冪級(jí)數(shù)部分和的組合表達(dá)式*

劉秀英

(菏澤學(xué)院數(shù)學(xué)系，山東菏澤 274015)

生成函數(shù)即母函數(shù)，是組合數(shù)學(xué)尤其是計(jì)數(shù)方面的一個(gè)重要理論和工具［1～6］．生成函數(shù)可用來研究未知(通項(xiàng))數(shù)列的規(guī)律，在給出遞推公式的情況下求出數(shù)列的通項(xiàng)［7～10］．另外，生成函數(shù)作為一類特殊函數(shù) 在函數(shù)論、解析數(shù)論、數(shù)學(xué)物理方程等學(xué)科的研究領(lǐng)域中也被廣泛應(yīng)用．本文以生成函數(shù)為工具，討論了級(jí)數(shù)部分和的組合表達(dá)式，并討論了由這些系數(shù)構(gòu)成的三角形的對(duì)稱性以及此三角形內(nèi)相鄰行間元素的遞歸關(guān)系．

1 引理

引理1．1［6］假設(shè)數(shù)列{an}的生成函數(shù)是A(t)，則其部分和構(gòu)成的數(shù)列{sn}的生成函數(shù)是其中，sn=a0+a1+…+an．

12+22+32+…+n2=

對(duì)k=3，需要下面的引理:

引理1．3［7］

證明:對(duì)(1)式兩邊求導(dǎo)并整理得:

兩邊同乘以t，得

這樣，數(shù)列 {03，03+13，03+13+23，…，03+13+23+…+n3，… }的生成函數(shù)為，即:

t3(1－t)－5+4t2(1－t)－5+t(1－t)－5

考慮(2)式中tn的系數(shù)，則有

引理4得證．

(i=1，2…k;k=1，2…):

表1

2 主要結(jié)論

由引理1．2和引理1．4～1．6，可以得出如下結(jié)論:

定理2．1

證明:當(dāng)k=1，2，3時(shí)，上述5個(gè)結(jié)論都成立．假設(shè)對(duì)任一整數(shù)k，這5個(gè)結(jié)論都成立，(3)式兩邊對(duì)t求導(dǎo)，得

左邊分母=(1－t)2k+2，約去分子分母的公因式(1－t)k，得

展開上述多項(xiàng)式并合并同類項(xiàng)，得

tk的系數(shù)為

tk－1的系數(shù)為

tk－2的系數(shù)為

tk－3的系數(shù)為

………

tk－i+1的系數(shù)為:

………

因此，對(duì)(3)式經(jīng)過微分后，得:

用t乘以(4)式的兩邊，得:

由引理1．1，數(shù)列 {0k+1，0k+1+1k+1，0k+1+1k+1+2k+1，…，0k+1+1k+1+2k+1+…+nk+1，… }的生成函數(shù)為:

即

展開這個(gè)多項(xiàng)式，并考慮tn的系數(shù)，有

由數(shù)學(xué)歸納法，定理2．1中結(jié)論1)、2)、3)及5)都成立．

假設(shè)表1中前k行元素是對(duì)稱的，且

下面證明

由遞歸關(guān)系

定理2．2 表1中各行元素是對(duì)稱的，且在左半行，元素遞增:在右半行，元素遞減

證明:假設(shè)當(dāng)k=2h時(shí)，在第2h行的左半行的元素是遞增的，即

由遞歸關(guān)系

因此，在第2h+1行的左半行內(nèi)元素也是遞增的．

假設(shè)當(dāng)k=2h+1時(shí)，在第2h+1行的左半行的元素是遞增的，即

由遞歸關(guān)系

由此可得，在第2h+2行的左半行內(nèi)元素是遞增的．

由數(shù)學(xué)歸納法，在表1中任一左半行內(nèi)的元素是遞增的．根據(jù)對(duì)稱性知，任一右半行內(nèi)的元素是遞減的．

［1］吳順唐．離散數(shù)學(xué)［M］．上海:華東師范大學(xué)出版社，2011．

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