穩(wěn)定單葉調(diào)和凸函數(shù)和星像函數(shù)的構(gòu)造

朱孟坤，黃心中

（華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州362021）

1 預(yù)備知識(shí)

單位圓盤(pán)D＝｛z‖z|＜1｝上的復(fù)值調(diào)和映照可表示為f（z）＝h（z）＋g（z），其中，h（z），g（z）為在D上的解析函數(shù).Lewy［1］證明了單連通區(qū)域Ω上的調(diào)和映照f(shuō)（z）＝h（z）＋g（z）是局部單葉的，當(dāng)且僅當(dāng)它的Jf（z）＝|h′（z）|2－|g′（z）|2≠0，當(dāng)Jf（z）＞0時(shí)，稱f（z）是保向的；否則，稱f（z）為反向的.如果Ω上的單葉調(diào)和映照f(shuō)（z）滿足|g′（z）／h′（z）|≤t＜1，t為常數(shù)，則f（z）為Ω上的調(diào)和擬共形映照.關(guān)于擬共形映照的性質(zhì)，可見(jiàn)文獻(xiàn)［2］.如果為D上的單葉調(diào)和映照，Clunie等［3］提出了系數(shù)猜想，極值映照可由達(dá)到.該猜想在單葉調(diào)和映照的一些子集上成立，但在整個(gè)集合上成立與否仍未得到證明.近年來(lái)，許多學(xué)者對(duì)該猜想做了大量的研究［4－7］.文獻(xiàn)［8－9］研究了單葉調(diào)和映照成為調(diào)和擬共形映照的性質(zhì).Hernández等［10］研究了單葉調(diào)和映照的穩(wěn)定性問(wèn)題，圍繞調(diào)和映照及解析函數(shù)的穩(wěn)定單葉性及穩(wěn)定幾何性質(zhì)進(jìn)行深入研究，對(duì)以上猜想的解決做了大量工作.

定義在D上的保向單葉調(diào)和凸映照對(duì)任意λ∈?D，若都是D上的單葉凸映照，則稱f（z）為D上的穩(wěn)定調(diào)和凸映照（SHC）；如果都是D上的單葉星像映照，則稱f（z）為D上的穩(wěn)定調(diào)和星像映照（SHS＊）.Hernández等［10］研究D上k－凸解析函數(shù)的水平剪切函數(shù)為穩(wěn)定調(diào)和凸映照的問(wèn)題，證明了如下定理.

定理A對(duì)任意的λ且|λ|＝1，保向調(diào)和映照f(shuō)λ（z）＝h（z）＋λg（z）為D上的調(diào)和凸映照的充分必要條件，是Fλ（z）＝h（z）＋λg（z）為D上凸解析函數(shù).

定理B若是D上的保向單葉穩(wěn)定調(diào)和凸映照，則對(duì)任意的λ∈，有h（z）＋λg（z）都是D上的凸函數(shù).特別地，當(dāng)λ＝0時(shí)，h（z）是D上的單葉凸函數(shù).

定義1D上局部單葉解析函數(shù)稱為k－凸解析函數(shù)，若φ（z）滿足

特別地，當(dāng)式（1）中的非負(fù)常數(shù)k不存在時(shí)，稱φ（z）為0－凸函數(shù).

基于定理A，B，Hernández等［10］還證明了定理C.

定理C設(shè)φ（z）為一個(gè)k－凸解析函數(shù)，則存在μ∈D，當(dāng)|μ|充分小時(shí)，由方程組

構(gòu)造出來(lái)的調(diào)和映照f(shuō)（z）＝h（z）＋g（z）∈SHC.

定理D定義在單位圓上的解析函數(shù)h（z），g（z），H（z）以及G（z）滿足如下關(guān)系，即

則f（z）＝h（z）＋g（z）∈SHC的充分必要條件是F（z）＝H（z）＋G（z）∈SHS＊.

2 主要結(jié)果及證明

由k－凸解析函數(shù)的定義可知：0≤k≤1.當(dāng)k＝1時(shí)，恒等映照φ（z）＝z為D上的1－凸解析函數(shù).構(gòu)造一類k－凸解析函數(shù)，使得0≤k≤1.記函數(shù)其中，α為任意正實(shí)數(shù).易證φ（z）在D上單葉解析.由調(diào)和映照的最小模原理可得

故φ（z）為－凸解析函數(shù)，當(dāng)z→－1時(shí)，k→.當(dāng)α＝0時(shí)，φ（z）為0－凸解析函數(shù)；當(dāng)α→∞時(shí)，φ（z）為1－凸解析函數(shù).

定理1存在一個(gè)φ0（z）為D上的單葉解析凸函數(shù)，由方程組

記（z）＝H（z）＋λG（z），λ∈?D，易知（z）在D上單葉解析.又因?yàn)閨λ|＝1，0＜|μ|＜1且z∈D，可知.根據(jù)調(diào)和映照最小模原理可得

記μ＝ρexp（iθ），|ρ|＜1，令λ＝exp（－iθ），則式（4）恒小于等于零.故當(dāng)0＜|μ|＜1時(shí)，（z）為非凸單葉解析函數(shù)，根據(jù)定理證畢.

由定理1可知：對(duì)于定理C，只有當(dāng)φ（z）為k－凸函數(shù)時(shí)，由式（3）構(gòu)造的調(diào)和映照f(shuō)（z）＝h（z）＋才有可能是穩(wěn)定凸的.為此，將μ的取值范圍精確化，方便構(gòu)造出更多的SHC類函數(shù).

定理2設(shè)φ（z）是D上的k－凸解析函數(shù)（k＞0），則對(duì)于μ∈D且滿足由方程組

構(gòu)造出來(lái)的單葉保向調(diào)和映照f(shuō)（z）＝h（z）＋g（z）∈SHC.

證明 定義φθ（z）＝h（z）－exp（2iθ）g（z），ω（z）＝μz.根據(jù)定理A，只需驗(yàn)證函數(shù)φθ（z）在D內(nèi)對(duì)于任意的θ∈（0，π）為凸解析函數(shù).利用φ（z）為k－凸解析函數(shù)這個(gè)假設(shè)以及凸解析函數(shù)的特點(diǎn)，可得到

例1令φ（z）＝z，則φ（z）為1－凸函數(shù)，由定理2可知：僅當(dāng)|μ|≤－1時(shí)，滿足式（5）的解f（z）.分別取可得通過(guò)Mathematica軟件，它們將D分別映成的區(qū)域，如圖1所示.圖1中：Re表示實(shí)部；Im 表示虛部.

通過(guò)探究定理2發(fā)現(xiàn)，ω（z）＝μz的形式并不是固定的，對(duì)此還可作如下推廣.

推論1設(shè)φ（z）為D上的k－凸解析函數(shù)（k＞0）.則對(duì)于μ∈D且滿足由方程組

構(gòu)造出來(lái)的單葉保向調(diào)和映照f(shuō)（z）＝h（z）＋g（z）∈SHC.

圖1 單位圓盤(pán)D 經(jīng)過(guò)fμ（z）映照后的圖像Fig.1 Function fμ（z）maps Donto the domains respectively

圖2 單位圓盤(pán)D 經(jīng)f（z）映照后的圖像Fig.2 Function f（z）maps D onto the domain

例2令則且取μ＝得到方程組

定理3設(shè)φ（z）是定義在D上的k－凸解析函數(shù).則對(duì)于μ∈D且滿足使調(diào)和映照f(shuō)（z）＝h（z）＋g（z）為D上關(guān)于原點(diǎn)的穩(wěn)定調(diào)和星像映照，其中，h（z），g（z）分別滿足

證明 記

由簡(jiǎn)單計(jì)算可得，H（z）－G（z）＝φ（z），G′（z）／H′（z）＝μz.由定理2可知F（z）＝H（z）＋G（z）為D上的穩(wěn)定調(diào)和凸映照，又因?yàn)閦H′（z）＝h（z），zG′（z）＝－g（z）且h（0）＝g（0）＝0，由定理D 可知為D上的關(guān)于原點(diǎn)的穩(wěn)定調(diào)和星像映照.

例3對(duì)于D上的1－凸解析函數(shù)φ（z）＝z.取.根據(jù)定理3可得，故

通過(guò)Mathematica軟件，f（z）將D映成的區(qū)域，如圖3所示.類比推論1，很容易得到如下推論.

圖3 單位圓盤(pán)D 經(jīng)f（z）映照后的圖像Fig.3 Function f（z）maps D onto the domain

推論2設(shè)φ（z）為D上的k－凸解析函數(shù)，則對(duì)于μ∈D且滿足使調(diào)和映照f(shuō)（z）＝h（z）＋g（z）為D上關(guān)于原點(diǎn)的穩(wěn)定調(diào)和星像映照.其中，h（z），g（z）分別滿足

推論2可根據(jù)推論1、定理3及定理D 直接得出.

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