用定積分定義計算一類數列極限

彭國榮

【摘要】極限是高等數學的一個重要內容，其中計算無窮項和式數列的極限是一個難點。本文通過解析定積分的定義，討論了應用定積分定義計算無窮項和式數列極限的方法步驟，巧妙地利用定積分的定義計算數列極限，簡化了極限運算，啟發了學生計算極限的技巧，加深了對積分定義的理解。

【關鍵詞】定積分的定義 ?數列極限

【中圖分類號】G642 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【文獻標識碼】A ? ? ?【文章編號】2095-3089（2015）11-0132-02

極限是高等數學中重要的概念，也是高等數學教學的重點與難點，計算極限是教學中的一個重要內容，有多種方法可以計算極限，但是對于部分無窮項和式數列的極限的計算依然還比較困難。本文通過解析定積分的定義，討論如何把無窮項和式數列轉化為定積分和，從而利用定積分的定義巧妙地計算無窮項和式數列的極限。

一、預備知識

定義[1]：設函數在上有界，用點，把區間任意分割成個子區間，這些子區間及長度均記作.在每個子區間上任取一點，做個乘

積的和式。如果當，同時最大子區間

長度時，和式的極限存在，并且極限

跟分割方法以及的取法無關，則該極限值為函數在

區間上的定積分，記作.

二、定積分定義計算極限的方法與步驟

由定積分的定義可知定積分實質是無窮項和式的極限，由于定積分只與被積函數和積分區間有關，與區間分割方法以及點 的選取無關，因此我們可以將區間等分，即區間長度

，并且滿;點取每個小區間的右端

點，即.則，

1、將無窮項和式數列恒等變形，化為積分和的形式

2、確定定積分的被積函數和積分區間

令，則被積函數為。

3、由定積分的定義將無窮項和式數列極限寫成定積分

4、用牛頓萊布尼茨公式計算出定積分的值，即為所要計算的極限值

三、實例解析

例題1計算極限

解（1）將無窮項和式數列 恒等變形，化為積分和的形式

其中。

（2）確定定積分的被積函數和積分區間

令，則被積函數為。

，

（3）

例題2計算極限

解（1）將無窮項和式數列恒等變形，化為積分和的形式

其中

（2）確定定積分的被積函數和積分區間

令，則被積函數為。

（3）

例題3 計算極限

解（1）

其中

（2）令，則被積函數

（3）

（4）因為

故

由以上幾個例題發現利用定積分的定義計算無窮項和式數列極限，最關鍵之處在于找準被積函數，確定好積分區間。

四、結束語

利用定積分定義計算無窮項和式數列的極限是一種十分巧妙有效的方法，其能夠把繁雜的無窮項和式數列恒等變形為積分和，再轉化為定積分來計算，其簡化了計算。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.高等數學上冊[M].高等教育出版社，1993.

基金項目：湖北民族學院教學研究一般課題《民族預科數學課程改革研究》（編號2014JY066）