一類非擬單調型非局部時滯擴散方程的行波解

嚴 升 趙海琴

（咸陽師范學院數學與信息科學學院，陜西 咸陽 712000）

一類非擬單調型非局部時滯擴散方程的行波解

嚴 升 趙海琴

（咸陽師范學院數學與信息科學學院，陜西 咸陽 712000）

研究一類非擬單調型非局部時滯擴散方程的行波解。通過構建兩個輔助的擬單調方程，并利用肖德爾不動點定理證明了行波解的存在性。結果表明，此類非擬單調型非局部時滯反應擴散方程的行波解對所有時滯0τ≥是持久存在的。

行波解；存在；非局部擴散；肖德爾不動點定理

1 引言

近幾年，非局部擴散方程備受關注，且已經有了很多的結果[1-3,7]。此類方程源于許多實際的領域，例如轉化模型[1]，材料科學模型[2]等。眾所周知，時間滯后(簡稱時滯)在許多過程中都是不可避免的。行波解是偏微分方程的一類特殊的解，具有理論和應用雙重意義。因而非局部時滯擴散方程的行波解問題引起了數學家們的廣泛關注，見例[8,9]。事實上，如果當非局部時滯擴散方程是擬單調的，我們就可以應用上下解的方法在建立行波解的存在性，見[8]。如果當非局部時滯擴散方程是非擬單調的，那么行波解的求解問題將會變的更為復雜。對于這類不具有擬單調性的非局部時滯擴散方程，只有文獻[9]研究了行波解的存在性。然而，這些結果只對時滯充分小時是有效的。因此，有必要進一步研究非擬單調型非局部時滯擴散方程的行波解問題。

本文研究如下形式的非擬單調型非局部時滯擴散方程行波解的存在性：

如果U(?):R→是單調的，則稱U是一個行波前解。

在假設（A0）-（A4）的條件下，我們建立了非擬單調方程（1.1）的行波解的存在性。主要方法是基于構造兩個擬單調的輔助擴散方程并利用肖德爾不動點定理.這種方法最初是文獻[6]對一類時滯反應擴散方程發展的。

2 預備知識

運用[8]相似的方法我們可以很容易建立擬單調情形下方程（1.1）行波解的存在性，證明從略.

3 非單調情況下的行波解

本節，應用上面的結論來證明我們的主要定理。為此，首先需要構建兩個擬單調的非局部輔助時滯擴散方程，類似于文獻[6]，我們定義了如下的兩個連續函數：

引理3.1 假設條件（A0）-（A4）成立，那么下面的語句成立：

(i)方程*(u)f和(u)fε在是連續的并且在上是遞增的.

考慮如下兩個擬單調非局部輔助遲滯擴散方程：

下面的引理可由引理2.2和3.1直接得出.

證明：設

定義

引理3.5 假設條件（A0）-（A4）成立，則

證明：證明是顯然的，從略.

定理1.1的證明：通過引理3.5和肖德爾的不定點定理，可知方程在上有一個不動點U滿足：

則我們有

運用類似的方法，可以得到

證畢

[1] P.W. Bates, P.C. Fife, X. Ren, X. Wang, Traveling waves in a convolution model for phase transition, Arch. Rational Mech. Anal.,1997 ,(138):105-136.

[2] P.W. Bates, On some nonlocal evolution equations arising in materials science, In Nonlinear dynamics and evolution equations (Ed. by H. Brunner, X. Zhao, X. Zou),13-52, Fields Inst. Commun.,48,Amer. Math. Soc.,Providence, RI,2006.

[3] Z. Chen, B. Ermentrout, X. Wang, Wave propagation mediated by GABAB synapse and rebound excitation in an inhibitorynetwork:Areducedmodelapproach, J.Computational Neuroscience,1998,(5):53-69.

[4] X. Chen and J.-S. Guo, Existence and asymptotic stability of traveling waves of discrete quasilinear monostable equations, J. Dierential Equations, 2002,(184):549-569.

[5] S.W. Ma, X. Zou, Existence, uniqueness and stability of travelling waves in a discrete reaction-diffusion monostable equation with delay, J. Differential Equations, 2005,(217): 54,87.

[6] S.W. Ma, Traveling waves for nonlocal delayed diffusion equations via auxiliary equations, J. Differential Equations, 2007, (237):259-277.

[7] S.X. Pan, W.T. Li, G. Lin, Travelling wave fronts in nonlocaldelayedreaction-diffusionsystemsand applications, Z. angew Math. Phys.,2009, (60):377-392.

[8] S.X. Pan, Traveling wave fronts of delayed non-local diffusion systems without quasimonotonicity, J. Math. Anal. Appl.,2008,(346):415-424.

Traveling wave fronts in a non-quasi-monotone reaction-diffusion equation with nonlocal delay

This paper is concerned with the traveling waves for a class of non-quasi-monotone reaction-diffusion equations with nonlocal delay.The existence of traveling waves is proved by constructing a profile set in a suitable Banach space and applying Schauder's fixed point theorem. The result implies that the traveling waves of the reaction-diffusion equations with nonlocal delay are persistent for all values of the delay0τ≥.

Traveling waves; existence; non-local diffusion; Schauder's fixed point theorem

O175.14

A

1008-1151(2015)04-0030-03

2015-03-12

咸陽師范學院省級大學生創新創業訓練計劃資助項目(編號 1816)；咸陽師范學院校級大學生創新創業訓練計劃資助項目(編號2013029)。

嚴升，咸陽師范學院數學與信息科學學院教師。