排列、組合問題解答技巧分析

趙龍

【摘 要】解排列組合問題除了掌握兩個基本原理（加法原理和乘法原理）外，沒有現成的方法可用，它聯系實際、生動有趣，但題型多樣，解題方法靈活，有關排列組合問題是高中學生學習中棘手的問題，在考試中失分較多，因此要加強對這方面知識的歸納與總結。

【關鍵詞】題型;解法歸類;基本方法;排列組合;問題

實踐證明，學習排列組合問題最有效的方法是首先必須認真審題，將題型與解法歸類，識別模式，熟練應用，抓住排列組合一般原則和常用技巧，排列組合問題便會迎刃而解.一般原則是“分類相加、分步相乘、有序排列、無序組合”。以下九個常用技巧是速解排列組合問題的基本方法，下面分別歸類舉例說明：

（一）相鄰問題捆綁法。對于幾個元素要求必須相鄰的排列問題，可將相鄰元素“捆綁”起來，看作一個大元素，與其它元素排列，然后再對大元素內部進行排列。

【例1】書架上有4本不同的數學書，5本不同的語文書，3本不同的化學書，全部堅成一排，如果不使同類書分開，一共有多少種排法？

解析：由于同類書不能分開，所以把4本數學書，5本語文書，3本化學書分別捆在一起，看作3個大元素進行排列有 A種，每捆內部分別有A種，A種和A種，由分部計數原理共有排法;A·A·A·A=103680（種）。

（二）不相鄰問題“插空法”。不相鄰問題是指要求某些元素不能相鄰，可以將其它元素排好，然后把不相鄰的元素在已排好的元素之間和兩端的空隙之間插入即可。

【例2】在不久舉行的汽車展上，將有5個不同型號的三廂轎車和4個不同型號的二廂轎車在同一展臺的9個車位上展出，要求任何兩個二廂轎車不得相鄰，則有（ ?）種不同的排法？

解析：先將5個不同的三廂轎車排好，其不同的排法有A三種，這5種不同的三廂轎車的空隙和兩端共有6個位置中再排4個不同的二廂轎車有A種排法，由分步計數原理可知共有A·A=43200種。

（三）特殊元素“優先安排法”。含有特殊元素的排列組合問題，一般應優先考慮特殊元素。

【例3】要安排7位工作人員在5月1日至5月7日值班，每人值一天，其中甲、乙兩人都不安排在5月1日和5月2日，不同的安排方法共有多少種？

解析：甲、乙兩人先安排在5月3、4、5、6、7號這5天，有A種，余下的5人全排列有A種，由分步計數原理得不同的安排方法有A·A=2400種。

（四）定序問題縮倍法。在排列問題中限制幾個元素必須保持一定順序問題，這類問題用縮小倍數求解比較簡便。

【例4】今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區分，將這9個球排成一排有（ ?）種不同方法。（用數字作答）

解析：可將9個球進行全排列有A種排法，再將同色球的順序抵消掉，共有A÷（A·A·A）=1260種不同的方法。

（五）總體“淘汰法”。含有否定詞語的問題，可以從總體中把不含有要求的除去，此時應注意即不能多減也不能少減。

【例5】從5位男教師，4名女教師中選出3位教師，派到3個班擔任班主任工作（每班一位班主任），要求這三位教師男女教師都有，則不同的選派法共有多少種？

解析：此題雖然沒有否定詞語，然而選出三名教師中男女都要有，就是說不能全是男教師，也不能全是女教師。因此先選出3人中有C種，其中都是男教師有C種不合題意，都是女教師有C種也不合題意，因此共有（C-C-C）·A=420種。

（六）多元問題分類法。元素多，取出的情況也有多種情況，可按結果要求分成互不相容的幾類情況分別計算，最后總計。

【例6】設集合I={1，2，3，4，5}，選擇I的兩個非空子集A和B，要使B中最小的元素大于A中最大的數，則不同選擇方法共有（ ）。

A.50種 B.49種 C.48種 D.47種

解析：（1）若B={5}，則A有C+C+C+C24-1=15種選法。

（2）若B={4}，則A有C+C+C=23-1=7種選法。

（3）若B={4，5}，則A有C+C+C=23-1=7種選法。

（4）若B={3}或{3，4}或{3，5}或{3，4，5}，則A均有：C+C=3種選法，共有3×4=12種。

（5）若B={2}或{2，3}或{2，4}或{2，5}或{2，3，4}或{2，4，5}或{2，3，5}或{2，3，4，5}時，A均有一種選法;共有8種選法。

綜上共有15+7+7+12+8=49種選法，應選B。

（七）選排問題“選分堆后排列”。對于排列組合混合問題，一般解法“先分堆，后排列”。須注意的是：分堆時，不講究順序，應除以有相同元素堆的堆數的全排列列數。給人時，只需在分堆的基礎上乘以人數的全排列即可。

【例7】將6本不同的書分給甲、乙、丙三位同學，其中兩人各一本，另一人四本，有多少種不同的分法？

解析：先分堆有C·C·C÷A=15種分法，再給人，故共有C·C·C÷A×A=90種不同分法。

（八）至多（或至少）問題間接法。對于有附加條件（含“至多”“不超過”）的問題，先不考慮附加條件，計算出排列或組合數，再減去不符合要求的排列或組合，即為所求。

【例8】從6名男生和4名女生中選出三名代表，要求至少包含一名女生，則不同的分法有（ ）種？

解析：從10人中選三名代表有C種選法，全部男生有C種選法，故至少包含一名女生有C-C=100種選法。

（九）分排問題用“直排法”

【例9】某班56個同學在7排座位上，每排坐8人，則有多少種坐法？

解析：56個同學可以在7排座位上隨意就座，再無其它條件，故7排可以看作一排處理，故不同的坐法有A種。

以上介紹的排列組合應用題幾種解題技巧，不是彼此孤立的，而是相互為用的，解決某一問題可用上述不同技巧的多種技巧處理，或綜合應用幾種求解技巧.解決排列組合問題通常是：⑴先組合，后排列;⑵先分類，再分步;⑶先特殊（特殊元素，特殊位置），再一般，以簡捷為原則。endprint