薛東梅

我們知道,高中數(shù)學學科知識的系統(tǒng)性、推理的嚴密性對培養(yǎng)學生的邏輯思維能力很有好處。同時,如果我們在教學中努力踐行一題多解或是一題多變的教學方法,對培養(yǎng)學生的發(fā)散思維也不無益處。前不久,筆者有幸參加了我縣高中數(shù)學優(yōu)質課教學觀摩活動,聆聽了十幾位優(yōu)秀教師的觀摩課,對他們在課堂上引導學生從不同的角度去求解,或是將一道題目變化出多種形式供學生思考,積極培養(yǎng)學生思維的教學方法留下了深刻印象。現(xiàn)將此次觀摩活動中一些精彩之處實錄如下,以饗讀者。
一、一題多解訓練學生數(shù)學思維
在第一堂觀摩課上,教師板書了例題:
例:已知x、y≥0且x+y=1,求x2+y2的取值范圍。
先讓學生通過小組合作解答。很快,一學生上臺寫出了如下的解答方案:
解:由x+y=1得y=1-x,則
當cos4θ=1時,x2+y2取最小值1。
這三種方法,都是通過函數(shù)觀點來求最值,在解題的本質上都是一樣的,只是采用了不同的換元方式而已,但一轉換,就導致了化簡、運算量大小不同。這種引導學生從不同的角度去求解,對一道題目從不同角度去解答,尋求多種解法,在潛移默化中有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和解題思路,在無形之中發(fā)展了學生的數(shù)學思維,對提高學生分析問題、解決問題的能力很有益處。此外,若是課堂上還有多余的時間,教師還可以運用基本不等式和數(shù)形結合的思想來解答此題,那樣對培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力更會產(chǎn)生積極的作用。
二、一題多變訓練學生數(shù)學思維
在高中數(shù)學教學中,我們除了可以通過一題多解的方法訓練學生的思維外,還可以通過將一道題目加以變化的方法,通過聯(lián)想、類比、延伸,將一道題變化出許多新的題目,來訓練學生的數(shù)學思維。恰好在第二堂觀摩課上,授課老師就借助第一堂中的那道例題,采用一題多變的方法來訓練學生的數(shù)學思維,實錄如下:
例:已知x、y≥0且x+y=1,求x2+y2的取值范圍。
針對上述例題,這位教師沒有給學生太多的思考時間,運用前面談到的對稱換元方法求出了最值后,PPT顯示了以下三個變式題,供學生思考、討論、解答。
1:已知x、y≥0且x+y=1,能求x8+y8的取值范圍嗎?x8+y6呢?x7+y7的范圍能求嗎?
2:已知a、b為非負數(shù),M=a4+b4,a+b=1,求M的最值。
3:若x、y≥0且x+y=1,能求得≤xn+yn≤1的結論嗎?
之后,教師讓學生展開討論,利用前面例題的特殊性,逐步將學生的思維引向一般化,從而得出了一般性的結論。這種將典型例題進行充分挖掘,借助例題進行變式教學的方式,既可以很好地鞏固基礎知識,又可以有效地訓練學生的思維能力,還可以使學生養(yǎng)成舉一反三、觸類旁通的習慣。對學生數(shù)學思維能力的提高,增強對數(shù)學學習的興趣都是大有裨益的。
因此,在平時的高中數(shù)學課堂教學中,我們不一定非要通過題海戰(zhàn)術來夯實學生的基礎,提高學生的成績,因為數(shù)學題是做不完的。只有采取上述的一題多解或是一題多變的方法,重在培養(yǎng)學生的數(shù)學思維的廣度、深度,從根本上解決問題,才能事半功倍地提高數(shù)學課的教育教學質量。
如在課后給學生布置作業(yè)時,我們能否不再給學生布置大量的習題,讓學生負擔很重,忙于應付。我們教師完全可以將書上的一些習題進行有目的的演變,逐漸加深,讓學生通過前后有聯(lián)系的題目的解題,掌握一些規(guī)律。完全可以把變式題布置給學生,讓學生運用一題多解,一題多變的方式來掌握一些數(shù)學知識及解題規(guī)律。
例如,在學習了拋物線后,在習題中出現(xiàn)了以下一題:
過拋物線y2=2px 焦點的一條直線和這條拋物線相交,設兩個交點縱坐標為y1,y2,求證:y1y2=-p2。(設線段AB為過拋物線焦點的弦)
此題證明并不難,但其結論卻很有用,關鍵是運用其結論。在布置此題給學生時我們便可以有針對性地演變。如變成:
1.證明:過拋物線焦點弦兩端點的切線與拋物線的準線,三點共線。
2.證明:拋物線焦點弦中點與其端點切線的交點連結線段,等于焦點弦長的一半,并且被這條拋物線平分。
3.證明:拋物線焦點弦中點與其端點切線的交點的連線,平行于拋物線的對稱軸。
另外,我們還可以讓學生自己變式,便還可能出現(xiàn)如下變式:
1.證明:拋物線的準線是其焦點弦兩端點的切線的交點的軌跡。
2.證明:過拋物線焦點一端,作準線的垂線,那么垂足、原點以及弦的另一端點,三點共線。
3.證明:拋物線焦點弦兩端點的切線互相垂直。
我堅信,只要我們循序漸進,逐步訓練,學生的思維能力就會逐步提高,解答問題的能力自然也會得到訓練,教學效果更會好一些。總之,只要我們在平時的數(shù)學課堂教學中,力求從培養(yǎng)學生的數(shù)學思維的角度出發(fā),想方設法地設計教學內容,精選例題,一題多變,一題多解,相信學生的數(shù)學思維一定會得到提高的。
(責編 金 東)