巧用函數思想解決初中數學問題

肖紅軍

【內容摘要】函數是初中數學學習的重點和難點，也是一種重要的數學思想方法。函數思想就是利用問題中的數量關系，建立函數模型，然后解決問題的一種數學思想。在初中數學教學中，利用函數思想能夠將數學問題進行轉化，并結合函數的圖象性質等將復雜的問題簡單化。本文結合初中所學內容，探究了如何運用函數思想去分析和解決具體的數學問題，從而為以后的數學教學提供導向。

【關鍵詞】初中數學 函數思想 具體運用

一、在解方程不等式問題中的具體運用

在初中數學教學中，方程不等式的內容占據較大的比重，主要包括一元一次方程，二元一次方程（組），一元二次方程，一元一次不等式（組）等，每一種方程和不等式都有不同的解法，而運用函數的思想去解方程解不等式也是一種重要的方法。這種方法主要借助于函數將題目的數量關系轉化到函數圖象，然后借助于函數的圖象從而輕松解決問題。

如解不等式3x-5>10-2x，對于這道題目，我們通常情況都會按照常規方法來解決，先移項，再合并，最后系數化為1。事實上，這道題目我們也可以利用函數的思想去解決，可以先設y1=3x-5，y2=10-2x，這是兩個一次函數，然后可以利用兩點法畫出這兩個一次函數的圖象，根據哪個函數圖象在上面哪個函數就大的原理，并結合這兩個函數的圖象在坐標系中的交點為（3，4），可以很容易地得出不等式的解集為x>3。

二、在三角形問題中的具體運用

三角形知識是初中教學的重要內容，也是中考的重要考點。一般情況三角形涉及的內容較多，既包括直角三角形、等腰三角形這些基本圖形的性質與判定，又包括勾股定理、全等三角形的性質與判定、相似三角形的性質與判定等內容，它們構成了圖形與幾何的大部分內容，是中考的重要考查內容。在三角形相關內容的教學中，涉及到多種教數學思想方法的運用，而運用函數的思想去解決問題則是最常用的思想方法，通過函數思想可以將幾何問題代數化，往往會收到意想不到的效果。

如，在直角三角形ABC中，∠C= 90°，AB=2 ，sinB= ÷5，點P為邊BC上一動點，PD‖AB，PD交AC于點D，連接AP，設PC的長為x，三角形ADP的面積為y，當x為何值時，y最大？并求出最大值。通過分析我們發現在題目中有兩個變量x、y，如果運用其他的方法可能有點難度，要想解決這一問題，我們可以借助于函數的思想，據題意易求AC=2，BC=4，由PD∥AB得△ABC∽△DPC，根據PC=x，即可求出DC=x/2，從而得出y= x2+x，然后利用二次函數的知識即可求出當x=2時，ymax=3。

三、在圓問題中的具體運用

圓是初中數學教學的重要內容，圓所涉及的定理較多，是初中教學的重點也是難點，在解決圓的問題時往往采用多種數學思想方法，像數形結合思想、轉化思想、函數思想等，并且在解決同一問題時經常是多種思想方法并用。函數思想作為一種解決問題的重要手段，在圓的問題中尤其是求最值等問題中被廣泛應用，通過函數思想將所求問題轉化為一個函數式子，然后利用函數的性質去解決，這樣能夠達到化難為易，輕松解決問題的目的。

如，已知直線l與⊙O相切于點A，在直徑AB的左側圓上有一點P，過點P作PC⊥l交圓于點D，連接PA、PB，如果⊙O的半徑為2，PC的長度為x，且2

四、在實際問題中的具體運用

實際問題是初中數學教學的難點，無論是基礎較好還是基礎稍差的學生對此都非常頭疼，往往會望而卻步，產生恐懼心理。要想解決這個問題需要教師在遇到此類問題時要加強數學思想方法的指導，降低難度，提高學生學習數學的興趣。函數思想作為初中數學教學的重要思想，在解決實際問題時往往會利用函數思想根據等量關系，構建函數模型，然后利用函數的相關知識和性質去解決問題。

如，某商場現銷售一種水果，如果每千克營利10元，每天可賣500千克，在中秋節來臨之際，商場計劃舉行促銷活動，調查發現若每千克降1元，銷售量每天上升20千克，商場如何制定銷售計劃，才能保證獲利最多？這是我們在教學中遇到的典型問題，如果我們借助于常規的方法很難解決，而利用函數的思想建立函數模型，再求解就會容易的多。因此，我們可以設利潤為y元，每千克降x元，易得y=（10-x）（500+20x） =-20x2-300x+5000，然后利用函數的性質很容易就能求出當x=0.75時，y最大，即獲利最多。

總之，函數思想作為一種重要的數學思想，是解決數學問題必不可少的工具，在初中數學教學中應用廣泛，在解方程和不等式問題、三角形問題、圓的問題和實際問題中都發揮了重要的作用，利用函數思想建立函數模型，再利用函數的概念、性質去分析和解決問題，往往會事半功倍，能夠有效地提高學生的學習效率和數學教學質量。

【參考文獻】

[1] 陸琴花. 基于函數性質的初中數學教學方法探究[J]. 課程教育研究，2014（1）.

[2] 李遠信. 淺談初中數學教學思想的運用[J]. 數學學習與研究，2015（20）.

（作者單位：湖北省仙桃市第三中學）