數學建模思想融入常微分方程教學的探討

沈波

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數學建模思想融入常微分方程教學的探討

沈波

摘要：作為高等數學中的一門基礎課程，常微分方程是專門用來描述客觀事物的數量關系的重要模型。當前傳統的常微分方程教學方法不利于充分激發和提高學生的學習興趣和主動性，給教師的教學也帶來一定的難度。為克服這些問題，筆者將從數學建模的角度出發，將數學建模思想融入常微分方程的教學過程中，對常微方程的教學進行改革和創新。

關鍵詞：數學建模；思想；常微分方程；教學；探討

隨著社會的不斷進步和發展以及教育改革進程地不斷推進，現代教育更注重對學生實際操作能力的培養和提高。為了為社會培養更多應用型的高素質人才，確保高校畢業的學生既能夠掌握全面的專業知識，具備較高的綜合素質和能力，又能成為擔負起管理、生產、服務、建設等一線工作的應用型人才，當前，我國高等院校普遍拉開了高等教育向應用型轉變的序幕，越來越重視學生發明、發現、創造、生產實踐等能力的培養和提高。作為基礎學科的高等數學教學，也在高等教育改革的時代背景下，經歷著一系列新的創新和變革。

一、數學建模思想融入常微分方程教學的必要性

常微分方程是高等院校數學與應用數學專業的基礎課程，同時也是經濟、工科等其他專業學生所必學的重要內容，是控制論、偏微分方程、建模、數值計算等其他學科的理論基礎。作為專門用來描述客觀事物之間數量關系的重要模型，常微分方程作為人們解決實際生活中所遇到問題的有效手段而被廣泛地應用到很多領域的研究中，其中包括彈道的計算、自動控制，導彈和飛機飛行的穩定性研究、化學反應過程中穩定性研究，各種電子學裝置的設計等領域。

當前，在傳統常微分方程教學模式下，教師講定義、說方法、論技巧的教學過程，只能讓學生通過對常微分方程的學習，知道和熟練常微分方程的解答方法，而對其具體應用卻了解甚少，直接導致他們在利用常微分方程解決實際問題時無從下手，再加上常微分方程學習起來具有一定的難度，最終使很多學生喪失了繼續學習此課程的興趣和信心。顯然，陳舊的常微分方程教學模式已經無法適應現代社會快速發展的需求，促進常微分方程的教學方法改革，突出此門課程的實踐性迫在眉睫。

在促進常微分方程教學改革的進程中，數學建模思想是一個非常好的切入點。數學建模是用數學知識來解決生活中實際問題最常用的一種方法，是數學與社會的交匯點。在本質上而言，數學建模也是培養和提高學生思維能力和應用能力的重要手段。全國高等院校數學課程指導委員會指出：“要加強對學生建立數學模型并利用計算機分析處理實際問題能力的培養與訓練。”可見，加強數學建模與常微分方程教學的有機結合，將數學建模思想融入到常微分方程教學的過程中，是提高學生用常微分方程解決生活中實際問題能力的重要有效途徑。作為一種常微分方程創新的教學方法，將數學建模思想融入其中，可以引導學生充分地了解常微分方程的背景、方法及其重要意義。此外，還能進一步促進學生在生活中應用常微分方程和計算機等內容解決實際問題的能力。

二、數學建模思想融入常微分方程教學的具體內涵

數學建模主要是為了達到解決生活中某一問題的目的，以要研究的內容為特定對象，在一系列假設和簡化的前提下，通過科學合理的數學工具構建具體的數學結構，并利用這一數學結構對要研究現象的現實狀態進行解釋，對其未來發展狀況進行預測，為滿足某種需求提供具體地優化和控制策略。因此，數學建模的內容是來自實踐的，方法也充分與實踐相結合的，結果又必將會利用于實踐。具體來說，對某一特定對象的數學建模可以分為以下幾個階段：

1.模型準備：模型準備是建立數學模型的前提，即對要研究對象的具體內容、實際背景進行深入地了解，并探索出問題背后的實際意義，最后再力求用數學語言對這一問題進行科學合理的描述。

2.模型假設：針對復雜的社會現象，在建立數學模型時，要進行必要地簡化，力求用最簡明、精準的語言對整個問題提出合理、有效的假設。

3.模型建立：在模型假設的前提下，將具體的社會問題抽象成為數學問題，并根據數學問題的具體種類構建相應的數學結構。

4.模型求解：當具體的社會問題被抽象成數學問題之后，要結合相關的數學知識對這一抽象的數學模型展開推算。

5.模型分析：從數學的角度出發，對模型求解出來的相關結果進行分析。

6.模型檢驗：為了檢驗構建模型的合理性、準確性和實用性，要將模型分析出來的相關結果與問題的實際情況進行比較和研究。

7.模型應用：被檢驗具有一定實用性的模型將會被根據建模的具體目的應用到具體問題的解決過程中。

數學建模是通過構建數學模型，來促進實際問題解決的一種應用型數學技術。本文所講的“數學建模思想”就是指將所學習的數學理論、數學方法與解決生活問題的實際有機結合的一種創新的數學思想。我們從兩個層面來理解數學建模思想融入常微分方程教學的內涵：一方面，在實際生活中有很多復雜的問題直接處理起來比較困難，而通過構建微分方程模型將其轉化為抽象的數學問題后，在既有的數學知識和方法的支持下，則可以有效地解決；另一方面，我們所學習的數學方法和知識，都是由生活中的實際問題演變而來的，是人們在處理生活問題的實踐中發明出來的。

因此，將數學建模思想融入常微分方程的教學過程中，要引導學生全面認識常微分方程中的數學模型。在構建常微分模型時，要深入挖掘這些微分模型的抽象實際，引導學生逐步構建有關微分模型。在構建起具體微分模型后，教師還要引導學生依據微分模型的具體特征與生產生活緊密結合，將所構建的微分方程應用到實際問題的解決中。例如，傳染病模型和logistic模型就是經典的微分方程模型，也是教師講解常微分方程的有效案例。總而言之，將數學建模思想融入常微分方程教學，就是要求學生在學習數學理論知識的同時，還要學會加強理論知識應用于生活實際問題的解決，要特別注重學生綜合分析能力，發現、分析、解決問題的能力，實際操作能力及科研創新能力的進步和提高。

三、將數學建模思想融入常微分方程教學的具體措施

1.充分利用常微分方程教材中的應用素材

目前，大多數院校常微分方程所使用的教材，都是王高雄所著的《常微分方程》或東北師范大學教研室所編寫的《常微分方程》等教材，這些教材普遍具有較強的理論性和嚴謹的敘述邏輯，其中也不乏一些經典的數學建模問題。例如，質點振動模型、鐘擺問題等，這些不常出現在學生實際生活中的問題具有一定的抽象性，對于數學專業以外的學生來講具有一定的難度。因此，教師要充分地利用教材中的這些具有一定研究性、趣味性且通俗易懂或對現代科學技術和我們的經濟生活具有重要意義的應用素材，引導學生利用抽象的數學知識對這些具體問題進行分析和研究，進而讓學生體會到常微分方程建模知識來解決生活中實際問題的重要性，以充分激發學生認真學習和掌握常微分方程的主動性和積極性，也進一步鍛煉他們用數學知識來解決生活實際的相關能力。

2.結合相關數學模型應用案例教學

為幫助學生加強所學理論知識的理解和記憶，激發學生運用數學知識的意識和實際操作能力，教師在常微分方程教學過程中，應該有目的地將有關常微分方程的理論、方法與生活中的實際問題緊密結合起來，引導學生將具體的社會問題抽象為數學問題并建立數學模型。這種通過引入具體案例進行教學的方法，一方面有利于培養學生建立數學模型的思維慣性，同時也鍛煉和提高了學生解決實際問題的能力。

例如，在講解一階常微分方程這部分內容時，教師可以引入“物體冷卻模型”、“人口增長模型”、“產品銷售問題”等學生生活中經常出現的問題進行案例教學，引導學生把具體的社會問題，通過一階常微分方程建立數學模型進行分析和解決；在講授高階微分方程這部分內容時，教師可以引入“懸鏈線問題”、“質點振動模型”等，將難以理解的實際問題轉化為數學問題，再進行進一步的分析和演算。

3.引入“面向問題”式的教學模式

在傳統的教學模式下，常微分方程教學通常按照“定義—原理—方法—技巧”的數學邏輯被傳授給學生，然而每個數學知識真正被發現和發展的過程并不如此。因此，學生在這種傳統的教學過程中，很難真正地理解和掌握常微分方程這一數學知識，更談不上用數學知識去解決實際生活中的具體問題。在傳統的數學教學邏輯中，學生只能從概念開始，認識和了解數學，而對其相關方法的演算和訓練也只是一個機械的模仿和記憶的過程，這就很容易導致學生產生枯燥無味，缺乏學習興趣的效果。

而“面向問題”教學模式則是引導學生首先對感興趣的實際問題進行分析和研究，在學生研究的基礎上，再總結或引入相關的方法和概念。通過自身探究和參與問題解決過程總結出來的概念，學生理解的難度就會相應降低。由于學生體會到了書本上的理論知識應用于生活實際的過程，所以他們學習數學知識的熱情和興趣也會得到進一步的激發和提高。

4.采用啟發討論的教學方法

傳統的以“教師講解為主，學生聽為輔”的教學方法，不僅不利于學生對所學知識地理解和掌握，而且也無法充分調動學生學習的積極性和主動性。因此，在常微分方程的教學實踐中，將數學建模思想融入其中，改變傳統被動式的教學方法，教師要通過組織各種課堂活動，引導學生發現問題、分析問題、解決問題，充分提高學生自身的合作學習能力、探究學習能力和自主學習能力，特別是將建模思想融入常微分方程的教學實踐中，教師要引導學生了解和掌握數學模型構建的全過程，要全面參與到“模型準備、模型假設、模型建立、模型求解、模型分析、模型檢驗、模型應用”的不同環節。只有這樣，才能夠充分地激發學生學習數學知識的主動性和積極性，進而提高他們的學習效率和質量，達到提高實際問題的解決能力、科研創新能力的效果。

5.采用多媒體教學手段

隨著現代科技的不斷進步和發展，多媒體越來越廣泛地被利用在教學過程中。在常微分方程的教學中，教師要緊密結合Matlab、Maple等計算機軟件對常微分方程中的數值計算，圖式分析和求解過程進行直觀、形象、具體地講解和展示，以進一步提高學生的應用數學意識以及用計算機技術，處理、分析、解決實際問題的能力。

6.改變考核方法，將學生數學建模能力納入考核體系

通常來講，常微分方程的考試是以閉卷考試的形式來完成的，而閉卷考試卻主要以理論考核為主，缺乏一定的應用型問題設置。因此，在以后常微分方程的考卷上，應該盡量多增加開放型的應用題，要求學生用數學建模的思想和方法進行分析和解答。此外，對常微分方程考核還應該加大平時成績的比重，平時成績除了日常考勤和課后作業之外，還應該增加課堂討論的成績。教師在課堂教學過程中要為學生設置更多與教學內容相關的討論，讓學生對這一問題展開思考和探索，最后自由發言或論文寫作的形式表達出來，這種通過小組合作和探究討論的方式，引導學生用數學知識來解決實際問題的方法，既激發了學生學習興趣，又進一步培養和提高了學生利用數學建模解決實際問題的意識和能力。

總而言之，培養學生的數學建模意識和能力，需要一個長期的引導和鍛煉的過程。同時，將數學建模思想融入常微分方程教學，也不是一種簡單的添加，而需要找到合理的切入點，將具體的社會問題抽象為數學問題，并與常微分方程的相關內容進行緊密結合，最后通過數學模型來對問題進行解決。此外，要特別注意在將數學建模思想融入常微分方程教學的過程中，要避免出現流于形式的現象，應該充分的注意循序漸進的規律，引導學生把握理論學習和實際應用之間的平衡，而不能產生喧賓奪主的效果。

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[5]畢曉華，許筠.將數學建模思想融入應用型本科數學教育初探[J].教育與職業，2011（09）：113-114.

（作者單位：四川達州職業技術學院）

作者簡介：沈波（1971.01-），女，籍貫：四川大竹，職稱：副教授，研究方向：數學分析與常微分方程、數學教育。