一類非擬單調(diào)型非局部時(shí)滯擴(kuò)散方程的行波解

嚴(yán) 升 趙海琴

（咸陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 咸陽(yáng) 712000）

一類非擬單調(diào)型非局部時(shí)滯擴(kuò)散方程的行波解

嚴(yán) 升 趙海琴

（咸陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 咸陽(yáng) 712000）

研究一類非擬單調(diào)型非局部時(shí)滯擴(kuò)散方程的行波解。通過(guò)構(gòu)建兩個(gè)輔助的擬單調(diào)方程，并利用肖德?tīng)柌粍?dòng)點(diǎn)定理證明了行波解的存在性。結(jié)果表明，此類非擬單調(diào)型非局部時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程的行波解對(duì)所有時(shí)滯0τ≥是持久存在的。

行波解；存在；非局部擴(kuò)散；肖德?tīng)柌粍?dòng)點(diǎn)定理

1 引言

近幾年，非局部擴(kuò)散方程備受關(guān)注，且已經(jīng)有了很多的結(jié)果[1-3,7]。此類方程源于許多實(shí)際的領(lǐng)域，例如轉(zhuǎn)化模型[1]，材料科學(xué)模型[2]等。眾所周知，時(shí)間滯后(簡(jiǎn)稱時(shí)滯)在許多過(guò)程中都是不可避免的。行波解是偏微分方程的一類特殊的解，具有理論和應(yīng)用雙重意義。因而非局部時(shí)滯擴(kuò)散方程的行波解問(wèn)題引起了數(shù)學(xué)家們的廣泛關(guān)注，見(jiàn)例[8,9]。事實(shí)上，如果當(dāng)非局部時(shí)滯擴(kuò)散方程是擬單調(diào)的，我們就可以應(yīng)用上下解的方法在建立行波解的存在性，見(jiàn)[8]。如果當(dāng)非局部時(shí)滯擴(kuò)散方程是非擬單調(diào)的，那么行波解的求解問(wèn)題將會(huì)變的更為復(fù)雜。對(duì)于這類不具有擬單調(diào)性的非局部時(shí)滯擴(kuò)散方程，只有文獻(xiàn)[9]研究了行波解的存在性。然而，這些結(jié)果只對(duì)時(shí)滯充分小時(shí)是有效的。因此，有必要進(jìn)一步研究非擬單調(diào)型非局部時(shí)滯擴(kuò)散方程的行波解問(wèn)題。

本文研究如下形式的非擬單調(diào)型非局部時(shí)滯擴(kuò)散方程行波解的存在性：

如果U(?):R→是單調(diào)的，則稱U是一個(gè)行波前解。

在假設(shè)（A0）-（A4）的條件下，我們建立了非擬單調(diào)方程（1.1）的行波解的存在性。主要方法是基于構(gòu)造兩個(gè)擬單調(diào)的輔助擴(kuò)散方程并利用肖德?tīng)柌粍?dòng)點(diǎn)定理.這種方法最初是文獻(xiàn)[6]對(duì)一類時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程發(fā)展的。

2 預(yù)備知識(shí)

運(yùn)用[8]相似的方法我們可以很容易建立擬單調(diào)情形下方程（1.1）行波解的存在性，證明從略.

3 非單調(diào)情況下的行波解

本節(jié)，應(yīng)用上面的結(jié)論來(lái)證明我們的主要定理。為此，首先需要構(gòu)建兩個(gè)擬單調(diào)的非局部輔助時(shí)滯擴(kuò)散方程，類似于文獻(xiàn)[6]，我們定義了如下的兩個(gè)連續(xù)函數(shù)：

引理3.1 假設(shè)條件（A0）-（A4）成立，那么下面的語(yǔ)句成立：

(i)方程*(u)f和(u)fε在是連續(xù)的并且在上是遞增的.

考慮如下兩個(gè)擬單調(diào)非局部輔助遲滯擴(kuò)散方程：

下面的引理可由引理2.2和3.1直接得出.

證明：設(shè)

定義

引理3.5 假設(shè)條件（A0）-（A4）成立，則

證明：證明是顯然的，從略.

定理1.1的證明：通過(guò)引理3.5和肖德?tīng)柕牟欢c(diǎn)定理，可知方程在上有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)U滿足：

則我們有

運(yùn)用類似的方法，可以得到

證畢

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[3] Z. Chen, B. Ermentrout, X. Wang, Wave propagation mediated by GABAB synapse and rebound excitation in an inhibitorynetwork:Areducedmodelapproach, J.Computational Neuroscience,1998,(5):53-69.

[4] X. Chen and J.-S. Guo, Existence and asymptotic stability of traveling waves of discrete quasilinear monostable equations, J. Dierential Equations, 2002,(184):549-569.

[5] S.W. Ma, X. Zou, Existence, uniqueness and stability of travelling waves in a discrete reaction-diffusion monostable equation with delay, J. Differential Equations, 2005,(217): 54,87.

[6] S.W. Ma, Traveling waves for nonlocal delayed diffusion equations via auxiliary equations, J. Differential Equations, 2007, (237):259-277.

[7] S.X. Pan, W.T. Li, G. Lin, Travelling wave fronts in nonlocaldelayedreaction-diffusionsystemsand applications, Z. angew Math. Phys.,2009, (60):377-392.

[8] S.X. Pan, Traveling wave fronts of delayed non-local diffusion systems without quasimonotonicity, J. Math. Anal. Appl.,2008,(346):415-424.

Traveling wave fronts in a non-quasi-monotone reaction-diffusion equation with nonlocal delay

This paper is concerned with the traveling waves for a class of non-quasi-monotone reaction-diffusion equations with nonlocal delay.The existence of traveling waves is proved by constructing a profile set in a suitable Banach space and applying Schauder's fixed point theorem. The result implies that the traveling waves of the reaction-diffusion equations with nonlocal delay are persistent for all values of the delay0τ≥.

Traveling waves; existence; non-local diffusion; Schauder's fixed point theorem

O175.14

A

1008-1151(2015)04-0030-03

2015-03-12

咸陽(yáng)師范學(xué)院省級(jí)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃資助項(xiàng)目(編號(hào) 1816)；咸陽(yáng)師范學(xué)院校級(jí)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃資助項(xiàng)目(編號(hào)2013029)。

嚴(yán)升，咸陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院教師。