分析二次函數(shù)中系數(shù)的作用

王欣

一、注意函數(shù)中對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的條件限制

例1.若函數(shù)是二次函數(shù)，求k的值。

解：由題意可得k2-3k+2=2，解之得k1=0，k2=3。∵當(dāng)k=3時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)k-3=3-3=0，不合題意，∴符合題意的k的值為k=0。

例2.若二次函數(shù)有最大值為0，求m的值。

解：由題意可知，該函數(shù)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，解之得，m2=2。∵當(dāng)m=2時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)m-1=2-1>0，原函數(shù)只有最小值而無最大值，∴符合題意的m的值為。

分析：在根據(jù)題意求得二次函數(shù)中未知字母參數(shù)的具體取值后，必須將其代入二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，如果該字母的取值不符合題意（如：使二次項(xiàng)系數(shù)的值為0或二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)性不滿足題目要求等等），那么這個(gè)值就必須舍去。

二、注意函數(shù)中其它項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)限制

例3.已知對(duì)稱軸在y軸右側(cè)的二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，求k的值。

解：由題意可得k2+k-2=0，解之得k1=-2，k2=1。∵函數(shù)圖象對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴，∴符合題意的k的值為k=1。

例4.若拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），且該拋物線與y軸的交點(diǎn)位于x軸上方，求m的值。

解：由題意，將（3，0）代入拋物線解析式得，解之得m1=4，m2=-1。∵拋物線與y軸的交點(diǎn)位于x軸上方，∴9m>0，即m>0，∴符合題意的m的值為m=4。

分析：在求得二次函數(shù)中未知字母參數(shù)的具體取值后，除了應(yīng)檢驗(yàn)是否使二次項(xiàng)系數(shù)的值為0外，有時(shí)還需根據(jù)題目條件對(duì)一次項(xiàng)系數(shù)或常數(shù)項(xiàng)的符號(hào)進(jìn)行檢驗(yàn)。

三、注意判別式對(duì)字母取值范圍的限制

例5.若拋物線與x軸有A、B兩個(gè)交點(diǎn)，且A、B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，求m的值。

解：由題意可得，解之得m=±6。∵當(dāng)m=-6時(shí)，原函數(shù)即，此時(shí)，不合題意，∴符合題意的m的值為m=6。

分析：在已知拋物線與x軸的有交點(diǎn)（有兩個(gè)交點(diǎn)或一個(gè)交點(diǎn)）或無交點(diǎn)的情況下，求得二次函數(shù)中未知字母參數(shù)的具體取值后，一般還需對(duì)函數(shù)的判別式進(jìn)行檢驗(yàn)。

四、注意函數(shù)中自變量取值范圍的限制

例6.如圖所示，有長(zhǎng)為24m的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長(zhǎng)度a為10m），圍成中間隔有一道籬笆的長(zhǎng)方形花圃，設(shè)花圃的寬AB為x（m），面積為S（m2），求此花圃可圍成的最大面積，并說明理由。

解：由題意可得S=x（24-3x），即S=-3x2+24x。

∵墻的最大可用長(zhǎng)度為10m，∴，解之得。

將原函數(shù)配方成可知，此函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，48），顯然此頂點(diǎn)不在自變量的取值范圍內(nèi)。

∵，且在頂點(diǎn)右側(cè)，函數(shù)圖象逐漸下降（即函數(shù)值S隨自變量x的增大而減小），∴當(dāng)時(shí)，S有最大值，m2。

分析：在實(shí)際問題中求二次函數(shù)的最值（最大或最小值）時(shí)，必須結(jié)合自變量的取值范圍來綜合加以考慮，如果所求函數(shù)的頂點(diǎn)不在自變量的取值范圍內(nèi)，則不能利用配方或頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)公式直接計(jì)算函數(shù)的最值。