s。可行的策略。

1

假定基于現有的信息集Ft上，未來時刻的分紅的現值Dτ是可以被無偏估計的，即Dτ=E［Dτ|Ft］e-r(τ-t)，等式中r為無風險利率。

設為了推導出有隨機分紅項的股票現值，設置標的資產為τ時刻的分紅的遠期合約。合約敲定時，空頭和多頭商定在τ時刻多頭支付給空頭FD(t，τ)，而多頭持有者獲得股票的紅利［D|F］。根據有效市場假定，不存在無風險逃離的

τt情況，即分紅遠期合約的現值應該等于，未來時刻的分紅的現值D無偏估計。

τFD(t，τ)=Dτe-r(τ-t)(*)

在初始時刻，空頭(1+λ)s買入一股股票。到時刻，多

1頭獲得紅利Dτ，空頭獲得合約交割價FD(t，τ)，并將這部分。錢購買無風險資產

到T時刻，空頭交出股票，獲得F(t，τ)的合約價(加上交易費后實際獲得(1-μ)F(t，τ))。則空頭的總收益為(1-μ)F(t，τ)+FD(t，τ)er(T-τ)。根據無套利原理，應該等于其初始的現值(1-μ)F(t，τ)+FD(t，τ)er(T-τ)=(1+λ)s1(t)

帶入(*)有

(1-μ)F(t，τ)+Dτe-r(τ-t)er(T-τ)=(1+λ)s1(t)

解得

即彩虹期權中每一只標的股票在現有信息集下隨機分紅后的估計應該是

最后，我們只需要把n維B-S公式中的Si替換成Fi，即可得到有交易費和隨機分紅下彩虹期權的定價公式:

其中

當n=1時，此時的多因素期權與一般的期權相同，其定價公式變為:

其中，N(*)表示均值為0，標準差為1的標準正態分布分布函數，其中

當n=2時，其定價公式為

其中

N(*)和N2(*)分別為一維和二維的標準正態分布函數。

對于N＞2的情況，我們只能求出其數值解，這已經超出了本文的內容，不再討論。

［1］吳永紅.蹇明.葉小青有交易費和隨機分紅時的歐式期版權)，定20價05［，3期3(刊6論)文］-華中科技大學學報(自然科學

［2］吳云.何建敏 多 因素型期權定價模型的研究［期刊論文］-東南大學學報(自然科學版)，2002，32(1)

［3］汪北昌京云，20金13融.衍生工具(第二版)中國人名大學出版社，

［4］Joseph Stampfli.Victor Goodman(著)，蔡明超(譯)金融數學機械工業出版社，北京，2004.