奧德基于深度學習觀的數學課堂教學實踐

王琳

摘 要：深度學習是相對于淺層學習而言的一個心理學概念。運用其引導數學課堂問題的解決，構建數學課堂問題解決的操作范式，既能提高數學課堂教學的有效性，又能激發學生對學習數學的興趣，形成解決數學問題的策略能力。

關鍵詞：深度學習；問題解決；知識內化

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2015）19-035-2

問題是數學學習的心臟，而問題解決則反映了教師的教育智慧及方法策略，因此，如何解剖問題和講解習題自然是數學課堂最重要內容之一。多倫多大學Hinton教授于2006年提出深度學習概念，為數學課堂問題解決教學提供了新的思考范式。

一、深度學習的內涵

深度學習的概念源于人工神經網絡的研究，Hinton教授認為，人腦具有非常強大的學習能力和特征提取能力，它具有一個深度結構，每層都有上千上萬級的神經元，整個網絡有百萬級至百億級的參數空間。這種特征層次表示神經元每一層都會向上一層做出抽象思維的的輸入，并在層次上位于上層的神經元具備更多的抽象特征。人腦學習這種深層架構決定教師在設置教學問題時，應有梯隊性和階層設置，層次化地組織思想和概念，符合學生學習的心理特征，問題解決應具有層次性，不能讓學習者只有淺層次思考，這樣會出現學習深度不足問題。深度學習觀下數學問題教學有如下特征：人腦具有復雜的深度結構；學生學習的認知過程逐層進行，逐步抽象；學生先學習簡單的概念，然后用概念去進行邏輯運算和抽象推理；問題設置不能膚淺化，要進行深度理解，深度不足會出現數學學習困難。

二、深度學習與數學問題解決教學

將深度學習引導至數學問題解決教學中，在深度學習觀支持下，首先，教師通過創設問題情境，激發學生求知欲望；其次，讓學生親身體驗和感受分析問題，提出解決問題的方法。具體來說，就是通過一系列更微觀的子問題設計，使學生對數學知識形成深刻的、結構化的理解，形成自己的、可以遷移的問題解決策略，再者，深度學習強調的是使用數學的意識，培養學生的探索精神、合作意識和實際操作能力，通過問題解決能而且產生更為濃厚的學習數學的興趣、形成認真求知的科學態度和勇于進取的堅定信念。可表述一般問題解決程序：弄清問題、擬定計劃、執行計劃、檢查答案。其操作模式可以分解為以下的一串教學問題：

①它是一個什么范疇的問題？要解決什么問題？即“目標”是什么？

②現有哪些材料（條件）？有沒有“潛在”的、“隱含”的條件？從題目的敘述中獲取“符號信息”，從題目的圖形中獲取“形象信息”等。

③有哪些工具？條件與結論之間有什么聯系？從已經學過的相關概念、定理、公式、基本模式和解題經驗中提取。

④還缺少（需要）什么？能否以現有的條件，在工具的助推下滿足這個需求？

⑤在相關工具的作用下，從條件到結論，是否形成了一個和諧、縝密的邏輯結構？

⑥結論是否完備、純粹？

當然，上述過程能否順利實施，既需要充分知識儲備、基本的經驗積累，也需要豐富的聯想和機智的教學策略。

三、深度學習觀數學課堂教學案例

教學案例：已知過點A（-1，0）的動直線l與圓C：x2+（y-3）2=4相交于P、Q兩點，M是PQ中點，l與直線m：x+3y+6=0相交于N，求AM·AN的值。

講解：

Q1：這是一個什么問題？——解析幾何中的“直線和圓”的位置關系。

Q2：解析幾何的本質是什么？——借助坐標系，用代數的方法解決幾何問題。

Q3：“直線和圓”的位置關系中最關鍵的量是什么？——圓心到直線的距離。

Q4：本題要解決什么問題？——起點相同、方向相反的兩個向量的數量積。

Q5：求兩個向量的數量積有哪些辦法？——a·b=|a|·|b|·cos（符號運算）；若a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a·b=x1x2+y1y2（坐標運算）；結合圖形對向量a，b做適當的“拆分”后再行運算（圖形運算）。

Q6：本題宜選擇哪個辦法？——注意到在平面直角坐標系中，A點的坐標已知，只要求出M，N兩點的坐標，即可用坐標運算求AM·AN。

Q7：本題還有哪些條件？M，N兩點的坐標是否可求？怎么求？——注意到N點是直線l，m的交點，而直線m的方程已知，只需有直線l的方程，即可通過解方程組求得N點坐標，又直線l過點A，故可以設直線l的斜率（關注斜率不存在的情況）。M點是直線l被橢圓截得的弦的中點，在有直線l方程的條件下，可以通過解方程組，結合韋達定理求出M點坐標。

Q8：是否可以順利實施？——

數學問題解決教學，注重的是教師引導，始終置于學生于深層次理解思維之中，追求的是方法形成的過程順理成章、自然流暢，就是引導學生奔著目標有序前進，讓學生感同身受、躍躍欲試，活化學生的問題解決能力。

四、深度學習與問題解決后反思

問題反思也是數學學習悟道的一個過程，也是深度學習在數學教學中應用不可缺少的一個環節，它使深度學習活動走向一個更高級階段。什么時候反思？反思什么？怎么反思？是學生對知識方法吸收內化的重要過程，可以通過以下步驟進行。

1.對解題結果的反思。解題結果是否回答了題目的設問？解題結果是否和實際問題相吻合？推導的過程中是否改變了變量的范圍？邏輯上有沒有漏洞？討論的范圍是否完備？有沒有遺漏什么條件、限制？等等。對解題結果的反思能使學生的思維更加嚴謹，同時也是解決“會而不對、對而不全”這個老大難問題的有效辦法。

2.對解題過程的反思。題目涉及到的知識點有哪些？它們是怎么聯系起來的？解答的切入點在哪？關鍵點在哪？警戒點（易錯的地方）在哪？還能用什么方法解（一題多解）？有哪些題也是這樣做的（多題一解）？條件可以變變嗎？設問可以改改嗎？我們不必要求學生對每一道題都做如此這般的大動作，但也絕不能每一道題一做完就丟。

3.對解題規律的反思。某一章節的問題、某一類型的問題，其求解方法往往有其規律性。比如“直線與圓”的問題往往用到“圓心到直線”的距離，“方程有解”問題往往轉化為“參變量關于主變量的函數值域”問題；甚至某種條件通常怎么發展？某種求解通常怎么轉化？也都是有一定規律的。遺憾的是這些反思、發現、歸納、整理的工作很多時候都是老師代做了，然后告知學生。其實只有學生自己做了，才有真正的價值；所謂“老師代勞終覺淺，絕知此事要躬行”。

五、后記

深度學習是近年來學習領域很熱的一個概念，把它引導到數學課堂教學問題解決中來，強調把學習設置到復雜的、有意義的問題情境中，通過教師設置臺階式問題，引導學生進行深度理解，通過師生合作解決實際問題來學習隱含于問題背后的科學知識，形成解決問題的技能，并形成自主學習的能力。因此，深度學習觀下問題解決嘗試，對于促進學生溝通知識點之間的聯系，對于培養學生思維的開闊、靈敏、深刻、創新，即提升學生的思維品質，對于激發學生的學習興趣，發揮數學功能等方面確有其不可估量的教學價值。

[參考文獻]

[1]曹才翰，章建躍著.數學教育心理學.北京師范大學出版社，2006（06）.

[2]波利亞著.閻育蘇譯.怎樣解題.科學出版社，1982.