基于單胞體模型的復(fù)合固體推進(jìn)劑松弛模量衰減過程數(shù)值模擬

何 濤

(海軍航空裝備計(jì)量監(jiān)修中心，上海200436)

0 引 言

隨著世界軍事科技的發(fā)展，導(dǎo)彈性能的不斷提高，對(duì)固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)性能的要求越來越高。如何在保證固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)裝藥結(jié)構(gòu)完整性的前提下，盡可能地提高發(fā)動(dòng)機(jī)的裝藥量，一直是固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)過程中需要解決的關(guān)鍵問題。要解決該問題，首先必須要展開固體推進(jìn)劑力學(xué)性能的研究。復(fù)合固體推進(jìn)劑是一種多相(基體、增強(qiáng)相、界面相等)復(fù)合材料，其力學(xué)性能受增強(qiáng)相的體積分?jǐn)?shù)及其組分材料性質(zhì)的影響比較大。因此，基于細(xì)觀力學(xué)理論研究復(fù)合固體推進(jìn)劑非線性力學(xué)性能，不僅可以直觀地反映出組分材料的影響，還可以對(duì)其宏觀非線性本構(gòu)關(guān)系的研究提供理論支撐。

復(fù)合固體推進(jìn)劑是一種高填充比的復(fù)合材料。近些年來，隨著計(jì)算機(jī)性能的大幅度提高，計(jì)算細(xì)觀力學(xué)得到了迅速發(fā)展。Matous 等［1-2］在復(fù)合固體推進(jìn)劑顆粒與基體之間的界面層設(shè)置了粘結(jié)單元(Cohesive element)模擬了固體顆粒和基體之間損傷的產(chǎn)生及發(fā)展。Tan 等［3-4］通過數(shù)字圖象等相關(guān)技術(shù)獲得了高能炸藥PBX9501 緊湊拉伸試樣裂尖周圍的應(yīng)力場(chǎng)及位移場(chǎng)，利用擴(kuò)展的Mori-Tanaka 方法對(duì)試驗(yàn)結(jié)果做了均勻化處理，并結(jié)合試驗(yàn)研究得到的顆粒與基體之間的非線性粘結(jié)模型，對(duì)含不同尺寸顆粒的細(xì)觀模型進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算。國內(nèi)一些學(xué)者研究了復(fù)合固體推進(jìn)劑的顆粒夾雜模型的建模方法［5-7］。在此基礎(chǔ)上，有的學(xué)者采用有限元法對(duì)復(fù)合固體推進(jìn)劑進(jìn)行直接數(shù)值模擬，對(duì)推進(jìn)劑內(nèi)部界面脫粘過程進(jìn)行了有限元分析［8］。有的學(xué)者根據(jù)數(shù)值仿真結(jié)果，結(jié)合細(xì)觀力學(xué)方法，如:Mori-Tanaka 方法或改進(jìn)的Mori-Tanaka 方法，研究了固體推進(jìn)劑的模量、界面脫粘對(duì)固體推進(jìn)劑力學(xué)性能的影響等［9-11］，或采用多步法，通過將基體與部分顆粒均質(zhì)化為一種混合物，計(jì)算出較復(fù)雜的固體推進(jìn)劑的有效模量［12］。

本文在之前研究［13-14］的基礎(chǔ)上，通過建立復(fù)合固體推進(jìn)劑單胞體模型，根據(jù)復(fù)合固體推進(jìn)劑松弛模量試驗(yàn)值對(duì)基體材料的松弛模量進(jìn)行參數(shù)反演，結(jié)合數(shù)值計(jì)算方法對(duì)復(fù)合固體推進(jìn)劑松弛模量的衰減特性進(jìn)行了研究。

1 物理模型和計(jì)算方法

1.1 顆粒夾雜模型及組分材料屬性

復(fù)合固體推進(jìn)劑是一種典型的顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料，由于顆粒粒徑的分布特征及顆粒的隨機(jī)分布，使得其微結(jié)構(gòu)特征非常復(fù)雜，如圖1 所示。

圖1 復(fù)合固體推進(jìn)劑顆粒堆積模型及網(wǎng)格

從圖1 中可以看出，復(fù)合固體推進(jìn)劑顆粒堆積模型可以更真實(shí)地反映其微結(jié)構(gòu)特征，但這種模型建模過程復(fù)雜，并且由于顆粒之間距離較近，使得網(wǎng)格密度較大，計(jì)算量較大，這在后續(xù)工作中將逐步展開研究。本文旨在研究復(fù)合固體推進(jìn)劑松弛模量應(yīng)變的衰減特性，因此首先從單胞體模型出發(fā)進(jìn)行研究。根據(jù)復(fù)合固體推進(jìn)劑的固體含量確定AP 顆粒的體積分?jǐn)?shù)，本文所研究的復(fù)合固體推進(jìn)劑AP 顆粒體積分?jǐn)?shù)為65%，單胞體模型如圖2 所示。

圖2 復(fù)合固體推進(jìn)劑單胞體模型

由之前研究［13］可知，復(fù)合固體推進(jìn)劑的松弛特性主要來源于基體材料，在AP 顆粒的增強(qiáng)作用下，復(fù)合固體推進(jìn)劑的松弛特性與基體材料基本一致，區(qū)別主要體現(xiàn)在瞬時(shí)模量E0的增大。因此，基于圖2 所示模型，根據(jù)復(fù)合固體推進(jìn)劑的松弛模量對(duì)基體材料的松弛模量進(jìn)行參數(shù)反演。首先確定基體瞬時(shí)模量E0的上、下限值和，并根據(jù)已確定的上、下限值進(jìn)行有限元計(jì)算，結(jié)合細(xì)觀力學(xué)方法，得出基體瞬時(shí)模量E0的上、下限值所對(duì)應(yīng)的復(fù)合固體推進(jìn)劑瞬時(shí)模量和;然后對(duì)比復(fù)合固體推進(jìn)劑的實(shí)際瞬時(shí)模量EP0，根據(jù)EP0在和之間的線性分布關(guān)系，在和之間確定下一步計(jì)算時(shí)新的基體瞬時(shí)模量取和的平均值為新的，再次進(jìn)行有限元計(jì)算;反復(fù)進(jìn)行迭代，最后確定基體的松弛模量。假設(shè)AP 顆粒為彈性體，取其彈性模量和泊松比分別為:E=32 450 MPa，ν=0.143 3［1］。

1.2 均勻化方法

當(dāng)復(fù)合固體推進(jìn)劑單胞體模型受載荷作用時(shí)，其體積平均應(yīng)力和平均應(yīng)變可由式(1)～(2)計(jì)算:

當(dāng)AP 顆粒體積分?jǐn)?shù)為65%時(shí)，圖2 模型中顆粒之間距離很小，基體材料部分若采用六面體網(wǎng)格，在顆粒之間臨近部分，網(wǎng)格易產(chǎn)生畸變。因此，對(duì)于AP 顆粒可采用六面體網(wǎng)格，基體材料部分采用四面體網(wǎng)格。根據(jù)有限元高斯積分原理，分別計(jì)算單個(gè)六面體單元和四面體單元的平均應(yīng)力、應(yīng)變。模型的體積平均應(yīng)力和應(yīng)變可以通過單個(gè)六面體網(wǎng)格和四面體網(wǎng)格的平均應(yīng)力和平均應(yīng)變來確定，即

2 計(jì)算結(jié)果及討論

復(fù)合固體推進(jìn)劑松弛模量一般是根據(jù)GJB -770B 在定應(yīng)變5%下測(cè)量的。根據(jù)復(fù)合固體推進(jìn)劑定應(yīng)變?yōu)?%時(shí)的松弛模量，結(jié)合均勻化方法對(duì)基體材料的松弛模量進(jìn)行參數(shù)反演，獲得基體材料的松弛模量。定應(yīng)變?yōu)?%時(shí)單胞體模型拉伸方向上的應(yīng)力分布如圖3 所示。從圖中可以看出，應(yīng)力較大的區(qū)域主要集中在顆粒間距小的區(qū)域，隨著時(shí)間的增大，應(yīng)力有明顯的松弛效應(yīng)。

圖3 定應(yīng)變?yōu)?%時(shí)單胞體模型的應(yīng)力分布

為研究復(fù)合固體推進(jìn)劑松弛模量的應(yīng)變相關(guān)性，假設(shè)基體的松弛模量不變，應(yīng)變小于8%時(shí)忽略界面損傷的影響，分別計(jì)算當(dāng)定應(yīng)變?yōu)?.01%，1%，2%，3%，4%，5%，6%，7%，8%時(shí)復(fù)合固體推進(jìn)劑的松弛模量，如圖4 所示。從圖中可以明顯看出，當(dāng)定應(yīng)變較小時(shí)所計(jì)算的松弛模量較大，隨著定應(yīng)變值的增大，復(fù)合固體推進(jìn)劑松弛模量逐漸減小。所得結(jié)論與?züpek［15］根據(jù)不同定應(yīng)變(0.5%，1%，2%，5%，10%和15%)下測(cè)得的松弛模量試驗(yàn)結(jié)果得到的結(jié)論一致。

分別對(duì)單胞體模型及復(fù)合固體推進(jìn)劑均質(zhì)材料模型的拉伸過程進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。其中，復(fù)合固體推進(jìn)劑均質(zhì)材料模型采用不同定應(yīng)變下的松弛模量。拉伸時(shí)間分別取0.05 s 和100 s，最終的真實(shí)應(yīng)變均為7.16%。計(jì)算結(jié)果如圖5 和圖6 所示。從圖中可以看出，采用不同定應(yīng)變水平下的松弛模量的拉伸曲線與單胞體模型的拉伸曲線有明顯差異，只有當(dāng)真實(shí)應(yīng)變約小于3%時(shí)，所選取定應(yīng)變值越低松弛模量的計(jì)算結(jié)果與單胞體模型的計(jì)算結(jié)果越接近。

圖4 不同定應(yīng)變水平下的復(fù)合固體推進(jìn)劑松弛模量曲線

圖5 0.05s 內(nèi)單胞體模型及推進(jìn)劑拉伸曲線

圖6 100 s 內(nèi)單胞體模型及推進(jìn)劑拉伸曲線

根據(jù)Boltzmann 疊加原理，多個(gè)起因的總效應(yīng)等于各個(gè)起因的效應(yīng)之和。對(duì)于一維模型，當(dāng)有n個(gè)應(yīng)變?cè)隽宽槾卧讦苅時(shí)刻分別作用于物體，則在ζn以后某時(shí)刻t 的總應(yīng)力可表示為

對(duì)于三維模型，當(dāng)時(shí)間增量Δt 足夠小時(shí)，Δσij，Δεij應(yīng)滿足廣義胡克定律，即

因此，可根據(jù)單胞體模型的拉伸曲線，選取一定的時(shí)間增量Δt，求解出t 時(shí)刻時(shí)的松弛模量E(t)，對(duì)比初始時(shí)刻的松弛模量曲線，從而獲得瞬時(shí)模量E0的變化。為驗(yàn)證該方法及確定合適的時(shí)間增量Δt，以復(fù)合固體推進(jìn)劑定應(yīng)變?yōu)?%時(shí)的松弛模量為輸入條件，拉伸時(shí)間為0.05 s，取Δt 分別為0.001 s，0.000 5 s 和0.000 1 s 計(jì)算復(fù)合固體推進(jìn)劑的松弛模量，并與輸入的松弛模量進(jìn)行對(duì)比，相對(duì)誤差如圖7 所示。從圖中可以看出，相對(duì)誤差隨時(shí)間的增大而增大，這是因?yàn)殡S著計(jì)算時(shí)間的增加，在t ～t+Δt 時(shí)刻內(nèi)，時(shí)間t 之前累計(jì)載荷的松弛效應(yīng)逐漸增大，而在計(jì)算的過程中忽略了Δt 時(shí)刻內(nèi)松弛效應(yīng)的影響。雖然相對(duì)誤差隨時(shí)間的增大而增大，但數(shù)值仍然較小，說明了該計(jì)算方法可行。從不同時(shí)間增量Δt 的計(jì)算結(jié)果來看，當(dāng)Δt 從0.001 s 縮小10 倍后，相對(duì)誤差產(chǎn)生了震蕩，并且減小Δt 時(shí)相對(duì)誤差降低的幅度不大。輸入條件不變，拉伸時(shí)間改為100 s，Δt 取0.001 s，計(jì)算的松弛模量與理論值對(duì)比如圖8 所示。當(dāng)拉伸時(shí)間為100 s 時(shí)，相對(duì)誤差為0.83%。采用該方法可以根據(jù)復(fù)合固體推進(jìn)劑的拉伸曲線計(jì)算松弛模量的變化。

圖7 拉伸時(shí)間為0.05 s 時(shí)的松弛模量相對(duì)誤差

圖8 拉伸時(shí)間為100 s 時(shí)的計(jì)算值與理論值對(duì)比

選取時(shí)間增量Δt 為0.001 s，最終真實(shí)應(yīng)變?yōu)?.16%，拉伸時(shí)間分別取0.05 s 和100 s 時(shí)，復(fù)合固體推進(jìn)劑單胞體模型松弛模量的衰減如圖9 和圖10 所示。從圖中可以看出，在復(fù)合固體推進(jìn)劑單胞體的拉伸過程中，模量有明顯的衰減現(xiàn)象，衰減程度與載荷歷程相關(guān)。

圖9 拉伸時(shí)間為0.05 s 時(shí)的松弛模量衰減

圖10 拉伸時(shí)間為100 s 時(shí)的松弛模量衰減

3 總 結(jié)

(1)由于復(fù)合固體推進(jìn)劑材料的顆粒夾雜效應(yīng)，通過仿真計(jì)算可知其松弛模量具有明顯的應(yīng)變相關(guān)性，即在不同的定應(yīng)變水平下測(cè)得的試驗(yàn)結(jié)果會(huì)存在差異，隨著定應(yīng)變水平的增大，測(cè)得的松弛模量逐漸減小。計(jì)算結(jié)果所得結(jié)論與?züpek［15］試驗(yàn)結(jié)果一致。

(2)根據(jù)單胞體模型不同拉伸速率下，不考慮界面損傷時(shí)的拉伸曲線，計(jì)算了拉伸過程中復(fù)合固體推進(jìn)劑松弛模量的變化。計(jì)算結(jié)果表明，在拉伸過程中，復(fù)合固體推進(jìn)劑的松弛模量有明顯的衰減現(xiàn)象，并且衰減程度與載荷歷程相關(guān)。

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