關(guān)注課堂教學(xué)設(shè)計，培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)

浙江省桐廬分水高級中學(xué) 馮 杰

關(guān)注課堂教學(xué)設(shè)計，培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)

浙江省桐廬分水高級中學(xué) 馮 杰

思維品質(zhì)是指個體在思維發(fā)展中表現(xiàn)的個性差異，又稱為思維的智力品質(zhì)，它是個體智力水平最集中的表現(xiàn)。新課程改革后地數(shù)學(xué)課堂推行分層走班教學(xué)，其實質(zhì)就是強調(diào)要更加關(guān)注不同層次學(xué)生的思維個性品質(zhì)的培養(yǎng)。本文從多個課堂教學(xué)設(shè)計闡述學(xué)生的思維個性品質(zhì)的挖掘與培養(yǎng)，以體現(xiàn)新課程改革的理念與內(nèi)涵。

教學(xué)設(shè)計 思維品質(zhì) 培養(yǎng)提升

老師常有這樣的困惑：題目講了很多，但學(xué)生經(jīng)常做錯或者做不出，面對陌生的題沒有思路。誠然，出現(xiàn)上述情況涉及多方因素，其中課堂教學(xué)設(shè)計一環(huán)值得我們反思。數(shù)學(xué)課堂往往是知識由產(chǎn)生到應(yīng)用的關(guān)鍵一步，即所謂的“拋磚引玉”，現(xiàn)實課堂上為了完成書本知識的傳授，我們經(jīng)常例題繼例題的講，練習(xí)續(xù)練習(xí)的練，忽視了對學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的挖掘與培養(yǎng)，出現(xiàn)上述問題也就不足為怪。

新課程改革要求數(shù)學(xué)教學(xué)必須以提高學(xué)生綜合應(yīng)用知識的能力和培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)為目標(biāo)。這既是學(xué)生理解知識的必要前提，也是鞏固知識重要的心理條件，更是作為評價學(xué)生，如邏輯思維能力、空間想象能力、運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力等具體數(shù)學(xué)能力的核心依據(jù)。因此，課堂教學(xué)設(shè)計中，教師應(yīng)從傳統(tǒng)應(yīng)試教育中走出來，必須更加注重學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)。

一、開放課堂，做中學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生思維的開放性與廣闊性

美國著名教育學(xué)家杜威批判傳統(tǒng)教育的形式主義，提倡“ 從做中學(xué)”，即指對某個經(jīng)驗情境中的問題進行反復(fù)的、持續(xù)不斷的思考，其功能在于解決問題、排除疑慮、解答問題。其教育觀目的就是通過活動性、經(jīng)驗性的課程和教學(xué)方法使學(xué)生掌握科學(xué)思維，如知識、技能。例如，立體幾何中垂直關(guān)系的復(fù)習(xí)課堂教學(xué)設(shè)計：

方案一：同學(xué)們，我們一起復(fù)習(xí)立體幾何中的垂直問題，有哪些垂直關(guān)系？定理與性質(zhì)分別是什么？然后一一回顧。

方案二：給出一組垂直的定理與性質(zhì)判斷題組，通過的練習(xí)達到復(fù)習(xí)舊知的目的。

方案三：拿出一個正方體模型，請同學(xué)們以“木匠”的身份截出每個面都是直角三角形面的三棱錐。

范例1：π如下圖，在三棱錐A1-ABC中，A1A ⊥平面ABC，∠ABC=2， A1A=AB=3。

問題：在此幾何體中，（1）共有幾個直角三角形（面）？（2）共有幾組互相垂直的平面？（3）你能找出A在平面A1BC上的射影嗎？

事實反饋，方案三的課堂設(shè)計更有效，凸顯了數(shù)學(xué)源于生活實際且具有豐富的問題背景內(nèi)涵，給學(xué)生提供了一個廣域的思維開放空間，有效地激活學(xué)生數(shù)學(xué)知識，發(fā)展運用數(shù)學(xué)知識的意識和潛能，學(xué)生思維就能很快進入“茫茫”數(shù)學(xué)定理中尋找問題的答案。解決上述問題也就把已學(xué)知識進行了有效復(fù)習(xí)，接下去對問題進行拓展，以此進一步理解和掌握知識，提升學(xué)生空間思維能力和解決問題能力。

1.變換空間幾何圖形，如三棱錐換成三棱柱、四棱柱、四棱錐等，幾何空間位置關(guān)系刻畫更加豐富以求空間模型更具有代表性和綜合性。

2.改變空間幾何圖形內(nèi)部結(jié)構(gòu)特征，使問題圍繞目標(biāo)，層層遞進。

練習(xí)1：在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PD ⊥平面ABCD，E為PB上任意一點。求證：平面ACE ⊥平面PBD

練習(xí)2：在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，AB=2，AD=2.求證AC ⊥PB。

練習(xí)3：在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，平面PDC⊥平面ABCD，∠BCD=π4，PB=PC=3，BC=2，AB=2.求證：DC⊥PB

練習(xí)4：請學(xué)生圍繞本節(jié)課題目動手改編一題，演繹（嚴格證明）題目的正確性。

練習(xí)2將練習(xí)1中的底面ABCD由菱形改編為矩形，PD⊥ 平面ABCD改編為平面PAD ⊥平面ABCD，結(jié)論改編為證明AC⊥PB，適當(dāng)添加條件之后，對學(xué)生的能力要求進一步提高，解題中還包含了平面幾何基本原理，提升了學(xué)生知識整合能力。練習(xí)3再做改編，解題思路更加開闊。練習(xí)4對學(xué)生的開闊思維提出了巨大挑戰(zhàn)，體現(xiàn)了教育教學(xué)的人才觀不是框架而是不拘一格，不是灌輸而是點燃火焰。

把課堂還給學(xué)生，讓課堂煥發(fā)生命的活力，課堂是“精彩觀念誕生的地方”。唯有開放，才有可能產(chǎn)生新質(zhì)，才有可能產(chǎn)生真實的成長。

二、加強數(shù)學(xué)思想方法滲透，“一題多變”，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性與聚合性

1.抓形揭數(shù)，加強數(shù)學(xué)思想方法滲透。華羅庚先生指出：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事非。”

范例2：已知拋物線的方程為y2=4x，直線l過定點P（-2，1），斜率為k，k為何值時，直線l與拋物線：（1）只y2=4x，有一個公共點；（2）有兩個公共點；（3）沒有公共點？

書本上直接給出解題過程，步驟甚多，不符合初學(xué)學(xué)生認知過程，需要教師在課堂教學(xué)中做出多層鋪墊。

設(shè)計思路：

首先，畫出下列直線和拋物線 ，歸納它們的位置關(guān)系并從幾何圖形中做出解釋。

練習(xí)1：畫圖并判斷下列直線與拋物線y2=4x 的位置關(guān)系。（1）y = x +1（2）y = x +2（3）y =- 6（4）y = x -1

其次，利用代數(shù)方程（組）分析方程的解與交點個數(shù)，進一步體會如何判斷直線與拋物線位置關(guān)系。

再次，呈現(xiàn)書本例題，問題迎刃而解。這道例題的認知教學(xué)中，正是“形”引導(dǎo)解題步驟逐漸明朗化，已形助數(shù)，抓形揭數(shù)的思想得到充分展現(xiàn)。

2.概念內(nèi)化，在同化與順應(yīng)中聚合學(xué)生思維。練習(xí)2：直線l：y=k（x-1）與拋物線x2=4y，分別求k的范圍。

（1）只有一個公共點（2）有兩個公共點（3）沒有公共點。

練習(xí)3：過（1，0）點，與拋物線只有一個交點的直線有幾條？

練習(xí)2將例題條件與結(jié)論互換。練習(xí)3讓學(xué)生體會例題中出現(xiàn)的直線與拋物線相交時只有一個交點的那條直線在練習(xí)2中為什么不見了，說明直線斜率是否存在時要注意討論，這對提升學(xué)生思維的嚴密性是非常重要的。

3.概念外延，“一題多變”，培養(yǎng)學(xué)生思維發(fā)散性。（1）直線與拋物線相離、相切問題。范例3：求拋物線y2=2x上一點到直線x-2y+4=0的距離最小值及該點坐標(biāo)。

（2）直線與拋物線相交涉及知識點非常多，如弦長、弦中點、直線過定點、對稱問題等問題，這些問題也是高考的重點、熱點與難點，下面舉例說明。

范例4：

（1）過拋物線 y2=2x的焦點做傾斜角為450的弦AB，則AB的長度是多少？

（2）已知拋物線y2=2x截直線y=kx+b所得弦長為4，求b的值。

范例5： 求拋物線y2=-8x被點P（-1，1）平分的弦所在直線方程。

變式1：過點P（-1，1）作拋物線y2=-8x的弦，求弦的中點所在的軌跡方程。

變式2：若直線y=kx+b與拋物線x2=4y相交于A，B兩點，且|AB|=4

（1）試用k來表示b。

（2）求弦AB中點M離x軸的最短距離。

變式3：已知A、B是拋物線y2=2px（p＞0）上兩點，且OP⊥OB ，證明：直線AB過定點（2p，0）。

變式4：若拋物線y2=x存在關(guān)于直線l：y-1=k（x-1）對稱的兩點，求實數(shù)k的取值范圍。

需要指出的是，這里的教學(xué)設(shè)計并不是一節(jié)課的內(nèi)容，只是拋物線教學(xué)的整個知識模塊的教學(xué)構(gòu)架，相當(dāng)于拋物線教學(xué)策略的一個“頂層設(shè)計”，具體分解到每一堂課的教學(xué)任務(wù)及目標(biāo)，需要教師補充細化以致豐滿整個知識教學(xué)體系。

三、關(guān)注一題多解與通法通則，培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性與靈活性

AB2=BM2+AM2-30cos∠AMB

AC2=CM2+AM2-30cos∠AMC

∴AB2+AC2=2·（9+25）=68

思路3：根據(jù)向量加減法法則可得，

思路4：如下圖建立平面直角坐標(biāo)系。

設(shè)B（-5，0），C（5，0），A（x，y）。

根據(jù)AM=3，BC=10帶入計算即得。

范例7：（2013浙江，理7）設(shè)△ABC，P0是邊AB上一定點，滿足PB=AB，且邊AB上任一點P，有

則（ ）

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=AC D.AC=BC

方法一：利用平面向量數(shù)量積的定義

方法二：根據(jù)向量的線性運算

方法三：建立坐標(biāo)系利用坐標(biāo)運算，如下圖建立直角坐標(biāo)系，

設(shè)A（a，0），B（b，0），C（0，c），P（x，0）（a≤x ≤b ）。

平面向量數(shù)量積的計算一般從三個角度考慮，一是直接利用定義，二是利用向量的線性運算（幾何），三是建系通過坐標(biāo)進行運算（代數(shù)）。這幾種運算均可以看作數(shù)量積運算的通法通則，具體選擇哪種運算要根據(jù)具體的問題及實際的計算難易。教學(xué)設(shè)計中，學(xué)生不斷體會這類問題的通法，遇見此類問題就不會沒有思路。一題多解對學(xué)生思維的靈活性培養(yǎng)是很有效果的，一題多解包含了“通法通則”，它是一題多解的深層次提煉。需要注意的是，教師要依據(jù)學(xué)情把握好度與量的關(guān)系，不去一味追求各種巧解妙解，“通法通則”明確化更加有助于學(xué)生培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性與靈活性。

四、矯正錯誤原因和解法，培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性與深刻性

只有教師平時更加關(guān)注課堂設(shè)計并引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中提升自己的思維品質(zhì)，我們的課堂改革才算邁出一大步。我們也經(jīng)常反思自己：衡量一位教師是否優(yōu)秀的標(biāo)準(zhǔn)是什么？應(yīng)該是給學(xué)生成長與成才創(chuàng)造一個好的平臺，而這個平臺往往就在課堂上，在教學(xué)設(shè)計中。

∵α∈（0，π） ∴2α∈（0，2π）

∴cosC =cos［π-（A+B）］=-cos（A+B）=-（cosAcosB- sinAsinB）

兩例是三角恒等變換里的常見題目，學(xué)生出錯率很高，究其原因，主要是忽視了題目中三角形、三角函數(shù)值與角度之間的相互約束關(guān)系，按部就班地完成解題，這就是典型的經(jīng)驗主義。師生應(yīng)該把出錯原因進行全方位呈現(xiàn)、分析與矯正，以此提高學(xué)生思維的批判性與深刻性。

五、提升學(xué)生自主反思意識，培養(yǎng)學(xué)生思維獨特性與創(chuàng)造性

“例題千萬道，解后拋九霄”難以達到提高解題能力、發(fā)展思維的目的。教師要在解題易錯處，情感體驗處進行方法總結(jié)，因為整個解題過程并非僅是一個知識運用、技能訓(xùn)練的過程，而是一個伴隨著交往、創(chuàng)造、追求的綜合過程，是學(xué)生整個內(nèi)心

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［3］張 雄，李得虎.數(shù)學(xué)方法論與解題研究［M］.北京：高等教育出版社，2003.08

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ISSN2095-6711/Z01-2015-11-0140