淺談高中數學教學中學生思維的培養

薛東梅

我們知道，高中數學學科知識的系統性、推理的嚴密性對培養學生的邏輯思維能力很有好處。同時，如果我們在教學中努力踐行一題多解或是一題多變的教學方法，對培養學生的發散思維也不無益處。前不久，筆者有幸參加了我縣高中數學優質課教學觀摩活動，聆聽了十幾位優秀教師的觀摩課，對他們在課堂上引導學生從不同的角度去求解，或是將一道題目變化出多種形式供學生思考，積極培養學生思維的教學方法留下了深刻印象。現將此次觀摩活動中一些精彩之處實錄如下，以饗讀者。

一、一題多解訓練學生數學思維

在第一堂觀摩課上，教師板書了例題：

例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范圍。

先讓學生通過小組合作解答。很快，一學生上臺寫出了如下的解答方案：

解：由x+y=1得y=1-x，則

當cos4θ=1時，x2+y2取最小值1。

這三種方法，都是通過函數觀點來求最值，在解題的本質上都是一樣的，只是采用了不同的換元方式而已，但一轉換，就導致了化簡、運算量大小不同。這種引導學生從不同的角度去求解，對一道題目從不同角度去解答，尋求多種解法，在潛移默化中有助于培養學生的數學思維和解題思路，在無形之中發展了學生的數學思維，對提高學生分析問題、解決問題的能力很有益處。此外，若是課堂上還有多余的時間，教師還可以運用基本不等式和數形結合的思想來解答此題，那樣對培養學生數學思維能力更會產生積極的作用。

二、一題多變訓練學生數學思維

在高中數學教學中，我們除了可以通過一題多解的方法訓練學生的思維外，還可以通過將一道題目加以變化的方法，通過聯想、類比、延伸，將一道題變化出許多新的題目，來訓練學生的數學思維。恰好在第二堂觀摩課上，授課老師就借助第一堂中的那道例題，采用一題多變的方法來訓練學生的數學思維，實錄如下：

例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范圍。

針對上述例題，這位教師沒有給學生太多的思考時間，運用前面談到的對稱換元方法求出了最值后，PPT顯示了以下三個變式題，供學生思考、討論、解答。

1：已知x、y≥0且x+y=1，能求x8+y8的取值范圍嗎？x8+y6呢？x7+y7的范圍能求嗎？

2：已知a、b為非負數，M=a4+b4，a+b=1，求M的最值。

3：若x、y≥0且x+y=1，能求得≤xn+yn≤1的結論嗎？

之后，教師讓學生展開討論，利用前面例題的特殊性，逐步將學生的思維引向一般化，從而得出了一般性的結論。這種將典型例題進行充分挖掘，借助例題進行變式教學的方式，既可以很好地鞏固基礎知識，又可以有效地訓練學生的思維能力，還可以使學生養成舉一反三、觸類旁通的習慣。對學生數學思維能力的提高，增強對數學學習的興趣都是大有裨益的。

因此，在平時的高中數學課堂教學中，我們不一定非要通過題海戰術來夯實學生的基礎，提高學生的成績，因為數學題是做不完的。只有采取上述的一題多解或是一題多變的方法，重在培養學生的數學思維的廣度、深度，從根本上解決問題，才能事半功倍地提高數學課的教育教學質量。

如在課后給學生布置作業時，我們能否不再給學生布置大量的習題，讓學生負擔很重，忙于應付。我們教師完全可以將書上的一些習題進行有目的的演變，逐漸加深，讓學生通過前后有聯系的題目的解題，掌握一些規律。完全可以把變式題布置給學生，讓學生運用一題多解，一題多變的方式來掌握一些數學知識及解題規律。

例如，在學習了拋物線后，在習題中出現了以下一題：

過拋物線y2=2px 焦點的一條直線和這條拋物線相交，設兩個交點縱坐標為y1，y2，求證：y1y2=-p2。（設線段AB為過拋物線焦點的弦）

此題證明并不難，但其結論卻很有用，關鍵是運用其結論。在布置此題給學生時我們便可以有針對性地演變。如變成：

1.證明：過拋物線焦點弦兩端點的切線與拋物線的準線，三點共線。

2.證明：拋物線焦點弦中點與其端點切線的交點連結線段，等于焦點弦長的一半，并且被這條拋物線平分。

3.證明：拋物線焦點弦中點與其端點切線的交點的連線，平行于拋物線的對稱軸。

另外，我們還可以讓學生自己變式，便還可能出現如下變式：

1.證明：拋物線的準線是其焦點弦兩端點的切線的交點的軌跡。

2.證明：過拋物線焦點一端，作準線的垂線，那么垂足、原點以及弦的另一端點，三點共線。

3.證明：拋物線焦點弦兩端點的切線互相垂直。

我堅信，只要我們循序漸進，逐步訓練，學生的思維能力就會逐步提高，解答問題的能力自然也會得到訓練，教學效果更會好一些。總之，只要我們在平時的數學課堂教學中，力求從培養學生的數學思維的角度出發，想方設法地設計教學內容，精選例題，一題多變，一題多解，相信學生的數學思維一定會得到提高的。

（責編 金 東）